Coordenadas elipsoidales

Las coordenadas elipsoidales son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensional.${\displaystyle (\lambda,\mu,\nu)}$que generaliza el sistema de coordenadas elípticas bidimensional . A diferencia de la mayoría de las coordenadas ortogonales tridimensionales que presentan superficies de coordenadas cuadráticas , el sistema de coordenadas elipsoidales se basa en cuádricas confocales .

Las coordenadas cartesianas${\displaystyle (x,y,z)}$se puede producir a partir de coordenadas elipsoidales ${\displaystyle (\lambda,\mu,\nu)}$mediante las ecuaciones

${\displaystyle x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}$

${\displaystyle z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}}}$

donde se aplican los siguientes límites a las coordenadas

${\displaystyle -\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.}$

En consecuencia, superficies de constante${\displaystyle \lambda }$son elipsoides

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,}$

mientras que las superficies de constante${\displaystyle \mu }$son hiperboloides de una hoja

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,}$

porque el último término del lado izquierdo es negativo y las superficies de constante${\displaystyle \nu }$son hiperboloides de dos hojas

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1}$

porque los dos últimos términos del lado izquierdo son negativos.

El sistema ortogonal de cuádricas utilizado para las coordenadas elipsoidales son las cuádricas confocales .

Para mayor brevedad en las ecuaciones siguientes, introducimos una función.

${\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)}$

dónde${\displaystyle \sigma }$puede representar cualquiera de las tres variables${\displaystyle (\lambda,\mu,\nu)}$. Usando esta función, se pueden escribir los factores de escala

${\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}}}$

${\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}}}$

${\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}}$

Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a

${\displaystyle dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\,d\lambda \,d\mu \,d\nu }$

y el laplaciano se define por

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\end{aligned}}}$

Otros operadores diferenciales como${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ y${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$puede expresarse en coordenadas${\displaystyle (\lambda,\mu,\nu)}$sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales.

Existe una parametrización alternativa (pero no ortogonal) que sigue de cerca la parametrización angular de coordenadas esféricas : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle x=as\sin \theta \cos \phi ,}$

${\displaystyle y=bs\sin \theta \sin \phi ,}$

${\displaystyle z=cs\cos \theta .}$

Aquí,${\displaystyle s>0}$parametriza los elipsoides concéntricos alrededor del origen y${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$y${\displaystyle \phi \en [0,2\pi ]}$son los ángulos polar y azimutal habituales de las coordenadas esféricas, respectivamente. El elemento de volumen correspondiente es

${\displaystyle dx\,dy\,dz=abc\,s^{2}\sin \theta \,ds\,d\theta \,d\phi .}$

• latitud elipsoidal
• Focaloide (capa definida por dos superficies de coordenadas)
• Proyección cartográfica del elipsoide triaxial

• Morse PM, Feshbach H (1953). Métodos de física teórica, parte I. Nueva York: McGraw-Hill. pág.  663.
• Zwillinger D (1992). Manual de integración . Boston, MA: Jones and Bartlett. pág.  114. ISBN 0-86720-293-9.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. págs. 101-102 . LCCN 67025285 .  
• Korn GA, Korn TM (1961). Manual matemático para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pág . 176. LCCN 59014456 .  
• Margenau H, Murphy GM (1956). Las matemáticas de la física y la química . Nueva York: D. van Nostrand. págs. 178–180 . LCCN 55010911 .  
• Moon PH, Spencer DE (1988). "Coordenadas elipsoidales (η, θ, λ)". Manual de teoría de campos, incluyendo sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (2.ª y 3.ª edición corregida  ). Nueva York: Springer Verlag. págs. 40-44 (Tabla 1.10). ISBN  0-387-02732-7.

• Descripción de MathWorld de las coordenadas elipsoidales confocales