Coordenadas toroidales

Superficies de constante${\displaystyle \sigma }$corresponden a esferas de diferentes radios

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(za\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$

que todas pasan por el anillo focal pero no son concéntricas. Las superficies de constante${\displaystyle \tau }$son toros que no se intersecan y tienen radios diferentes

${\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$

que rodean el anillo focal. Los centros de la constante-${\displaystyle \sigma }$Las esferas se encuentran a lo largo de la${\displaystyle z}$eje, mientras que la constante-${\displaystyle \tau }$Los toros están centrados en el${\displaystyle xy}$avión.

El${\displaystyle (\sigma,\tau,\phi)}$Las coordenadas se pueden calcular a partir de las coordenadas cartesianas ( x , y , z ) de la siguiente manera. El ángulo azimutal${\displaystyle \phi }$viene dado por la fórmula

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$

El radio cilíndrico${\displaystyle \rho }$del punto P viene dado por

${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}=\left(a{\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\right)^{2}}$

y sus distancias a los focos en el plano definido por${\displaystyle \phi }$es dado por

${\displaystyle d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}}$

La coordenada${\displaystyle \tau }$es igual al logaritmo natural de las distancias focales

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

mientras${\displaystyle |\sigma |}$es igual al ángulo entre los rayos y los focos, que puede determinarse a partir de la ley de los cosenos.

${\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}.}$

O explícitamente, incluyendo el signo,

${\displaystyle \sigma =\mathrm {sign} (z)\arccos {\frac {r^{2}-a^{2}}{\sqrt {(r^{2}-a^{2})^{2}+4a^{2}z^{2}}}}}$

dónde${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$.

Las transformaciones entre coordenadas cilíndricas y toroidales pueden expresarse en notación compleja como

${\displaystyle z+i\rho \ =ia\coth {\frac {\tau +i\sigma }{2}},}$

${\displaystyle \tau +i\sigma \ =\ln {\frac {z+i(\rho +a)}{z+i(\rho -a)}}.}$

Los factores de escala para las coordenadas toroidales${\displaystyle \sigma }$y${\displaystyle \tau }$son iguales

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

mientras que el factor de escala azimutal es igual a

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$

El laplaciano viene dado por $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}&\left[\sinh \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$$

Para un campo vectorial$${\displaystyle {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )=n_{\tau }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\tau }+n_{\sigma }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\sigma }+n_{\phi }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\phi },}$$El laplaciano vectorial viene dado por $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {n}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {n}})\\&={\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\tau }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {\sinh ^{4}\tau +(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+n_{\sigma }(-\sinh \tau \sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad +{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sinh \tau )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}(-2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\&\qquad +{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left({\frac {-2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \sigma }^{2}}}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2})+\cdots \\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \phi }^{2}}}{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\sigma }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {(\cosh ^{2}\tau +1-2\cosh \tau \cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+n_{\sigma }\left(-\sinh ^{2}\tau -2\sin ^{2}\sigma \right)+\ldots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}(2\sin \sigma (\cosh \tau -\cos \sigma ))+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}\left(-2\sinh \tau (\cosh \tau -\cos \sigma )\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left(2{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\phi }\left\{n_{\phi }\left(-{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \phi }}\left({\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \phi }}\left(-{\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\end{aligned}}}$$

Otros operadores diferenciales como${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ y${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$puede expresarse en coordenadas${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .

La ecuación de Laplace de 3 variables

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$

admite solución mediante separación de variables en coordenadas toroidales. Haciendo la sustitución

${\displaystyle \Phi =U{\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

Se obtiene entonces una ecuación separable. Una solución particular obtenida mediante la separación de variables es:

${\displaystyle \Phi ={\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

donde cada función es una combinación lineal de:

${\displaystyle S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )}$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }}$

Donde P y Q son funciones de Legendre asociadas de primera y segunda especie. Estas funciones de Legendre se conocen a menudo como armónicos toroidales.

Los armónicos toroidales tienen muchas propiedades interesantes. Si realizas una sustitución de variables${\displaystyle z=\cosh \tau >1}$entonces, por ejemplo, con orden evanescente${\displaystyle \mu =0}$(la convención es no escribir el pedido cuando desaparece) y${\displaystyle \nu =0}$

${\displaystyle Q_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {2}{1+z}}}\right)}$

y

${\displaystyle P_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {z-1}{z+1}}}\right)}$

dónde${\displaystyle \,\!K}$y${\displaystyle \,\!E}$son las integrales elípticas completas de primera y segunda especie, respectivamente. El resto de los armónicos toroidales se pueden obtener, por ejemplo, en términos de las integrales elípticas completas, utilizando relaciones de recurrencia para las funciones de Legendre asociadas.

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas toroidales se encuentran en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, la ecuación de Laplace, para la cual las coordenadas toroidales permiten la separación de variables , o la ecuación de Helmholtz , para la cual las coordenadas toroidales no permiten dicha separación. Ejemplos típicos serían el potencial eléctrico y el campo eléctrico de un toroide conductor, o, en el caso degenerado, un anillo de corriente eléctrica (Hulme 1982).

Alternativamente, se puede realizar una sustitución diferente (Andrews 2006).

${\displaystyle \Phi ={\frac {U}{\sqrt {\rho }}}}$

dónde

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

Nuevamente, se obtiene una ecuación separable. Una solución particular obtenida mediante la separación de variables es entonces:

${\displaystyle \Phi ={\frac {a}{\sqrt {\rho }}}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

donde cada función es una combinación lineal de:

${\displaystyle S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )}$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }.}$

Tenga en cuenta que, aunque los armónicos toroidales se utilizan de nuevo para la función T  , el argumento es${\displaystyle \coth \tau }$en vez de${\displaystyle \cosh \tau }$y el${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$Los índices se intercambian. Este método es útil para situaciones en las que las condiciones de contorno son independientes del ángulo esférico.${\displaystyle \theta }$, como el anillo cargado, un semiplano infinito o dos planos paralelos. Para identidades que relacionan los armónicos toroidales con argumento coseno hiperbólico con aquellos de argumento cotangente hiperbólico, véanse las fórmulas de Whipple .