Integral elíptica

En cálculo integral , una integral elíptica es una de varias funciones relacionadas definidas como el valor de ciertas integrales, que fueron estudiadas por primera vez por Giulio Fagnano y Leonhard Euler ( c. 1750 ). Su nombre proviene de su conexión con el problema de hallar la longitud de arco de una elipse .

Las matemáticas modernas definen una "integral elíptica" como cualquier función f que puede expresarse en la forma

$${\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R{\left({\textstyle t,{\sqrt {P(t)}}}\right)}\,dt,}$$

donde R es una función racional de sus dos argumentos, P es un polinomio de grado 3 o 4 sin raíces repetidas, y c es una constante.

En general, las integrales de esta forma no pueden expresarse en términos de funciones elementales . Las excepciones a esta regla general se dan cuando P tiene raíces repetidas, cuando R ( x , y ) no contiene potencias impares de y , y cuando la integral es pseudoelíptica. Sin embargo, con la fórmula de reducción adecuada , toda integral elíptica puede transformarse en una forma que involucre integrales sobre funciones racionales y las tres formas canónicas de Legendre , también conocidas como integrales elípticas de primera, segunda y tercera especie.

Además de la forma de Legendre que se muestra a continuación, las integrales elípticas también pueden expresarse en la forma simétrica de Carlson . Se puede obtener información adicional sobre la teoría de la integral elíptica mediante el estudio del mapeo de Schwarz-Christoffel . Históricamente, las funciones elípticas se descubrieron como funciones inversas de integrales elípticas.

Las integrales elípticas incompletas son funciones de dos argumentos; las integrales elípticas completas son funciones de un solo argumento. Estos argumentos se expresan de diversas maneras, pero equivalentes, ya que dan como resultado la misma integral elíptica. La mayoría de los textos siguen un esquema de nomenclatura canónico, utilizando las siguientes convenciones.

Para expresar un argumento:

• α , el ángulo modular
• k = sen α , el módulo elíptico o excentricidad
• m = k ² = sin ² α , el parámetro

Cada una de las tres cantidades anteriores está completamente determinada por cualquiera de las otras (siempre que sean no negativas). Por lo tanto, pueden usarse indistintamente.

El otro argumento también puede expresarse como φ , la amplitud , o como x o u , donde x = sin φ = sn u y sn es una de las funciones elípticas jacobianas .

Especificar el valor de cualquiera de estas cantidades determina las demás. Nótese que u también depende de m . Algunas relaciones adicionales que involucran a u incluyen: $${\displaystyle \cos \varphi =\operatorname {cn} u,\quad {\textrm {y}}\quad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.}$$

Esta última se denomina a veces amplitud delta y se escribe como Δ( φ ) = dn u . En ocasiones, la literatura también hace referencia al parámetro complementario , al módulo complementario o al ángulo modular complementario . Estos se definen con mayor detalle en el artículo sobre cuartos de período .

En esta notación, el uso de una barra vertical como delimitador indica que el argumento que le sigue es el "parámetro" (como se definió anteriormente), mientras que la barra invertida indica que es el ángulo modular. El uso de un punto y coma implica que el argumento que le precede es el seno de la amplitud: Este uso potencialmente confuso de diferentes delimitadores de argumentos es tradicional en las integrales elípticas y gran parte de la notación es compatible con la utilizada en el libro de referencia de Abramowitz y Stegun y con la utilizada en las tablas de integrales de Gradshteyn y Ryzhik . $${\displaystyle F(\varphi ,\sin \alpha )=F\left(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha \right)=F(\varphi \setminus \alpha )=F(\sin \varphi ;\sin \alpha ).}$$

Existen otras convenciones para la notación de integrales elípticas empleadas en la literatura. La notación con argumentos intercambiados, F ( k , φ ) , se encuentra con frecuencia; y de manera similar E ( k , φ ) para la integral de segundo tipo. Abramowitz y Stegun sustituyen la integral de primer tipo, F ( φ , k ) , por el argumento φ en su definición de las integrales de segundo y tercer tipo, a menos que este argumento vaya seguido de una barra vertical: es decir, E ( F ( φ , k ) | k ² ) por E ( φ | k ² ) . Además, sus integrales completas emplean el parámetro k ² como argumento en lugar del módulo k , es decir K ( k ² ) en lugar de K ( k ) . Y la integral de tercer tipo definida por Gradshteyn y Ryzhik , Π( φ , n , k ) , coloca la amplitud φ en primer lugar y no la "característica" n .

Por lo tanto, hay que tener cuidado con la notación al usar estas funciones, ya que varias referencias y paquetes de software de renombre utilizan diferentes convenciones en las definiciones de las funciones elípticas. Por ejemplo, el software Mathematica de Wolfram y Wolfram Alpha definen la integral elíptica completa de primera especie en términos del parámetro m , en lugar del módulo elíptico k .

La integral elíptica incompleta de primera especie F se define como

$${\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \mid k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$$

Esta es la forma trigonométrica de Legendre de la integral elíptica; sustituyendo t = sin θ y x = sin φ , se obtiene la forma algebraica de Jacobi:

$${\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}.}$$

De forma equivalente, en términos de amplitud y ángulo modular se tiene: $${\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _ {0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}.}$$

Con x = sn( u , k ) se tiene: demostrando que esta función elíptica jacobiana es una simple inversa de la integral elíptica incompleta de primera especie. $${\displaystyle F(x;k)=u;}$$

La integral elíptica incompleta de primera especie tiene el siguiente teorema de adición: $${\displaystyle F\left[\arctan(x),k\right]+F\left[\arctan(y),k\right]=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}$$

El módulo elíptico se puede transformar de esa manera: $${\displaystyle F\left[\arcsin(x),k\right]={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}}$$

La integral elíptica incompleta de segundo tipo E en la forma trigonométrica de Legendre es

$${\displaystyle E(\varphi ,k)=E\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=E(\sin \varphi ;k)=\int _ {0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .}$$

Sustituyendo t = sin θ y x = sin φ , se obtiene la forma algebraica de Jacobi:

$${\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt.}$$

De forma equivalente, en términos de amplitud y ángulo modular: $${\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}\,d\theta .}$$

Las relaciones con las funciones elípticas de Jacobi incluyen: $${\displaystyle {\begin{aligned}E{\left(\operatorname {sn} (u;k);k\right)}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,dw&=u-k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,dw\\[1ex]&=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,dw.\end{aligned}}}$$

La longitud del arco meridiano desde el ecuador hasta la latitud φ se escribe en términos de E : donde a es el semieje mayor y e es la excentricidad . $${\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),}$$

La integral elíptica incompleta de segunda especie tiene el siguiente teorema de adición: $${\displaystyle {\begin{aligned}&E{\left[\arctan(x),k\right]}+E{\left[\arctan(y),k\right]}\\[1ex]&\quad =E{\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}\\[1ex]&\qquad +{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)\end{aligned}}}$$

El módulo elíptico se puede transformar de esa manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}E{\left[\arcsin(x),k\right]}&=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)E{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}\\[.5ex]&\quad -{\sqrt {1-k^{2}}}F{\left[\arcsin(x),k\right]}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\end{aligned}}}$$

La integral elíptica incompleta de tercer tipo Π es $${\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}}$$

o

$${\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-mt^{2}\right)\left(1-t^{2}\right)}}}.}$$

El número n se llama característica y puede tomar cualquier valor, independientemente de los demás argumentos. Sin embargo, tenga en cuenta que el valor Π(1; ⁠π/2⁠ | m ) es infinito, para cualquier m .

Una relación con las funciones elípticas jacobianas es $${\displaystyle \Pi \left(n;\,\operatorname {am} (u;k);\,k\right)=\int _{0}^{u}{\frac {dw}{1-n\,\operatorname {sn} ^{2}(w;k)}}.}$$

La longitud del arco meridiano desde el ecuador hasta la latitud φ también está relacionada con un caso especial de Π :

$${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\Pi \left(e^{2};\varphi \,|\,e^{2}\right).}$$

Se dice que las integrales elípticas son 'completas' cuando la amplitud φ = ⁠π/2y por lo tanto x = 1. La integral elíptica completa de primera especie K puede definirse así como o, de forma más compacta , en términos de la integral incompleta de primera especie como $${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}},}$$$${\displaystyle K(k)=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\tfrac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F(1;k).}$$

Se puede expresar como una serie de potencias.$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(P_{2n}(0)\right)^{2}k^{2n},}$$

donde P _n son los polinomios de Legendre , lo cual es equivalente a

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left({\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\cdots \right),}$$

donde n !! denota el doble factorial . En términos de la función hipergeométrica de Gauss , la integral elíptica completa de primera especie se puede expresar como

$${\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}$$

La integral elíptica completa de primera especie a veces se denomina cuarto de período . Se puede calcular de manera muy eficiente en términos de la media aritmético-geométrica : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}$$

Por lo tanto, el módulo se puede transformar como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}}}{2}},{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\operatorname {agm} \left(1,{\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}K{\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}\end{aligned}}}$$

Esta expresión es válida para todos y 0 ≤ k ≤ 1 : ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle K(k)=n\left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left({\frac {2a}{n}}K(k);k\right)\right]^{-1}K\left[k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left({\frac {2a-1}{n}}K(k);k\right)^{2}\right]}$$

Si k ² = λ ( i √ r ) y (donde λ es la función lambda modular ), entonces K ( k ) se puede expresar en forma cerrada en términos de la función gamma . ^{[ 2 ]} Por ejemplo, r = 2 , r = 3 y r = 7 dan, respectivamente, ^{[ 3 ]}${\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}$

$${\displaystyle K{\left({\sqrt {2}}-1\right)}={\frac {\Gamma {\left({\frac {1}{8}}\right)}\Gamma {\left({\frac {3}{8}}\right)}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}{8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\pi }}}},}$$

y

$${\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{8\pi }}{\sqrt[{4}]{3}}\,{\sqrt[{3}]{4}}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}$$

y

$${\displaystyle K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {4}{7}}\right)}{4{\sqrt[{4}]{7}}\pi }}.}$$

De manera más general, la condición de que esté en un campo cuadrático imaginario ^{[ nota 1 ]} es suficiente. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Por ejemplo, si k = e ^{5 πi /6} , entonces ⁠$${\displaystyle {\frac {iK'}{K}}={\frac {iK\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{K(k)}}}$$iK ′/K⁠ = e ^{2 πi /3} y ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle K{\left(e^{5\pi i/6}\right)}={\frac {e^{-\pi i/12}\Gamma ^{3}{\left({\frac {1}{3}}\right)}{\sqrt[{4}]{3}}}{4{\sqrt[{3}]{2}}\pi }}.}$$

La segunda fórmula anterior, escrita como , se puede completar mediante 5 ecuaciones que muestran que es un período para todos los divisores pares de : ${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}=2^{7/3}\,3^{-1/4}\,K{\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}}$${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{k}}\right)^{k/2}}{\sqrt {\pi }}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 24}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{\sqrt {\pi }}}&=4\,K\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)^{3}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{11/3}\cdot 3\cdot K\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)^{2}\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)^{4}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{17/2}\,K\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\,K\left({\sqrt {2}}-1\right)^{2}\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)^{6}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{55/6}\,3^{7/4}\,({\sqrt {3}}+1)^{3}\,K\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)^{2}\,K\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{3}\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{24}}\right)^{12}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{89/3}3^{25/4}({\sqrt {2}}+1)^{6}({\sqrt {3}}-1)^{3}K\!\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{3}K\!\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)^{4}K\!\left((2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})\right)^{6}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle K\left(k\right)\approx {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{8}}{\frac {k^{2}}{1-k^{2}}}-{\frac {\pi }{16}}{\frac {k^{4}}{1-k^{2}}}}$$ Esta aproximación tiene una precisión relativa mejor que3 × 10 ⁻⁴ para k < ⁠1/2⁠ . Conservar solo los dos primeros términos es correcto con una precisión de 0,01 para k < ⁠1/2⁠ .

La ecuación diferencial para la integral elíptica de primera especie es $${\displaystyle {\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=k\,K(k)}$$

Una segunda solución a esta ecuación es . Esta solución satisface la relación ${\displaystyle K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dk}}K(k)={\frac {E(k)}{k\left(1-k^{2}\right)}}-{\frac {K(k)}{k}}.}$$

Una expansión en fracción continua es: ^{[ 7 ]} donde el nomo está en su definición. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {K(k)}{2\pi }}&=-{\frac {1}{4}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\\&=-{\frac {1}{4}}+{\cfrac {1}{1-q+{\cfrac {\left(1-q\right)^{2}}{1-q^{3}+{\cfrac {q\left(1-q^{2}\right)^{2}}{1-q^{5}+{\cfrac {q^{2}\left(1-q^{3}\right)^{2}}{1-q^{7}+{\cfrac {q^{3}\left(1-q^{4}\right)^{2}}{1-q^{9}+\cdots }}}}}}}}}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle q=q(k)=\exp[-\pi K'(k)/K(k)]}$

Aquí, usamos la integral elíptica completa de primera especie con el parámetro en su lugar, porque la función de cuadratura introduce problemas al invertir en el plano complejo. Así que sean y sean las funciones theta . ${\displaystyle m}$$${\displaystyle K[m]=\int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$$$${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=2e^{\pi i\tau /4}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0,}$$$${\displaystyle \theta _{3}(\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0}$$

La ecuación se puede resolver entonces (siempre que exista una solución) mediante la cual es, de hecho, la función lambda modular . $${\displaystyle \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}$$${\displaystyle m}$$${\displaystyle m={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}$$

Para fines de cálculo, el análisis de errores viene dado por ^{[ 8 ]} donde y . $${\displaystyle \left|{e}^{-\pi i\tau /4}\theta _{2}\!\left(\tau \right)-2\sum _{n=0}^{N-1}{q}^{n\left(n+1\right)}\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N\left(N+1\right)}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;}$$$${\displaystyle \left|\theta _{3}\!\left(\tau \right)-\left(1+2\sum _{n=1}^{N-1}{q}^{n^{2}}\right)\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N^{2}}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;}$$${\displaystyle N\in \mathbb {Z} _{\geq 1}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$

También dónde . $${\displaystyle K[m]={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}(\tau )^{2},\quad \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}$$${\displaystyle m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

La integral elíptica completa de segundo tipo E se define como

$${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt,}$$

o de forma más compacta en términos de la integral incompleta de segundo tipo E ( φ , k ) como

$${\displaystyle E(k)=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k).}$$

Para una elipse con semieje mayor a y semieje menor b y excentricidad e = √ 1 − b ² / a ² , la integral elíptica completa de segundo tipo E ( e ) es igual a un cuarto de la circunferencia C de la elipse medida en unidades del semieje mayor a . En otras palabras:

$${\displaystyle C=4aE(e).}$$

La integral elíptica completa de segundo tipo puede expresarse como una serie de potencias ^{[ 9 ].}

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}$$

lo cual es equivalente a

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right).}$$

En términos de la función hipergeométrica de Gauss , la integral elíptica completa de segundo tipo se puede expresar como

$${\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}$$

El módulo se puede transformar de esa manera: $${\displaystyle E(k)=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-k^{2}}}\,K(k)}$$

Al igual que la integral de primera especie, la integral elíptica completa de segunda especie se puede calcular de manera muy eficiente utilizando la media aritmético-geométrica . ^{[ 1 ]}

Definimos las secuencias a _n y g _n , donde a ₀ = 1 , g ₀ = √ 1 − k ² = k ′ y las relaciones de recurrencia a _{n + 1} = ⁠a _n + g _n/2⁠ , g _{n + 1} = √ a _n g _n se cumple. Además, definimos $${\displaystyle c_{n}={\sqrt {\left|a_{n}^{2}-g_{n}^{2}\right|}}.}$$

Por definición,

$${\displaystyle a_{\infty }=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }g_{n}=\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right).}$$

También

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=0.}$$

Entonces

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2a_{\infty }}}\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right).}$$

En la práctica, la media aritmético-geométrica simplemente se calcularía hasta algún límite. Esta fórmula converge cuadráticamente para todo | k | ≤ 1. Para acelerar aún más el cálculo, la relación c _{n + 1} = ⁠c _n ²/4 a _{n + 1}Se puede utilizar.

Además, si k ² = λ ( i √ r ) y (donde λ es la función lambda modular ), entonces E ( k ) se puede expresar en forma cerrada en términos de y, por lo tanto, se puede calcular sin necesidad del término de suma infinita. Por ejemplo, r = 1 , r = 3 y r = 7 dan, respectivamente, ^{[ 10 ]}${\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}$$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}}$$

$${\displaystyle E{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}={\frac {1}{2}}K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}+{\frac {\pi }{4K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}}},}$$

y

$${\displaystyle E{\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}={\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}K{\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{12K{\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}}},}$$

y

$${\displaystyle E\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {7+2{\sqrt {7}}}{14}}K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {7}}}{28K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)}}.}$$

$${\displaystyle {\frac {dE(k)}{dk}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}}$$$${\displaystyle \left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE(k)}$$

Una segunda solución a esta ecuación es E ( √ 1 − k ² ) − K ( √ 1 − k ² ) .

La integral elíptica completa de tercer tipo Π se puede definir como

$${\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1-n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$$

Nótese que a veces la integral elíptica de tercer tipo se define con un signo inverso para la característica n , $${\displaystyle \Pi '(n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1+n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$$

Al igual que las integrales elípticas completas de primera y segunda especie, la integral elíptica completa de tercera especie se puede calcular de manera muy eficiente utilizando la media aritmético-geométrica. ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-n\right)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}\left(k^{2}-n\right)K(k)+{\frac {1}{n}}\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)\right)\\[8pt]{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{n-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)\end{aligned}}}$$

En 1829, Jacobi definió la función zeta de Jacobi : es periódica en con período mínimo . Está relacionada con la función zn de Jacobi mediante . En la literatura (por ejemplo, Whittaker y Watson (1927)), a veces se refiere a la de Wikipedia . Algunos autores (por ejemplo, King (1924)) usan para referirse tanto a la de Wikipedia como a . $${\displaystyle Z(\varphi ,k)=E(\varphi ,k)-{\frac {E(k)}{K(k)}}F(\varphi ,k).}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle Z(\varphi ,k)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,k),k)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \operatorname {zn} }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \operatorname {zn} }$

La relación de Legendre o identidad de Legendre muestra la relación de las integrales K y E de un módulo elíptico y su contraparte anti-relacionada ^{[ 11 ] [ 12 ]} en una ecuación integral de segundo grado:

Para dos módulos que son contrapartes pitagóricas entre sí, esta relación es válida:

$${\displaystyle K(\varepsilon )E{\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)}+E(\varepsilon )K{\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)}-K(\varepsilon )K{\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)}={\frac {\pi }{2}}}$$

Por ejemplo: $${\displaystyle K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})E({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})+E({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})-K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$$

Y para dos módulos que son contrapartes tangenciales entre sí, se cumple la siguiente relación:

$${\displaystyle (1+\varepsilon )K(\varepsilon )E({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})+{\tfrac {2}{1+\varepsilon }}E(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})-2K(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})={\tfrac {1}{2}}\pi }$$

Por ejemplo: $${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})E({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})+{\tfrac {3}{2}}E({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})-2K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$$

La relación de Legendre para contrapartes modulares tangenciales resulta directamente de la identidad de Legendre para contrapartes modulares pitagóricas mediante el uso de la transformación modular de Landen en el contramódulo pitagórico.

Para el caso lemniscático, el módulo elíptico o excentricidad específica ε es igual a la mitad de la raíz cuadrada de dos. La identidad de Legendre para el caso lemniscático se puede demostrar de la siguiente manera:

Según la regla de la cadena, se cumplen las siguientes derivadas:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-F\left[\arccos(xy);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-2E\left[\arccos(xy);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]+F\left[\arccos(xy);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}$$

Mediante el uso del teorema fundamental del cálculo se pueden generar estas fórmulas:

$${\displaystyle K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-F{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}$$$${\displaystyle 2E{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-2E{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}+F{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}$$

La combinación lineal de las dos integrales mencionadas conduce a la siguiente fórmula:

$${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\left\{2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-2E\left[\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]+F\left[\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]\right\}\,+}$$$${\displaystyle +\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\left\{K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-F\left[\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]\right\}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}$$

Al formar la antiderivada original relacionada con x a partir de la función que ahora se muestra utilizando la regla del producto, se obtiene la siguiente fórmula:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-F{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}\right]\left[2E{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-2E{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}+F{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}\right]\\[1ex]&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\left[{\text{artanh}}(y^{2})-{\text{artanh}}\left({\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right)\right]\mathrm {d} y\end{aligned}}}$$

Si se inserta el valor en esta identidad integral, entonces surge la siguiente identidad:${\displaystyle x=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}\left[2\,E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\right]&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y\\&=\left[2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2})\right]_{y=0}^{y=1}\\&=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$$

Así es como aparece este fragmento lemniscático de la identidad de Legendre:

$${\displaystyle 2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {\pi }{2}}}$$

Ahora se resuelve el caso general modular ^{[ 13 ] [ 14 ]} . Para ello, se derivan las integrales elípticas completas después del módulo y luego se combinan. Finalmente, se determina el equilibrio de la identidad de Legendre. ${\displaystyle \varepsilon }$

Porque la derivada de la función circular es el producto negativo de la función de mapeo idéntica y el recíproco de la función circular:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}=-\,{\frac {\varepsilon }{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}$$

Estas son las derivadas de K y E que se muestran en este artículo en las secciones anteriores:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )\right]}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )=-\,{\frac {1}{\varepsilon }}\left[K(\varepsilon )-E(\varepsilon )\right]}$$

En combinación con la derivada de la función del círculo, estas derivadas son válidas entonces:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}\left[K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}$$

La identidad de Legendre incluye productos de cualesquiera dos integrales elípticas completas. Para la derivación del lado de la función a partir de la escala de la ecuación de la identidad de Legendre, ahora se aplica la regla del producto de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}$$

De estas tres ecuaciones, sumando las dos primeras y restando la última se obtiene este resultado:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left[K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]=0}$$

En relación con la ecuación, el equilibrio siempre da el valor cero. ${\displaystyle \varepsilon }$

El resultado previamente determinado se combinará con la ecuación de Legendre para obtener el módulo que se calcula en la sección anterior: ${\displaystyle \varepsilon =1/{\sqrt {2}}}$

$${\displaystyle 2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {\pi }{2}}}$$

La combinación de las dos últimas fórmulas da como resultado lo siguiente:

$${\displaystyle K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$$

Porque si la derivada de una función continua siempre toma el valor cero, entonces dicha función es una función constante . Esto significa que esta función produce el mismo valor para cada valor de abscisa y, por lo tanto, la gráfica de la función es una línea recta horizontal. ${\displaystyle \varepsilon }$