Karl Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ( / ˈ v aɪ ər ˌ s t r ɑː s , - ˌ ʃ t r ɑː s / ; ^{[ 1 ]} Alemán: Weierstraß [ ˈvaɪɐʃtʁaːs ] ; ^[²^] 31 de octubre de 1815 – 19 de febrero de 1897) fue un matemático alemán a menudo citado como el " padre del análisis moderno ". ^[³^] A pesar de dejar la universidad sin un título, estudió matemáticas y se formó como maestro de escuela, llegando a enseñar matemáticas , física , botánica y gimnasia . ^[⁴^] Más tarde recibió un doctorado honoris causa y se convirtió en profesor de matemáticas en Berlín.

Entre muchas otras contribuciones, Weierstrass formalizó la definición de continuidad de una función y el análisis complejo , demostró el teorema del valor intermedio y el teorema de Bolzano-Weierstrass , y utilizó este último para estudiar las propiedades de las funciones continuas en intervalos cerrados y acotados.

Biografía

Weierstrass nació en el seno de una familia católica romana en Ostenfelde, un pueblo cerca de Ennigerloh , en la provincia de Westfalia . ^{[ 5 ]}

Karl Weierstrass era hijo de Wilhelm Weierstrass y Theodora Vonderforst; su padre era funcionario del gobierno y ambos eran católicos de la región del Rin . Su interés por las matemáticas comenzó durante sus estudios de bachillerato en el Theodorianum de Paderborn . Tras graduarse, fue enviado a la Universidad de Bonn para prepararse para un puesto en la administración pública; para ello, debía cursar estudios de derecho, economía y finanzas, una situación que chocaba de inmediato con su deseo de estudiar matemáticas. Resolvió este conflicto haciendo caso omiso de su plan de estudios y continuando sus estudios de matemáticas por su cuenta, lo que finalmente le llevó a abandonar la universidad sin obtener un título.

Weierstrass continuó sus estudios de matemáticas en la Academia de Münster (una institución ya entonces famosa por sus estudios matemáticos), y su padre logró conseguirle una plaza en una escuela de formación de profesores en Münster ; sus esfuerzos allí finalmente le permitieron obtener la certificación como profesor en esa ciudad. Durante este período de estudios, Weierstrass asistió a las clases de Christoph Gudermann y se interesó por las funciones elípticas .

En 1843 enseñó en Deutsch Krone en Prusia Occidental , y desde 1848 enseñó en el Lyceum Hosianum en Braunsberg . ^{[ 6 ]} Además de matemáticas, también enseñó física, botánica y gimnasia. ^{[ 5 ]} En algún momento, Weierstrass pudo haber tenido un hijo ilegítimo con la viuda de su amigo Carl Wilhelm Borchardt . ^{[ 7 ]}

Después de 1850, Weierstrass sufrió una larga enfermedad, pero aun así logró publicar artículos matemáticos de suficiente calidad y originalidad como para alcanzar fama y prestigio. La Universidad de Königsberg le otorgó un doctorado honoris causa el 31 de marzo de 1854. En 1856, ocupó una cátedra en el Gewerbeinstitut de Berlín (un instituto para la formación de trabajadores técnicos, que más tarde se fusionaría con la Bauakademie para formar la Technische Hochschule de Charlottenburg; actualmente Technische Universität Berlin ). En 1864, se convirtió en profesor de la Friedrich-Wilhelms-Universität Berlin, que posteriormente pasó a llamarse Humboldt Universität zu Berlin .

En 1870, a los cincuenta y cinco años, Weierstrass conoció a Sofia Kovalevskaya, a quien impartió clases particulares tras no lograr su ingreso en la universidad. Mantuvieron una fructífera relación intelectual y una cordial relación personal que trascendió con creces la habitual relación profesor-alumno. La guió durante cuatro años y la consideró su mejor alumna, ayudándola a obtener un doctorado de la Universidad de Heidelberg sin necesidad de defender oralmente su tesis.

Desde 1870 hasta su muerte en 1891, Kovalevskaya mantuvo correspondencia con Weierstrass. Al enterarse de su fallecimiento, él quemó sus cartas. Se conservan alrededor de 150 de sus cartas a ella. El profesor Reinhard Bölling descubrió el borrador de la carta que ella le escribió a Weierstrass cuando llegó a Estocolmo en 1883 tras su nombramiento como profesora adjunta en la Universidad de Estocolmo . ^{[ 8 ]}

Weierstrass estuvo inmóvil durante los últimos tres años de su vida y murió en Berlín de neumonía el 19 de febrero de 1897. ^{[ 9 ]}

Contribuciones matemáticas

Solidez del cálculo

Weierstrass estaba interesado en la solidez del cálculo, y en aquel entonces existían definiciones algo ambiguas de sus fundamentos, por lo que no se podían demostrar teoremas importantes con suficiente rigor. Si bien Bolzano había desarrollado una definición razonablemente rigurosa de límite ya en 1817 (y posiblemente incluso antes), su trabajo permaneció desconocido para la mayor parte de la comunidad matemática hasta años después, y muchos matemáticos solo contaban con definiciones vagas de límites y continuidad de funciones.

La idea básica detrás de las demostraciones Delta-epsilon se encuentra, posiblemente, por primera vez en los trabajos de Cauchy en la década de 1820. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} Cauchy no distinguió claramente entre continuidad y continuidad uniforme en un intervalo. En particular, en su Cours d'analyse de 1821, Cauchy argumentó que el límite (puntual) de funciones continuas (puntuales) era en sí mismo continuo (puntual), una afirmación que es falsa en general. La afirmación correcta es, más bien, que el límite uniforme de funciones continuas es continuo (además, el límite uniforme de funciones uniformemente continuas es uniformemente continuo). Esto requirió el concepto de convergencia uniforme , que fue observado por primera vez por el asesor de Weierstrass, Christoph Gudermann , en un artículo de 1838, donde Gudermann notó el fenómeno pero no lo definió ni lo desarrolló. Weierstrass vio la importancia del concepto, y lo formalizó y aplicó ampliamente en los fundamentos del cálculo.

La definición formal de continuidad de una función, tal como la formuló Weierstrass, es la siguiente:

$\displaystyle f(x)$ es continuo en $\displaystyle x=x_{0}$ si $\displaystyle \forall \ \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0$ de tal manera que para cada $x$ en el dominio de $f$ , $\displaystyle \ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$ En inglés sencillo, $\displaystyle f(x)$ es continuo en un punto $\displaystyle x=x_{0}$ si para cada $x$ lo suficientemente cerca de $x_{0}$ , el valor de la función $f(x)$ está muy cerca de $f(x_{0})$ , donde la restricción de "suficientemente cerca" normalmente depende de la cercanía deseada de $f(x_{0})$ a $f(x).$ Utilizando esta definición, demostró el Teorema del Valor Intermedio. También demostró el teorema de Bolzano-Weierstrass y lo empleó para estudiar las propiedades de las funciones continuas en intervalos cerrados y acotados.

Cálculo de variaciones

Weierstrass también realizó avances en el campo del cálculo de variaciones . Utilizando el aparato analítico que ayudó a desarrollar, logró reformular completamente la teoría, sentando las bases para el estudio moderno del cálculo de variaciones. Entre varios axiomas, Weierstrass estableció una condición necesaria para la existencia de extremos fuertes en problemas variacionales. Asimismo, contribuyó a la formulación de la condición de Weierstrass-Erdmann , que proporciona condiciones suficientes para que un extremo tenga un vértice a lo largo de un extremo dado y permite hallar una curva minimizadora para una integral dada.

Otros teoremas analíticos

Honores y premios

El cráter lunar Weierstrass y el asteroide 14100 Weierstrass llevan su nombre. Además, en Berlín se encuentra el Instituto Weierstrass de Análisis Aplicado y Estocástica .

Obras seleccionadas

Zur Theorie der Abelschen Funktionen (1854)
Teoría de las funciones abelschen (1856)
Abhandlungen-1 , Matemáticas. Trabajo. Bd. 1. Berlín, 1894
Abhandlungen-2 , Matemáticas. Trabajo. Bd. 2. Berlín, 1895
Abhandlungen-3 , Matemáticas. Trabajo. Bd. 3. Berlín, 1903
Voll. ueber die Theorie der Abelschen Transcendenten , Math. Trabajo. Bd. 4. Berlín, 1902
Voll. ueber Variationsrechnung , Matemáticas. Trabajo. Bd. 7. Leipzig, 1927

Véase también

Lista de cosas que llevan el nombre de Karl Weierstrass

Referencias

↑ "Weierstrass" . Diccionario completo de Random House Webster .
^ Amigo. Das Aussprachewörterbuch. 7. Auflaje. Bibliographisches Institut, Berlín 2015, ISBN 978-3-411-04067-4
↑ "Karl Weierstrass | Matemático alemán, padre del análisis moderno" . Encyclopædia Britannica .
↑ Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm. (2018). En Helicon (Ed.), The Hutchinson unabridged encyclopedia with atlas and weather guide . [En línea]. Abington: Helicon. Disponible en: http://libezproxy.open.ac.uk/login?url= Enlace. Consultado el 8 de julio de 2018.
1 2 O'Connor, JJ; Robertson, EF (octubre de 1998). "Karl Theodor Wilhelm Weierstrass" . Escuela de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia . Recuperado el 7 de septiembre de 2014 .
↑ Elstrodt, Jürgen (2016). "Die prägenden Jahre im Leben von Karl Weierstraß". En König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen (eds.). Karl Weierstraß (1815–1897) (en alemán). Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden. págs. 11 a 51. doi : 10.1007/978-3-658-10619-5_2 . ISBN 978-3-658-10618-8. Consultado el 12 de agosto de 2023 .
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Enlaces externos

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Karl Weierstrass" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
Las versiones digitalizadas de las publicaciones originales de Weierstrass están disponibles gratuitamente en línea en la biblioteca de la Brandenburgische Akademie der Wissenschaften de Berlín .
Obras de Karl Weierstrass en el Proyecto Gutenberg.
Obras de o sobre Karl Weierstrass en el Archivo de Internet

[1] "Weierstrass" . Diccionario completo de Random House Webster .

[2] Amigo. Das Aussprachewörterbuch. 7. Auflaje. Bibliographisches Institut, Berlín 2015, ISBN 978-3-411-04067-4

[3] "Karl Weierstrass | Matemático alemán, padre del análisis moderno" . Encyclopædia Britannica .

[4] Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm. (2018). En Helicon (Ed.), The Hutchinson unabridged encyclopedia with atlas and weather guide . [En línea]. Abington: Helicon. Disponible en: http://libezproxy.open.ac.uk/login?url= Enlace. Consultado el 8 de julio de 2018.

[StAndrews-5] 1 2 O'Connor, JJ; Robertson, EF (octubre de 1998). "Karl Theodor Wilhelm Weierstrass" . Escuela de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia . Recuperado el 7 de septiembre de 2014 .

[6] Elstrodt, Jürgen (2016). "Die prägenden Jahre im Leben von Karl Weierstraß". En König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen (eds.). Karl Weierstraß (1815–1897) (en alemán). Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden. págs. 11 a 51. doi : 10.1007/978-3-658-10619-5_2 . ISBN 978-3-658-10618-8. Consultado el 12 de agosto de 2023 .

[7] Biermann, Kurt-R.; Schubring, Gert (1996). «Einige Nachträge zur Biographie von Karl Weierstraß. (alemán) [ Algunas posdatas de la biografía de Karl Weierstrass ] » . Historia de las matemáticas . San Diego, CA: Prensa académica. págs. 65 a 91.

[8] Kuznetsov, Vadim B., ed. (2002). " La vida de SV Kovalevskaya por Roger L. Cooke" . The Kowalevski Property (Leeds, 2000) CRM Proceedings & Lecture Notes, vol. 32. American Mathematical Soc. pp. 1–19 . ISBN 978-0-8218-7330-4.Véase la página 7 del libro de 2002. Texto en línea .

[9] Gillispie, Charles Coulston, ed. (1970). Diccionario de biografía científica 14: Addison Emery Verrill - Johann Zwelfer . Vol. 14. Comité del Consejo Estadounidense de Sociedades Científicas sobre el Diccionario de biografía científica. Nueva York: Scribner. pág. 223. ISBN 978-0-684-12926-6OCLC 89822

[10] Grabiner, Judith V. (marzo de 1983), "¿Quién te dio el épsilon? Cauchy y los orígenes del cálculo riguroso" (PDF) , The American Mathematical Monthly , 90 (3): 185–194 , doi : 10.2307/2975545 , JSTOR 2975545 , archivado (PDF) del original el 29 de noviembre de 2014.

[11] Cauchy, A.-L. (1823), "Septième Leçon - Valeurs de quelques expresiones que se presentan bajo las formas indéterminées ${\frac {\infty }{\infty }},\infty ^{0},\ldots$ Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée" , Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal , París, p. 44 , archivado desde el original el 4 de mayo de 2009 , consultado el 1 de mayo de 2009.

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