Teorema del valor intermedio

En análisis matemático , el teorema del valor intermedio establece que si $f$ es una función continua cuyo dominio contiene el intervalo $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ y $s$ es un número tal que $f(a)<s<f(b)$ , entonces existe algo $x$ entre $a$ y $b$ de tal manera que $f(x)=s$ . Es decir, la imagen de una función continua sobre un intervalo es en sí misma un intervalo que contiene $f(a),f(b)$ .

Por ejemplo, supongamos que $f\in C([1,2]),f(1)=3,f(2)=5$ , entonces la gráfica de $y=f(x)$ debe pasar por la línea horizontal $y=4$ mientras $x$ movimientos de $1$ a $2$ En dicho intervalo, el conjunto de valores de la función no presenta interrupciones, y la gráfica puede dibujarse sin necesidad de levantar el lápiz del papel.

El corolario del teorema de Bolzano establece que si una función continua tiene valores de signo opuesto dentro de un intervalo, entonces tiene una raíz en ese intervalo. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} El teorema depende de, y es equivalente a, la completitud de los números reales , aunque el teorema de Weierstrass Nullstellensatz es una versión del teorema del valor intermedio para polinomios sobre un cuerpo real cerrado .

Un resultado similar al teorema del valor intermedio es el teorema de Borsuk-Ulam , que explica por qué al girar una mesa inestable siempre se estabiliza. El teorema de Darboux establece que todas las funciones que resultan de la derivación de otra función en algún intervalo poseen la propiedad del valor intermedio , aunque no necesariamente sean continuas.

Motivación

Esto captura una propiedad intuitiva de las funciones continuas sobre los números reales : dado $f$ continuo en $[1,2]$ con los valores conocidos $f(1)=3$ y $f(2)=5$ , entonces la gráfica de $y=f(x)$ debe pasar por la línea horizontal $y=4$ mientras $x$ movimientos de $1$ a $2$ Representa la idea de que la gráfica de una función continua en un intervalo cerrado se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Teorema

El teorema del valor intermedio establece lo siguiente:

Consideremos el intervalo cerrado $I=[a,b]$ de números reales $\mathbb {R}$ y una función continua $f\colon I\to \mathbb {R}$ . Entonces

Versión I. si $u$ es un número entre $f(a)$ y $f(b)$ , eso es, $\min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b)),$ entonces hay un $c\in (a,b)$ de tal manera que $f(c)=u$ .
Versión II. El conjunto de imágenes $f(I)$ es también un intervalo cerrado y contiene ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ . Es decir, el conjunto de valores de función no tiene brecha; para cualesquiera dos valores de función $c,d\in f(I)$ con $c<d$ , todos los puntos en el intervalo ${\bigl [}c,d{\bigr ]}$ también son valores de función, ${\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I).$ Fundamentalmente, un subconjunto de los números reales sin espacios internos es un intervalo.

La versión I está naturalmente contenida en la versión II .

Prueba

El teorema depende de, y es equivalente a, la completitud de los números reales . El teorema del valor intermedio no se aplica a los números racionales Q porque existen huecos entre los números racionales; los números irracionales llenan esos huecos. Por ejemplo, la función $f(x)=x^{2}$ para $x\in \mathbb {Q}$ Satisface $f(0)=0$ y $f(2)=4$ Sin embargo, no existe un número racional. $x$ de tal manera que $f(x)=2$ , porque ${\sqrt {2}}$ es un número irracional.

A pesar de lo anterior, existe una versión del teorema del valor intermedio para polinomios sobre un cuerpo real cerrado ; véase el teorema de los ceros de Weierstrass .

Versión de prueba A

El teorema puede demostrarse como consecuencia de la propiedad de completitud de los números reales de la siguiente manera: ^{[ 3 ]}

Probaremos el primer caso, $f(a)<u<f(b)$ El segundo caso es similar.

Dejar $S$ ser el conjunto de todos $x\in [a,b]$ de tal manera que $f(x)<u$ .
Entonces $S$ no está vacío ya que $a$ es un elemento de $S$ .
Desde $S$ no es vacío y está limitado superiormente por $b$ , por completitud, el supremo $c=\sup S$ existe. Es decir, $c$ es el número más pequeño que es mayor o igual que cada miembro de $S$ .

Tenga en cuenta que, debido a la continuidad de $f$ en $a$ , podemos mantener $f(x)$ dentro de cualquier $\varepsilon >0$ de $f(a)$ manteniendo $x$ suficientemente cerca de $a$ . Desde $f(a)<u$ es una desigualdad estricta, considere la implicación cuando $\varepsilon$ es la distancia entre $u$ y $f(a)$ . No $x$ suficientemente cerca de $a$ entonces puede hacer $f(x)$ mayor o igual que $u$ , lo que significa que hay valores mayores que $a$ en $S$ Una demostración más detallada es la siguiente:

Elegir $\varepsilon =uf(a)>0$ . Entonces $\exists \delta >0$ de tal manera que $\forall x\in [a,b]$ , $|xa|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<uf(a)\implies f(x)<u.$
Consideremos el intervalo $[a,\min(a+\delta ,b))=I_{1}$ . Observa que $I_{1}\subseteq [a,b]$ y cada $x\in I_{1}$ satisface la condición $|xa|<\delta$ Por lo tanto, para cada $x\in I_{1}$ tenemos $f(x)<u$ . Por eso $c$ no puede ser $a$ .

Asimismo, debido a la continuidad de $f$ en $b$ , podemos mantener $f(x)$ dentro de cualquier $\varepsilon >0$ de $f(b)$ manteniendo $x$ suficientemente cerca de $b$ . Desde $u<f(b)$ es una desigualdad estricta, considere la implicación similar cuando $\varepsilon$ es la distancia entre $u$ y $f(b)$ . Cada $x$ suficientemente cerca de $b$ entonces debe hacer $f(x)$ más que $u$ , lo que significa que hay valores menores que $b$ que son límites superiores de $S$ Una demostración más detallada es la siguiente:

Elegir $\varepsilon =f(b)-u>0$ . Entonces $\exists \delta >0$ de tal manera que $\forall x\in [a,b]$ , $|xb|<\delta \implies |f(x)-f(b)|<f(b)-u\implies f(x)>u.$
Consideremos el intervalo $(\max(a,b-\delta ),b]=I_{2}$ . Observa que $I_{2}\subseteq [a,b]$ y cada $x\in I_{2}$ satisface la condición $|xb|<\delta$ Por lo tanto, para cada $x\in I_{2}$ tenemos $f(x)>u$ . Por eso $c$ no puede ser $b$ .

Con $c\neq a$ y $c\neq b$ debe ser el caso $c\in (a,b)$ Ahora afirmamos que $f(c)=u$ .

Arregla algunos $\varepsilon >0$ . Desde $f$ es continuo en $c$ , $\exists \delta _{1}>0$ de tal manera que $\forall x\in [a,b]$ , $|xc|<\delta _{1}\implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon$ .

Desde $c\in (a,b)$ y $(a,b)$ está abierto, $\exists \delta _{2}>0$ de tal manera que $(c-\delta _{2},c+\delta _{2})\subseteq (a,b)$ . Colocar $\delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})$ . Entonces tenemos

$f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon$ a pesar de $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ Por las propiedades del supremo, existe alguna $a^{*}\in (c-\delta ,c]$ que está contenido en $S$ , y entonces $f(c)<f(a^{*})+\varepsilon <u+\varepsilon .$ Cosecha $a^{**}\in (c,c+\delta )$ , sabemos que $a^{**}\not \in S$ porque $c$ es el supremo de $S$ Esto significa que $f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \geq u-\varepsilon .$ Ambas desigualdades $u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon$

son válidos para todos $\varepsilon >0$ de lo cual deducimos $f(c)=u$ como el único valor posible, tal como se indicó.

Versión de prueba B

Solo probaremos el caso de $f(a)<u<f(b)$ , como el $f(a)>u>f(b)$ El caso es similar. ^{[ 4 ]}

Definir $g(x)=f(x)-u$ lo cual es equivalente a $f(x)=g(x)+u$ y reescribamos $f(a)<u<f(b)$ como $g(a)<0<g(b)$ Tenemos que demostrar que $g(c)=0$ para algunos $c\in [a,b]$ . Además definimos el conjunto $S=\{x\in [a,b]:g(x)\leq 0\}$ .
Porque $g(a)<0$ sabemos que $a\in S$ de modo que $S$ no está vacío.
Además, como $S\subseteq [a,b]$ , sabemos que $S$ es limitado y no vacío, por lo que por completitud, el supremo $c=\sup(S)$ existe.
Hay 3 casos para el valor de $g(c)$ , aquellos siendo $g(c)<0,g(c)>0$ y $g(c)=0$ . Para evitar una contradicción , supongamos que $g(c)<0$ .
Por definición de continuidad, para $\epsilon =0-g(c)$ $\epsilon =0-g(c)$ , existe un $\delta >0$ $\delta >0$ de tal manera que $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ implica que $|g(x)-g(c)|<-g(c)$ $|g(x)-g(c)|<-g(c)$ , lo cual es equivalente a $g(x)<0$ $g(x)<0$ .
1. Si tan solo eligiéramos $x=c+{\frac {\delta }{N}}$ , dónde $N>{\frac {\delta }{b-c}}+1$ , entonces como $1<N$ , $x<c+\delta$ , de donde obtenemos $g(x)<0$ y $c<x<b$ , entonces $x\in S$ .
2. Sin embargo, $x>c$ , contradiciendo el hecho de que $c$ es un límite superior de $S$ , entonces $g(c)\geq 0$ .
Supongamos entonces que $g(c)>0$ $g(c)>0$ Nosotros también elegimos $\epsilon =g(c)-0$ $\epsilon =g(c)-0$ y saber que existe una $\delta >0$ $\delta >0$ de tal manera que $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ implica $|g(x)-g(c)|<g(c)$ $|g(x)-g(c)|<g(c)$ Podemos reescribir esto como $-g(c)<g(x)-g(c)<g(c)$ $-g(c)<g(x)-g(c)<g(c)$ lo cual implica que $g(x)>0$ $g(x)>0$ .
1. Si ahora elegimos $x=c-{\frac {\delta }{2}}$ , entonces $g(x)>0$ y $a<x<c$ .
2. Resulta que $x$ es un límite superior para $S$ .
3. Sin embargo, $x<c$ lo cual contradice la propiedad mínima del límite superior mínimo $c$ , lo que significa que $g(c)>0$ es imposible.
Si combinamos ambos resultados, obtenemos que $g(c)=0$ o $f(c)=u$ es la única posibilidad que queda.

Nota: El teorema del valor intermedio también puede demostrarse utilizando los métodos del análisis no estándar , que sitúan los argumentos "intuitivos" que involucran infinitesimales sobre una base rigurosa. ^{[ 5 ]}

Historia

Una forma del teorema fue postulada ya en el siglo V a. C., en la obra de Bryson de Heraclea sobre la cuadratura del círculo . Bryson argumentó que, dado que existen círculos mayores y menores que un cuadrado dado, debe existir un círculo de igual área. ^{[ 6 ]} El teorema fue demostrado por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Bolzano utilizó la siguiente formulación del teorema: ^{[ 7 ]}

Dejar $f,\varphi$ sean funciones continuas en el intervalo entre $\alpha$ y $\beta$ de tal manera que $f(\alpha )<\varphi (\alpha )$ y $f(\beta )>\varphi (\beta )$ . Luego hay un $x$ entre $\alpha$ y $\beta$ de tal manera que $f(x)=\varphi (x)$ .

La equivalencia entre esta formulación y la moderna se puede demostrar estableciendo $\varphi$ a la función constante apropiada . Augustin-Louis Cauchy proporcionó la formulación moderna y una demostración en 1821. ^{[ 8 ]} Ambos se inspiraron en el objetivo de formalizar el análisis de funciones y en el trabajo de Joseph-Louis Lagrange . La idea de que las funciones continuas poseen la propiedad del valor intermedio tiene un origen anterior. Simon Stevin demostró el teorema del valor intermedio para polinomios (usando un polinomio cúbico como ejemplo) al proporcionar un algoritmo para construir la expansión decimal de la solución. El algoritmo subdivide iterativamente el intervalo en 10 partes, produciendo un dígito decimal adicional en cada paso de la iteración. ^{[ 9 ]} Antes de que se diera la definición formal de continuidad, la propiedad del valor intermedio se dio como parte de la definición de una función continua. Entre los defensores se encuentra Louis Arbogast , quien asumió que las funciones no tenían saltos, satisfacían la propiedad del valor intermedio y tenían incrementos cuyos tamaños correspondían a los tamaños de los incrementos de la variable. ^{[ 10 ]}

Autores anteriores consideraban que el resultado era intuitivamente obvio y que no requería demostración. La aportación de Bolzano y Cauchy consistió en definir una noción general de continuidad (en términos de infinitesimales en el caso de Cauchy y mediante desigualdades reales en el caso de Bolzano) y proporcionar una demostración basada en dichas definiciones.

Funciones de Darboux

Una función de Darboux es una función real $f$ que posee la propiedad del valor intermedio, es decir, que satisface la conclusión del teorema del valor intermedio: para cualesquiera dos valores $a$ y $b$ en el dominio de $f$ , y cualquier $y$ entre $f (a)$ y $f (b)$ , existe algún $c$ entre $a$ y $b$ tal que $f (c) = y$ . El teorema del valor intermedio afirma que toda función continua es una función de Darboux. Sin embargo, no toda función de Darboux es continua; es decir, el recíproco del teorema del valor intermedio es falso.

Como ejemplo, tomemos la función $f : [0, \infty) \to [-1, 1]$ definida por $f (x) = sin(1/ x)$ para $x > 0$ y $f (0) = 0$ . Esta función no es continua en $x = 0$ porque el límite de $f (x)$ cuando $x$ tiende a 0 no existe; sin embargo, la función tiene la propiedad de valor intermedio. Otro ejemplo más complicado lo da la función de base 13 de Conway .

De hecho, el teorema de Darboux establece que todas las funciones que resultan de la diferenciación de alguna otra función en algún intervalo tienen la propiedad del valor intermedio (aunque no necesariamente sean continuas).

Históricamente, esta propiedad de valor intermedio se ha sugerido como una definición de continuidad de funciones de valor real; ^{[ 11 ]} esta definición no fue adoptada.

Generalizaciones

Espacios multidimensionales

El teorema de Poincaré-Miranda es una generalización del teorema del valor intermedio de un intervalo (unidimensional) a un rectángulo (bidimensional) o, más generalmente, a un cubo n- dimensional .

Vrahatis ^{[ 12 ]} presenta una generalización similar a triángulos, o más generalmente, a símplices n -dimensionales . Sea D ⁿ un símplice n -dimensional con n +1 vértices denotados por v ₀ ,..., v _n . Sea F =( f ₁ ,..., f _n ) una función continua de D ⁿ a R ⁿ , que nunca es igual a 0 en la frontera de D ⁿ . Supongamos que F satisface las siguientes condiciones:

Para todo i en 1,..., n , el signo de f _i ( v _i ) es opuesto al signo de f _i ( x ) para todos los puntos x en la cara opuesta a v _i ;
El vector signo de f ₁ ,..., f _n en v ₀ no es igual al vector signo de f ₁ ,..., f _n en todos los puntos de la cara opuesta a v ₀ .

Entonces hay un punto z en el interior de D ⁿ en el que F ( z )=(0,...,0).

Es posible normalizar f _i de tal manera que f _i ( v _i )>0 para todo i ; entonces las condiciones se vuelven más simples:

Para todo i en 1,..., n , f _i ( v _i )>0, y f _i ( x )<0 para todos los puntos x en la cara opuesta a v _i . En particular, f _i ( v ₀ )<0.
Para todos los puntos x en la cara opuesta a v ₀ , f _i ( x )>0 para al menos un i en 1,..., n.

El teorema se puede demostrar basándose en el lema de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz . Se puede utilizar para aproximaciones de puntos fijos y ceros. ^{[ 13 ]}

Espacios métricos y topológicos generales

El teorema del valor intermedio está estrechamente vinculado a la noción topológica de conexidad y se deduce de las propiedades básicas de los conjuntos conexos en espacios métricos y de los subconjuntos conexos de R en particular:

Si $X$ y $Y$ son espacios métricos , $f\colon X\to Y$ es un mapa continuo y $E\subset X$ es un subconjunto conectado , entonces $f(E)$ está conectado. ( * )
Un subconjunto $E\subset \mathbb {R}$ Está conectado si y solo si satisface la siguiente propiedad: $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$ . ( ** )

De hecho, la conexidad es una propiedad topológica y (*) se generaliza a espacios topológicos : Si $X$ y $Y$ son espacios topológicos, $f\colon X\to Y$ es un mapa continuo y $X$ es un espacio conectado , entonces $f(X)$ está conectado. La preservación de la conectividad bajo aplicaciones continuas puede pensarse como una generalización del teorema del valor intermedio, una propiedad de las funciones continuas de valor real de una variable real , a funciones continuas en espacios generales.

Recordemos la primera versión del teorema del valor intermedio, enunciada anteriormente:

Teorema del valor intermedio ( Versión I ) — Consideremos un intervalo cerrado $I=[a,b]$ en cifras reales $\mathbb {R}$ y una función continua $f\colon I\to \mathbb {R}$ . Entonces, si $u$ es un número real tal que $\min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b))$ , existe $c\in (a,b)$ de tal manera que $f(c)=u$ .

El teorema del valor intermedio es una consecuencia inmediata de estas dos propiedades de conectividad: ^{[ 14 ]}

Prueba

Por (**) , $I=[a,b]$ es un conjunto conexo. De (*) se deduce que la imagen, $f(I)$ , también está conectado. Para mayor comodidad, supongamos que $f(a)<f(b)$ . Luego, invocando una vez más (**) , $f(a)<u<f(b)$ implica que $u\in f(I)$ , o $f(c)=u$ para algunos $c\in I$ . Desde $u\neq f(a),f(b)$ , $c\in (a,b)$ debe cumplirse realmente, y la conclusión deseada se deduce. El mismo argumento se aplica si $f(b)<f(a)$ , así que hemos terminado. QED

El teorema del valor intermedio se generaliza de forma natural: Supongamos que $X$ es un espacio topológico conexo y $(Y, <)$ es un conjunto totalmente ordenado dotado de la topología de orden , y sea $f : X \to Y$ una aplicación continua. Si $a$ y $b$ son dos puntos en $X$ y $u$ es un punto en $Y$ que se encuentra entre $f (a)$ y $f (b)$ con respecto a $<$ , entonces existe $c$ en $X$ tal que $f (c) = u$ . El teorema original se recupera al observar que $R$ es conexo y que su topología natural es la topología de orden.

El teorema del punto fijo de Brouwer es un teorema relacionado que, en una dimensión, proporciona un caso especial del teorema del valor intermedio.

En matemáticas constructivas

En matemáticas constructivas , el teorema del valor intermedio no es cierto. En cambio, la conclusión atenuada que se debe aceptar establece que el valor solo puede encontrarse en un intervalo que puede ser arbitrariamente pequeño.

Dejar $a$ y $b$ sean números reales y $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ sea una función continua puntualmente del intervalo cerrado $[a,b]$ a la línea real, y supongamos que $f(a)<0$ y $0<f(b)$ . Entonces, para cada número positivo $\varepsilon >0$ existe un punto $x$ en el intervalo abierto $(a,b)$ de tal manera que $\vert f(x)\vert <\varepsilon$ . ^{[ 15 ]}

Aplicaciones prácticas

Un resultado similar es el teorema de Borsuk-Ulam , que dice que una aplicación continua de la $n$ -esfera a euclidiana $n$ -El espacio siempre asignará un par de puntos antipodales al mismo lugar.

Demostración para el caso unidimensional

Llevar $f$ Sea cualquier función continua en un círculo. Dibuje una línea que pase por el centro del círculo, que lo interseque en dos puntos opuestos. $A$ y $B$ . Definir $d$ ser $f(A)-f(B)$ Si la línea se rota 180 grados, se obtendrá el valor $-d . Debido al teorema del valor intermedio, debe existir algún ángulo de rotación intermedio para el cual$ $d = 0$ , y como consecuencia, $f (A) = f (B)$ en dicho ángulo.

En general, para cualquier función continua cuyo dominio sea algún dominio convexo cerrado $n$ -forma dimensional y cualquier punto dentro de la forma (no necesariamente su centro), existen dos puntos antipodales con respecto al punto dado cuyo valor funcional es el mismo.

El teorema también sustenta la explicación de por qué al girar una mesa inestable se estabiliza (sujeto a ciertas restricciones fácilmente alcanzables). ^{[ 16 ]}

Véase también

Referencias

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↑ Keith Devlin (2007) Cómo estabilizar una mesa inestable

Lecturas adicionales

https://mathoverflow.net/questions/253059/approximate-intermediate-value-theorem-in-pure-constructive-mathematics

Enlaces externos

Teorema del valor intermedio - Teorema de Bolzano en el nudo de corte
Teorema de Bolzano de Julio Cesar de la Yncera, Proyecto de Demostraciones Wolfram .
Weisstein, Eric W. "Teorema del valor intermedio" . MathWorld .
Belk, Jim (2 de enero de 2012). "Versión bidimensional del teorema del valor intermedio" . Stack Exchange .
Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4

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