Función elemental

En matemáticas , una función elemental es una función de una sola variable (normalmente real o compleja ) que se define como la suma , el producto , la raíz y la composición de un número finito de funciones polinómicas , racionales , trigonométricas , hiperbólicas y exponenciales , y sus inversas (por ejemplo, arcsin , log o x ^{1/ n} ). ^[1]

Todas las funciones elementales son continuas en sus dominios .

Las funciones elementales fueron introducidas por Joseph Liouville en una serie de artículos desde 1833 a 1841. ^{[2] [3] [4]} Joseph Fels Ritt inició un tratamiento algebraico de las funciones elementales en la década de 1930. ^[5] Muchos libros de texto y diccionarios no dan una definición precisa de las funciones elementales, y los matemáticos difieren al respecto. ^[6]

Las funciones elementales de una sola variable x incluyen:

• Funciones constantes : etc.${\displaystyle 2,\ \pi ,\ e,}$
• Potencias racionales de x : etc.${\displaystyle x,\ x^{2},\ {\sqrt {x}}\ (x^{\frac {1}{2}}),\ x^{\frac {2}{3}},}$
• Funciones exponenciales :${\displaystyle e^{x},\ a^{x}}$
• Logaritmos :${\displaystyle \log x,\ \log _{a}x}$
• Funciones trigonométricas : etc.${\displaystyle \sin x,\ \cos x,\ \tan x,}$
• Funciones trigonométricas inversas : etc.${\displaystyle \arcsin x,\ \arccos x,}$
• Funciones hiperbólicas : etc.${\displaystyle \sinh x,\ \cosh x,}$
• Funciones hiperbólicas inversas : etc.${\displaystyle \nombreoperador {arsinh} x,\ \nombreoperador {arcosh} x,}$
• Todas las funciones obtenidas sumando, restando, multiplicando o dividiendo un número finito de cualquiera de las funciones anteriores ^[7]
• Todas las funciones obtenidas por extracción de raíces de un polinomio con coeficientes en funciones elementales ^[8]
• Todas las funciones obtenidas al componer un número finito de cualquiera de las funciones enumeradas anteriormente

Ciertas funciones elementales de una única variable compleja z , como y , pueden tener múltiples valores . Además, ciertas clases de funciones pueden obtenerse mediante otras que utilicen las dos reglas finales. Por ejemplo, la función exponencial compuesta con suma, resta y división proporciona las funciones hiperbólicas, mientras que la composición inicial con proporciona las funciones trigonométricas. ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle \log z}$$estilo de visualización e^{z}}$${\displaystyle es}$

Algunos ejemplos de funciones elementales incluyen:

• Suma, p. ej. ( x +1)
• Multiplicación, por ejemplo (2 x )
• Funciones polinómicas
• ${\displaystyle {\frac {e^{\tan x}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+(\log x)^{2}}}\right)}$
• ${\displaystyle -i\log \left(x+i{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$

La última función es igual a , el coseno inverso , en todo el plano complejo . ${\displaystyle \arccos x}$

Todos los monomios , polinomios , funciones racionales y funciones algebraicas son elementales.

La función valor absoluto , en términos reales , también es elemental, ya que se puede expresar como la composición de una potencia y raíz de : . ^{[ dudoso – discutir ]}${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$

Muchos matemáticos excluyen funciones no analíticas como la función de valor absoluto o funciones discontinuas como la función escalonada ^[9] [ ^6] pero otros las permiten. Algunos han propuesto extender el conjunto para incluir, por ejemplo, la función W de Lambert ^[10] .

Algunos ejemplos de funciones que no son elementales:

• tetración
• La función gamma
• funciones de Liouvillian no elementales , incluidas
  • las integrales exponencial ( Ei ), logarítmica ( Li o li ) y de Fresnel ( S y C ).
  • la función de error , un hecho que puede no ser inmediatamente obvio, ^{[ se necesita más explicación ]} pero que se puede demostrar utilizando el algoritmo de Risch .${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,}$
• otras integrales no elementales , incluida la integral de Dirichlet y la integral elíptica .

De la definición se desprende directamente que el conjunto de funciones elementales está cerrado bajo operaciones aritméticas, extracción de raíces y composición. Las funciones elementales están cerradas bajo diferenciación . No están cerradas bajo límites y sumas infinitas . Es importante destacar que las funciones elementales no están cerradas bajo integración , como lo demuestra el teorema de Liouville , véase integral no elemental . Las funciones de Liouville se definen como las funciones elementales y, recursivamente, las integrales de las funciones de Liouville.

La definición matemática de una función elemental , o una función en forma elemental, se considera en el contexto del álgebra diferencial . Un álgebra diferencial es un álgebra con la operación adicional de derivación (versión algebraica de la diferenciación). Utilizando la operación de derivación se pueden escribir nuevas ecuaciones y sus soluciones se pueden utilizar en extensiones del álgebra. Al comenzar con el campo de funciones racionales , se pueden agregar dos tipos especiales de extensiones trascendentales (la logaritmo y la exponencial) al campo construyendo una torre que contenga funciones elementales.

Un campo diferencial F es un campo F ₀ (funciones racionales sobre los racionales Q por ejemplo) junto con una función de derivación u  → ∂ u . (Aquí ∂ u es una función nueva. A veces se utiliza la notación u ′ ). La derivación captura las propiedades de la diferenciación, de modo que para dos elementos cualesquiera del campo base, la derivación es lineal.

${\displaystyle \parcial (u+v)=\parcial u+\parcial v}$

y satisface la regla del producto de Leibniz

${\displaystyle \parcial (u\cdot v)=\parcial u\cdot v+u\cdot \parcial v\,.}$

Un elemento h es una constante si ∂h = 0. Si el cuerpo base está sobre los racionales, se debe tener cuidado al extender el cuerpo para agregar las constantes trascendentales necesarias.

Una función u de una extensión diferencial F [ u ] de un campo diferencial F es una función elemental sobre F si la función u

• es algebraica sobre F , o
• es una exponencial , es decir, ∂ u = u ∂ a para a ∈ F , o
• es un logaritmo , es decir, ∂ u = ∂ a  / a para a ∈ F .

(ver también el teorema de Liouville )

• Función algebraica  – Función matemática
• Expresión de forma cerrada  : fórmula matemática que implica un conjunto determinado de operaciones.
• Teoría diferencial de Galois  – Estudio de los grupos de simetría de Galois de campos diferenciales
• Aritmética de funciones elementales  – Sistema de aritmética en la teoría de la demostración
• Teorema de Liouville (álgebra diferencial)  : dice cuándo las antiderivadas de funciones elementales pueden expresarse como funciones elementales.
• Problema de álgebra de secundaria de Tarski  – Problema matemático
• Función trascendental  : Función analítica que no satisface una ecuación polinómica.
• Fórmula autorreferencial de Tupper  : fórmula que se representa visualmente a sí misma cuando se grafica

• Liouville, José (1833a). "Premier mémoire sur la determinación des integrales dont la valeur est algébrique". Revista de la Escuela Politécnica . tomo XIV: 124-148.
• Liouville, José (1833b). "Segunda memoria sobre la determinación de los integrales dont la valeur est algébrique". Revista de la Escuela Politécnica . tomo XIV: 149-193.
• Liouville, José (1833c). "Note sur la determinación des integrales dont la valeur est algébrique". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 10 : 347–359.
• Ritt, Joseph (1950). Álgebra diferencial. AMS .
• Rosenlicht, Maxwell (1972). "Integración en términos finitos". American Mathematical Monthly . 79 (9): 963–972. doi :10.2307/2318066. JSTOR  2318066.

• Davenport, James H. (2007). "¿Qué podría significar "entender una función"?". Hacia los asistentes matemáticos mecanizados . Apuntes de clase en informática. Vol. 4573. págs. 55–65. doi :10.1007/978-3-540-73086-6_5. ISBN 978-3-540-73083-5.S2CID8049737  .​

• Funciones elementales en la Enciclopedia de Matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Función elemental". MathWorld .