Funciones hiperbólicas inversas

En matemáticas , las funciones hiperbólicas inversas son las inversas de las funciones hiperbólicas , análogas a las funciones circulares inversas . Existen seis de uso común: seno hiperbólico inverso, coseno hiperbólico inverso, tangente hiperbólica inversa, cosecante hiperbólica inversa, secante hiperbólica inversa y cotangente hiperbólica inversa. Se suelen representar con los símbolos de las funciones hiperbólicas, precedidos por el prefijo arc- o ar-, o con un superíndice. ${-1}$ (por ejemplo $arcsinh$ , $arsinh$ o $\sinh ^{-1}$ ).

Para un valor dado de una función hiperbólica, la función hiperbólica inversa proporciona la medida del ángulo hiperbólico correspondiente , por ejemplo $\operatorname {arsinh} (\sinh a)=a$ y $\sinh(\operatorname {arsinh} x)=x.$ La medida del ángulo hiperbólico es la longitud de un arco de una hipérbola unitaria. $x^{2}-y^{2}=1$ como se mide en el plano lorentziano ( no la longitud de un arco hiperbólico en el plano euclidiano ), y el doble del área del sector hiperbólico correspondiente . Esto es análogo a la forma en que la medida del ángulo circular es la longitud de arco de un arco del círculo unitario en el plano euclidiano o el doble del área del sector circular correspondiente . Alternativamente, el ángulo hiperbólico es el área de un sector de la hipérbola. $xy=1.$ Algunos autores llaman a las funciones hiperbólicas inversas funciones de área hiperbólicas . ^{[ 1 ]}

Las funciones hiperbólicas aparecen en el cálculo de ángulos y distancias en geometría hiperbólica . También se utilizan en la solución de numerosas ecuaciones diferenciales lineales (como la ecuación que define una catenaria ), ecuaciones cúbicas y la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas . Las ecuaciones de Laplace son importantes en diversas áreas de la física , incluyendo la teoría electromagnética , la transferencia de calor , la dinámica de fluidos y la relatividad especial .

Notación

Los símbolos más antiguos y ampliamente adoptados utilizan el prefijo arc- (es decir: $arcsinh$ , $arccosh$ , $arctanh$ , $arcsech$ , $arccsch$ , $arccoth$ ), por analogía con las funciones circulares inversas ( $arcsin$ , etc.). Para una hipérbola unitaria ("círculo lorentziano") en el plano lorentziano ( plano pseudoeuclidiano de signatura $(1, 1)$ ) ^{[ 2 ]} o en el plano de números hiperbólicos , ^{[ 3 ]} la medida del ángulo hiperbólico (argumento de las funciones hiperbólicas) es de hecho la longitud de arco de un arco hiperbólico.

También es común la notación $\sinh ^{-1},$ $\cosh ^{-1},$ etc., ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} aunque se debe tener cuidado para evitar interpretaciones erróneas del superíndice −1 como exponente. La convención estándar es que $\sinh ^{-1}x$ o $\sinh ^{-1}(x)$ significa la función inversa mientras $(\sinh x)^{-1}$ o $\sinh(x)^{-1}$ significa lo recíproco $1/\sinh x.$ Resulta especialmente inconsistente el uso convencional de superíndices enteros positivos para indicar un exponente en lugar de una composición de funciones , por ejemplo $\sinh ^{2}x$ convencionalmente significa $(\sinh x)^{2}$ y no $\sinh(\sinh x).$

Debido a que el argumento de las funciones hiperbólicas no es la longitud de arco de un arco hiperbólico en el plano euclidiano , algunos autores han condenado el prefijo arc- , argumentando que se debería preferir el prefijo ar- (de ' área ' ) o arg- (de ' argumento ' ). ^{[ 6 ]} Siguiendo esta recomendación, las abreviaturas del estándar ISO 80000-2 utilizan el prefijo ar- (es decir: $arsinh$ , $arcosh$ , $artanh$ , $arsech$ , $arcsch$ , $arcoth$ ).

En los lenguajes de programación informática, las funciones circulares inversas e hiperbólicas a menudo se nombran con el prefijo más corto a- ( asinh, etc.).

Este artículo adoptará sistemáticamente el prefijo ar- por comodidad.

Definiciones en términos de logaritmos

Dado que las funciones hiperbólicas son funciones racionales cuadráticas de la función exponencial $\exp x,$ se pueden resolver utilizando la fórmula cuadrática y luego escribir en términos del logaritmo natural .

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&1&\leq x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\[10mu]\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\ x\neq 0,\\[10mu]\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)&0&<x\leq 1,\\[10mu]\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ {\text{o}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned}}$

Para argumentos complejos , las funciones circulares e hiperbólicas inversas, la raíz cuadrada y el logaritmo natural son todas funciones multivaluadas .

Fórmulas de suma

$\operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)$ $\operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)$ $\operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)$ $\operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)$ ${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}$

Otras identidades

${\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\pm \operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}$

$\ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)$

Composición de funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas

${\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}$

Composición de funciones hiperbólicas inversas y circulares

$\operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)$

$\ln \left(\left|\tan \alpha \right|\right)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha \right)$ ^{[ 7 ]}

Conversiones

$\ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {sgn} (x-1)\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)$

$\operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)$

$\operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)$

$\operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|$

Derivados

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}$

Estas fórmulas se pueden derivar en términos de las derivadas de funciones hiperbólicas. Por ejemplo, si $x=\sinh \theta$ , entonces ${\textstyle dx/d\theta =\cosh \theta ={\sqrt {1+x^{2}}},}$ entonces ${\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$

Expansiones de la serie

Se pueden obtener series de expansión para las funciones anteriores:

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$ Una expansión asintótica para arsinh viene dada por

$\operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}$

Valores principales en el plano complejo

Como funciones de una variable compleja , las funciones hiperbólicas inversas son funciones multivaluadas que son analíticas excepto en un número finito de puntos. Para una función de este tipo, es común definir un valor principal , que es una función analítica univaluada que coincide con una rama específica de la función multivaluada, sobre un dominio que consiste en el plano complejo en el que se han eliminado un número finito de arcos (generalmente semirrectas o segmentos de recta ). Estos arcos se denominan cortes de rama . El valor principal de la multifunción se elige en un punto particular y los valores en el resto del dominio de definición se definen para que coincidan con los encontrados por continuación analítica .

Por ejemplo, para la raíz cuadrada, el valor principal se define como la raíz cuadrada que tiene una parte real positiva . Esto define una función analítica unívoca, que está definida en todas partes, excepto para valores reales no positivos de las variables (donde las dos raíces cuadradas tienen una parte real cero). Este valor principal de la función raíz cuadrada se denota ${\sqrt {x}}$ en lo que sigue. De manera similar, el valor principal del logaritmo, denotado $\operatorname {Log}$ En lo que sigue, se define como el valor para el cual la parte imaginaria tiene el menor valor absoluto. Se define en todos los casos excepto para valores reales no positivos de la variable, para los cuales dos valores distintos del logaritmo alcanzan el mínimo.

Para todas las funciones hiperbólicas inversas, el valor principal puede definirse en términos de los valores principales de la raíz cuadrada y la función logaritmo. Sin embargo, en algunos casos, las fórmulas de las definiciones en términos de logaritmos no dan un valor principal correcto, ya que dan un dominio de definición demasiado pequeño y, en un caso, no conectado .

Valor principal del seno hiperbólico inverso

El valor principal del seno hiperbólico inverso viene dado por $\operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,.$

El argumento de la raíz cuadrada es un número real no positivo si y solo si z $pertenece$ a uno de los intervalos $[i, + i\infty)$ y $(-i\infty, -i] del$ eje imaginario. Si el argumento del logaritmo es real, entonces es positivo. Por lo tanto, esta fórmula define un valor principal para arsinh, con cortes de rama $[i, + i\infty)$ y $(-i\infty, -i] .$ Esto es óptimo, ya que los cortes de rama deben conectar los puntos singulares $i$ y $-i con el$ infinito.

Valor principal del coseno hiperbólico inverso

La fórmula para el coseno hiperbólico inverso dada en § Coseno hiperbólico inverso no es conveniente, ya que, al igual que los valores principales del logaritmo y la raíz cuadrada, el valor principal de coseno hiperbólico inverso no estaría definido para $z$ imaginario . Por lo tanto, la raíz cuadrada debe factorizarse, lo que lleva a $\operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,.$

Los valores principales de las raíces cuadradas están definidos, excepto si $z$ pertenece al intervalo real $(-\infty, 1]$ . Si el argumento del logaritmo es real, entonces $z$ es real y tiene el mismo signo. Por lo tanto, la fórmula anterior define un valor principal de arcosh fuera del intervalo real $(-\infty, 1)$ , que es, por consiguiente, el único corte de rama.

Valores principales de la tangente hiperbólica inversa y la cotangente

Las fórmulas dadas en § Definiciones en términos de logaritmos sugieren ${\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\end{aligned}}$ para la definición de los valores principales de la tangente y cotangente hiperbólicas inversas. En estas fórmulas, el argumento del logaritmo es real si y solo si $z$ es real. Para artanh, este argumento está en el intervalo real $[-\infty, 0]$ , si $z$ pertenece a $[-\infty, -1]$ o a $[1, \infty)$ . Para arcoth, el argumento del logaritmo está en $[-\infty, 0]$ , si y solo si $z$ pertenece al intervalo real $[-1, 1]$ .

Por lo tanto, estas fórmulas definen valores principales convenientes, para los cuales los cortes de rama son $(-\infty, -1]$ y $[1, \infty)$ para la tangente hiperbólica inversa, y $[-1, 1]$ para la cotangente hiperbólica inversa.

En vista de una mejor evaluación numérica cerca de los cortes de rama, algunos autores utilizan las siguientes definiciones de los valores principales, aunque la segunda introduce una singularidad removible en $z$ $= 0.$ Las dos definiciones de $\operatorname {artanh}$ difieren para valores reales de $z$ con $z > 1.$ Los de $\operatorname {arcoth}$ difieren para valores reales de $z$ con $z \in [0, 1)$ . ${\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+z}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-z}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+{\frac {1}{z}}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-{\frac {1}{z}}}\right)\end{aligned}}$

Valor principal de la cosecante hiperbólica inversa

Para la cosecante hiperbólica inversa, el valor principal se define como $\operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right).$

Se define excepto cuando los argumentos del logaritmo y la raíz cuadrada son números reales no positivos. El valor principal de la raíz cuadrada se define, por lo tanto, fuera del intervalo $[-i, i] de$ la recta imaginaria. Si el argumento del logaritmo es real, entonces $z$ es un número real distinto de cero, lo que implica que el argumento del logaritmo es positivo.

Así, el valor principal se define mediante la fórmula anterior fuera del corte de rama , que consiste en el intervalo $[- i, i]$ de la línea imaginaria.

(En $z = 0$ , hay un punto singular que está incluido en el corte de rama).

Valor principal de la secante hiperbólica inversa

Aquí, como en el caso del coseno hiperbólico inverso, tenemos que factorizar la raíz cuadrada. Esto nos da el valor principal. $\operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\right).$

Si el argumento de una raíz cuadrada es real, entonces $z$ es real, y se deduce que ambos valores principales de las raíces cuadradas están definidos, excepto si $z$ es real y pertenece a uno de los intervalos $(-\infty, 0]$ y $[1, +\infty)$ . Si el argumento del logaritmo es real y negativo, entonces $z$ también es real y negativo. Se deduce que el valor principal de arsech está bien definido, por la fórmula anterior fuera de dos cortes de rama , los intervalos reales $(-\infty, 0]$ y $[1, +\infty)$ .

Para $z = 0$ , hay un punto singular que está incluido en uno de los cortes de rama.

Representación gráfica

En la siguiente representación gráfica de los valores principales de las funciones hiperbólicas inversas, los cortes de rama aparecen como discontinuidades de color. El hecho de que todos los cortes de rama se presenten como discontinuidades indica que estos valores principales no pueden extenderse a funciones analíticas definidas sobre dominios mayores. En otras palabras, los cortes de rama definidos anteriormente son mínimos.

arsinh(z)

arcosh(z)

artanh(z)

arcoth(z)

arsech(z)

arcsch(z)

Funciones hiperbólicas inversas en el plano complejo

z

: el color en cada punto del plano representa el valor complejo de la función correspondiente en ese punto.

Véase también

Referencias

↑ Por ejemplo:
Weltner, Klaus; et al. (2014) [2009]. Matemáticas para físicos e ingenieros (2.ª ed.). Springer. ISBN 978-364254124-7.
Durán, Mario (2012). Métodos matemáticos para la propagación de ondas en ciencia e ingeniería . Vol. 1. Ediciones UC. p. 89. ISBN 9789561413146.
↑ Birman, Graciela S.; Nomizu, Katsumi (1984). "Trigonometría en geometría lorentziana". American Mathematical Monthly . 91 (9): 543– 549. doi : 10.1080/00029890.1984.11971490 . JSTOR 2323737 .
↑ Sobczyk, Garret (1995). "El plano numérico hiperbólico". College Mathematics Journal . 26 (4): 268– 280. doi : 10.1080/07468342.1995.11973712 .
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Woodhouse, NMJ (2003). Relatividad especial . Springer. pág. 71. ISBN 1-85233-426-6.
↑ Gullberg, Jan (1997). Matemáticas: Desde el nacimiento de los números . WW Norton. pág. 539. ISBN 039304002X. Otra forma de notación, $arcsinh x$ , $arccosh x$ , etc., es una práctica que debe ser condenada ya que estas funciones no tienen absolutamente nada que ver con arco , sino con área ea, como lo demuestran sus nombres completos en latín, $arsinh$ area sinus hyperbolicus , $arcosh$ area cosinus hyperbolicus , etc.
Zeidler, Eberhard ; Hackbusch, Wolfgang ; Schwarz, Hans Rudolf (2004). «§ 0.2.13 Las funciones hiperbólicas inversas». Oxford Users' Guide to Mathematics . Traducido por Hunt, Bruce. Oxford University Press. pág. 68. ISBN 0198507631Los nombres en latín para las funciones hiperbólicas inversas son área sinus hyperbolicus , área cosinus hyperbolicus , área tangens hyperbolicus y área cotangens hyperbolicus (de $x$ ) .....
Zeidler y otros utilizan las notaciones $arsinh$ , etc.; tenga en cuenta que los nombres latinos citados son derivaciones regresivas , inventadas mucho después de que el neolatín dejara de usarse comúnmente en la literatura matemática.
Bronshtein, Ilja N .; Semendyaev, Konstantin A .; Musiol, Gerhard; Heiner, Mühlig (2007). "§ 2.10: Funciones del Área". Manual de Matemáticas (5ª ed.). Saltador. pag. 91.doi : 10.1007 /978-3-540-72122-2 . ISBN 978-3540721215Las funciones de área son las funciones inversas de las funciones hiperbólicas, es decir, las funciones hiperbólicas inversas . Las funciones $sinh$ $x$ , $tanh$ $x$ y $coth$ $x$ son estrictamente monótonas, por lo que tienen inversas únicas sin ninguna restricción; la función cosh $x$ $tiene$ dos intervalos monótonos, por lo que podemos considerar dos funciones inversas. El término " área" se refiere al hecho de que la definición geométrica de estas funciones es el área de ciertos sectores hiperbólicos...
Bacon, Harold Maile (1942). Cálculo diferencial e integral . McGraw-Hill. pág. 203.
↑ "Identidades con funciones hiperbólicas y trigonométricas inversas" . math stackexchange . stackexchange . Consultado el 3 de noviembre de 2016 .

Bibliografía

Herbert Busemann y Paul J. Kelly (1953) Geometría proyectiva y métrica proyectiva , página 207, Academic Press .

Enlaces externos

"Funciones hiperbólicas inversas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Por ejemplo:
Weltner, Klaus; et al. (2014) [2009]. Matemáticas para físicos e ingenieros (2.ª ed.). Springer. ISBN 978-364254124-7.
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[2] Birman, Graciela S.; Nomizu, Katsumi (1984). "Trigonometría en geometría lorentziana". American Mathematical Monthly . 91 (9): 543– 549. doi : 10.1080/00029890.1984.11971490 . JSTOR 2323737 .

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[onlinesources-4] Weisstein, Eric W. "Funciones hiperbólicas inversas" . Wolfram Mathworld . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
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[5] Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (1992). "§ 5.6. Ecuaciones cuadráticas y cúbicas". Numerical Recipes in FORTRAN (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-43064-X.
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[6] Gullberg, Jan (1997). Matemáticas: Desde el nacimiento de los números . WW Norton. pág. 539. ISBN 039304002X. Otra forma de notación, $arcsinh x$ , $arccosh x$ , etc., es una práctica que debe ser condenada ya que estas funciones no tienen absolutamente nada que ver con arco , sino con área ea, como lo demuestran sus nombres completos en latín, $arsinh$ area sinus hyperbolicus , $arcosh$ area cosinus hyperbolicus , etc.
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[7] "Identidades con funciones hiperbólicas y trigonométricas inversas" . math stackexchange . stackexchange . Consultado el 3 de noviembre de 2016 .

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