sector hiperbólico

Un sector hiperbólico es una región del plano cartesiano delimitada por una hipérbola y dos rayos que parten del origen y llegan hasta ella. Por ejemplo, los dos puntos ( a , 1/ a ) y ( b , 1/ b ) en la hipérbola rectangular xy = 1 , o la región correspondiente cuando esta hipérbola se reescala y su orientación se altera mediante una rotación que deja el centro en el origen, como en el caso de la hipérbola unitaria . Un sector hiperbólico en posición estándar tiene a = 1 y b > 1 .

El área con signo del sector hiperbólico se utiliza para definir el ángulo hiperbólico , de forma análoga a como el área de un sector circular define un ángulo circular . En otras palabras, el ángulo hiperbólico es el argumento de las funciones hiperbólicas, del mismo modo que el ángulo circular es el argumento de las funciones circulares .

Cuando está en posición estándar, un sector hiperbólico determina un triángulo hiperbólico , el triángulo rectángulo con un vértice en el origen, base en la diagonal y  = x , y tercer vértice en la hipérbola. 

${\displaystyle xy=1,\,}$

donde la hipotenusa es el segmento desde el origen hasta el punto ( x, y ) en la hipérbola. La longitud de la base de este triángulo es

${\displaystyle {\sqrt {2}}\cosh u,\,}$

y la altitud es

${\displaystyle {\sqrt {2}}\sinh u,\,}$

donde u es el ángulo hiperbólico apropiado . Las definiciones habituales de las funciones hiperbólicas se pueden observar a través de los catetos de triángulos rectángulos representados con coordenadas hiperbólicas . Al dividir la longitud de estos catetos por la raíz cuadrada de 2 , se pueden graficar como la hipérbola unitaria con coordenadas de coseno y seno hiperbólicos.

La analogía entre funciones circulares e hiperbólicas fue descrita por Augustus De Morgan en su obra Trigonometría y álgebra doble (1849). ^{[ 1 ]} William Burnside utilizó dichos triángulos, proyectando desde un punto de la hipérbola xy = 1 sobre la diagonal principal, en su artículo «Nota sobre el teorema de adición para funciones hiperbólicas». ^{[ 2 ]}

Se sabe que f( x ) = x ^p tiene una antiderivada algebraica excepto en el caso p = –1, que corresponde a la cuadratura de la hipérbola. Los demás casos se obtienen mediante la fórmula de cuadratura de Cavalieri . Mientras que la cuadratura de la parábola fue realizada por Arquímedes en el siglo III a. C. (en La cuadratura de la parábola ), la cuadratura hiperbólica requirió la invención en 1647 de una nueva función: Gregoire de Saint-Vincent abordó el problema del cálculo de las áreas delimitadas por una hipérbola. Sus hallazgos condujeron a la función logaritmo natural, antes llamada logaritmo hiperbólico , ya que se obtiene integrando, o calculando el área, bajo la hipérbola. ^{[ 3 ]}

Antes de 1748 y la publicación de Introducción al análisis del infinito , el logaritmo natural se conocía en términos del área de un sector hiperbólico. Leonhard Euler cambió esto cuando introdujo funciones trascendentales como 10 ^x . Euler identificó e como el valor de b que produce una unidad de área (bajo la hipérbola o en un sector hiperbólico en posición estándar). Entonces, el logaritmo natural pudo reconocerse como la función inversa de la función exponencial trascendental e ^x .

Proposición: Dados 0 < a < b y P = ( a , 1/ a ), Q = ( b , 1/ b ), el área con signo del sector hiperbólico POQ es log b / a . ^{[ 4 ]}

Demostración: En la figura, POQ = POS + PQRS − QOR. Entonces, la igualdad de las áreas POS y QOR implica que el área POQ = el área PQRS =${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {dx}{x}}=\log b-\log a=\log {\frac {b}{a}}}$.

En particular, para un sector hiperbólico en posición estándar ( a = 1), el área del sector hiperbólico es log b .

Cuando se publicó el libro de Felix Klein sobre geometría no euclidiana en 1928, sentó las bases del tema al hacer referencia a la geometría proyectiva . Para establecer la medida hiperbólica en una línea, Klein observó que el área de un sector hiperbólico proporcionaba una ilustración visual del concepto. ^{[ 5 ]}

Los sectores hiperbólicos también pueden dibujarse en la hipérbola.${\displaystyle y={\sqrt {1+x^{2}}}}$El área de dichos sectores hiperbólicos se ha utilizado para definir la distancia hiperbólica en un libro de texto de geometría. ^{[ 6 ]}

• Mapeo de compresión

• Mellen W. Haskell (1895) Sobre la introducción de la noción de funciones hiperbólicas Boletín de la Sociedad Matemática Americana 1(6):155–9.