Singularidad extraíble

En análisis complejo , una singularidad removible de una función holomorfa es un punto en el que la función no está definida , pero es posible redefinirla en ese punto de tal manera que la función resultante sea regular en un entorno de ese punto.

Por ejemplo, la función sinc (no normalizada) , tal como se define por

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}}$

tiene una singularidad en ⁠${\displaystyle z=0}$⁠ . Esta singularidad puede eliminarse definiendo ⁠${\displaystyle {\text{sinc}}(0):=1}$⁠ , que es el límite de sinc cuando ⁠${\displaystyle z}$⁠ tiende a ⁠${\displaystyle 0}$⁠ . La función resultante es holomorfa. En este caso, el problema fue causado pordarle a sinc una forma indeterminada . Tomando unaexpansión en serie de potencias para ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {\sin(z)}{z}}}$⁠ alrededor del punto singular muestra que

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .}$

Formalmente, si${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$es un subconjunto abierto del plano complejo${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠ ,${\displaystyle a\in U}$un punto de${\displaystyle U}$y​${\displaystyle f:U\smallsetminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }$es una función holomorfa , entonces${\displaystyle a}$se denomina singularidad removible para${\displaystyle f}$si existe una función holomorfa${\displaystyle g:U\rightarrow \mathbb {C} }$lo cual coincide con${\displaystyle f}$en​${\displaystyle U\smallsetminus \{a\}}$⁠ . Decimos${\displaystyle f}$es holomórficamente extensible sobre${\displaystyle U}$si tal es un${\displaystyle g}$existe.

El teorema de Riemann sobre singularidades removibles es el siguiente:

Las implicaciones 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 son triviales. Para demostrar 4 ⇒ 1, primero recordamos que la holomorfía de una función en${\displaystyle a}$es equivalente a que sea analítico en${\displaystyle a}$( prueba ), es decir, tener una representación en serie de potencias. Definir

${\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}}$

Claramente ,${\displaystyle h}$es holomorfo en${\displaystyle D\smallsetminus \{a\}}$⁠ , y existe

${\displaystyle h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$

por 4, por lo tanto${\displaystyle h}$es holomorfo en${\displaystyle D}$y tiene una serie de Taylor sobre${\displaystyle a}$:​

${\displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\ldots \,.}$

Tenemos​${\displaystyle c_{0}=h(a)=0}$y​​${\displaystyle c_{1}=h'(a)=0}$; por lo tanto

${\displaystyle h(z)=c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\ldots \,.}$

Por lo tanto, donde${\displaystyle z\neq a}$, tenemos:

${\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(z-a)+\ldots \,.}$

Sin embargo,

${\displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

es holomorfa en ⁠${\displaystyle D}$⁠ , por lo tanto, una extensión de ⁠${\displaystyle f}$.​

A diferencia de las funciones de una variable real, las funciones holomorfas son lo suficientemente rígidas como para que sus singularidades aisladas puedan clasificarse completamente. La singularidad de una función holomorfa o bien no es realmente una singularidad, es decir, una singularidad removible, o bien es de uno de los dos tipos siguientes:

1. A la luz del teorema de Riemann, dada una singularidad no removible, uno podría preguntarse si existe un número natural${\displaystyle m}$de tal manera que${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0}$⁠ . Si es así,${\displaystyle a}$se llama un polo de${\displaystyle f}$y el más pequeño de ellos${\displaystyle m}$es el orden de${\displaystyle a}$⁠ . Por lo tanto, las singularidades removibles son precisamente los polos del orden ⁠${\displaystyle 0}$⁠ . Una función meromorfa explota uniformemente cerca de sus otros polos.
2. Si una singularidad aislada${\displaystyle a}$de${\displaystyle f}$no es ni removible ni un polo, se le llama singularidad esencial . El Gran Teorema de Picard muestra que tal${\displaystyle f}$mapea cada barrio abierto y perforado${\displaystyle U\smallsetminus \{a\}}$a todo el plano complejo, con la posible excepción de, como máximo, un punto.

• Capacidad analítica
• discontinuidad removible

• Punto singular extraíble en la Enciclopedia de Matemáticas. Enlace obsoleto archivado el 20/12/2012 en archive.today.