Capacidad analítica

En la disciplina matemática del análisis complejo , la capacidad analítica de un subconjunto compacto K del plano complejo es un número que denota "cuán grande" puede llegar a ser una función analítica acotada en C  \  K . En términos generales, γ ( K ) mide el tamaño de la bola unitaria del espacio de funciones analíticas acotadas fuera de K .

Fue introducido por primera vez por Lars Ahlfors en la década de 1940 mientras estudiaba la eliminabilidad de singularidades de funciones analíticas acotadas.

Sea K ⊂ C compacto . Entonces su capacidad analítica se define como

${\displaystyle \gamma (K)=\sup\{|f'(\infty )|;\ f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbf {C} \setminus K),\ \|f\|_{\infty }\leq 1,\ f(\infty )=0\}}$

Aquí, denota el conjunto de funciones analíticas acotadas U → C , siempre que U sea un subconjunto abierto del plano complejo . Además, ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\infty }(U)}$

${\displaystyle f'(\infty ):=\lim _{z\to \infty }z\left(f(z)-f(\infty )\right)}$

${\displaystyle f(\infty ):=\lim _{z\to \infty }f(z)}$

Tenga en cuenta que , donde . Sin embargo, por lo general . ${\displaystyle f'(\infty )=g'(0)}$${\displaystyle g(z)=f(1/z)}$${\displaystyle f'(\infty )\neq \lim _{z\to \infty }f'(z)}$

De manera equivalente, la capacidad analítica puede definirse como ^[1]

${\displaystyle \gamma (K)=\sup \left|{\frac {1}{2\pi }}\int _{C}f(z)dz\right|}$

donde C es un contorno que encierra a K y el supremo se toma sobre f satisfaciendo las mismas condiciones que las anteriores: f es analíticamente acotada fuera de K , la acotación es uno, y${\displaystyle f(\infty )=0.}$

Si A ⊂ C es un conjunto arbitrario, entonces definimos

${\displaystyle \gamma (A)=\sup\{\gamma (K):K\subset A,\,K{\text{ compacto}}\}.}$

El conjunto compacto K se llama removible si, siempre que Ω sea un conjunto abierto que contenga a K , cada función que esté acotada y sea holomorfa en el conjunto Ω \  K tiene una extensión analítica a todo Ω. Por el teorema de Riemann para singularidades removibles , todo singleton es removible. Esto motivó a Painlevé a plantear una pregunta más general en 1880: "¿Qué subconjuntos de C son removibles?"

Es fácil ver que K es removible si y sólo si γ ( K ) = 0. Sin embargo, la capacidad analítica es un concepto puramente analítico-complejo y se necesita hacer mucho más trabajo para obtener una caracterización más geométrica.

Para cada compacto K ⊂ C , existe una única función extremal, es decir tal que , f (∞) = 0 y f′ (∞) = γ ( K ). Esta función se llama función de Ahlfors de K . Su existencia se puede demostrar utilizando un argumento de familia normal que involucra el teorema de Montel . ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbf {C} \setminus K)}$${\displaystyle \|f\|\leq 1}$

Sea dim _H la dimensión de Hausdorff y H 1 ^la medida de Hausdorff unidimensional . Entonces H ¹ ( K ) = 0 implica γ ( K ) = 0 mientras que dim _H ( K ) > 1 garantiza γ ( K ) > 0. Sin embargo, el caso cuando dim _H ( K ) = 1 y H ¹ ( K ) ∈ (0, ∞] es más difícil.

Dada la correspondencia parcial entre la medida de Hausdorff unidimensional de un subconjunto compacto de C y su capacidad analítica, se podría conjeturar que γ ( K ) = 0 implica H ¹ ( K ) = 0. Sin embargo, esta conjetura es falsa. Un contraejemplo fue dado por primera vez por AG Vitushkin , y uno mucho más simple por John B. Garnett en su artículo de 1970. Este último ejemplo es el conjunto de Cantor lineal de cuatro esquinas , construido de la siguiente manera:

Sea K ₀  := [0, 1] × [0, 1] el cuadrado unitario. Entonces, K ₁ es la unión de 4 cuadrados de lado 1/4 y estos cuadrados están ubicados en las esquinas de K ₀ . En general, K _n es la unión de 4 ⁿ cuadrados (denotados por ) de lado 4 ^{− n} , cada uno de ellos en la esquina de algún . Tome K como la intersección de todos los K _n entonces, pero γ ( K ) = 0. $Estilo de visualización Q_{n}^{j}}$$Estilo de visualización Q_{n}^{j}}$$Estilo de visualización Q_{n-1}^{k}}$${\displaystyle H^{1}(K)={\sqrt {2}}}$

Sea K ⊂ C un conjunto compacto. La conjetura de Vitushkin establece que

${\displaystyle \gamma (K)=0\ \iff \ \int _{0}^{\pi }{\mathcal {H}}^{1}(\operatorname {proj} _{\theta }(K))\,d\theta =0}$

donde denota la proyección ortogonal en la dirección θ. Por los resultados descritos anteriormente, la conjetura de Vitushkin es verdadera cuando dim _H K ≠ 1. ${\displaystyle \operatorname {proj} _{\theta }(x,y):=x\cos \theta +y\sin \theta }$

Guy David publicó en 1998 una demostración de la conjetura de Vitushkin para el caso dim _H K = 1 y H ¹ ( K ) < ∞. En 2002, Xavier Tolsa demostró que la capacidad analítica es contablemente semiaditiva. Es decir, existe una constante absoluta C > 0 tal que si K ⊂ C es un conjunto compacto y , donde cada K _i es un conjunto de Borel, entonces . ${\displaystyle K=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}}$${\displaystyle \gamma (K)\leq C\sum _{i=1}^{\infty }\gamma (K_{i})}$

Los teoremas de David y Tolsa juntos implican que la conjetura de Vitushkin es verdadera cuando K es H ¹ - sigma-finito .

En el caso no H ¹ -sigma-finito, Pertti Mattila demostró en 1986 ^[2] que la conjetura es falsa, pero su prueba no especificó qué implicación de la conjetura falla. El trabajo posterior de Jones y Muray ^[3] produjo un ejemplo de un conjunto con longitud de Favard cero y capacidad analítica positiva, refutando explícitamente una de las direcciones de la conjetura. A partir de 2023 no se sabe si la otra implicación es válida, pero Chang y Tolsa han logrado algunos avances hacia una respuesta positiva. ^[4]

• Capacidad de un conjunto  : en el espacio euclidiano, una medida del "tamaño" de ese conjunto.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Radio conforme

• Mattila, Pertti (1995). Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
• Pajot, Hervé (2002). Capacidad analítica, rectificabilidad, curvatura de Menger y la integral de Cauchy . Apuntes de matemáticas. Springer-Verlag.
• J. Garnett, Longitud positiva pero capacidad analítica cero, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1970), 696–699
• G. David, Los conjuntos 1 no rectificables tienen una capacidad analítica que se desvanece, Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479
• Dudziak, James J. (2010). Conjetura de Vitushkin para conjuntos removibles . Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
• Tolsa, Xavier (2014). Capacidad analítica, transformada de Cauchy y teoría no homogénea de Calderón-Zygmund . Progress in Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.