Radio conforme

En matemáticas, el radio conforme es una forma de medir el tamaño de un dominio plano simplemente conexo D visto desde un punto z en él. A diferencia de las nociones que utilizan la distancia euclidiana (por ejemplo, el radio del disco inscrito más grande con centro z ), esta noción es muy adecuada para su uso en análisis complejo , en particular en transformaciones conformes y geometría conforme .

Una noción estrechamente relacionada es el diámetro transfinito o capacidad (logarítmica) de un conjunto compacto simplemente conexo D , que puede considerarse como el inverso del radio conforme del complemento E = D ^c visto desde el infinito .

Dado un dominio simplemente conexo D ⊂ C y un punto z ∈ D , se deduce del teorema de mapeo de Riemann que existe un homeomorfismo conforme único f  : D → D sobre el disco unitario abierto (generalmente denominado mapeo uniformizador ) con f ( z ) = 0 ∈ D y f ′( z ) ∈ R ₊ . El radio conforme de D desde z se define entonces como

${\displaystyle \operatorname {rad} (z,D):={\frac {1}{f'(z)}}\,.}$

El ejemplo más sencillo es que el radio conforme del disco de radio r visto desde su centro también es r , como lo demuestra la aplicación uniformizadora x ↦ x / r . Vea más ejemplos a continuación.

Una razón de la utilidad de esta noción es que se comporta bien bajo transformaciones conformes: si φ: D → D ′ es una biyección conforme y z en D , entonces${\displaystyle \operatorname {rad} (\varphi (z),D')=|\varphi '(z)|\operatorname {rad} (z,D)}$.

El radio conforme también se puede expresar como${\displaystyle \exp(\xi _{x}(x))}$dónde${\displaystyle \xi _{x}(y)}$es la extensión armónica de${\displaystyle \log(|xy|)}$de${\displaystyle \partial D}$a${\displaystyle D}$.

Sea K ⊂ H un subconjunto del semiplano superior tal que D := H \ K es conexo y simplemente conexo, y sea z ∈ D un punto. (Este es un escenario habitual, por ejemplo, en la evolución de Schramm-Loewner ). Por el teorema de mapeo de Riemann, existe una biyección conforme g : D → H . Entonces, para cualquier mapeo g de este tipo , un cálculo simple da que

${\displaystyle \operatorname {rad} (z,D)={\frac {2\operatorname {Im} (g(z))}{|g'(z)|}}\,.}$

Por ejemplo, cuando K = ∅ y z = i , entonces g puede ser la aplicación identidad, y obtenemos rad( i , H ) = 2. Comprobando que esto coincide con la definición original: la aplicación uniformizadora f  : H → D es

${\displaystyle f(z)=i{\frac {zi}{z+i}},}$

y entonces la derivada se puede calcular fácilmente.

Que es una buena medida del radio se demuestra por la siguiente consecuencia inmediata del lema de Schwarz y el teorema de Koebe 1/4 : para z ∈ D ⊂ C ,

${\displaystyle {\frac {\operatorname {rad} (z,D)}{4}}\leq \operatorname {dist} (z,\partial D)\leq \operatorname {rad} (z,D),}$

donde dist( z , ∂ D ) denota la distancia euclidiana entre z y el límite de D , o en otras palabras, el radio del disco inscrito más grande con centro z .

Ambas desigualdades son las mejores posibles:

El límite superior se alcanza claramente tomando D = D y z = 0.

El límite inferior se alcanza mediante el siguiente “dominio de hendidura”: D = C \ R ₊ y z = − r ∈ R ₋ . La aplicación de raíz cuadrada φ lleva D al semiplano superior H , con${\displaystyle \varphi (-r)=i{\sqrt {r}}}$y derivados${\displaystyle |\varphi '(-r)|={\frac {1}{2{\sqrt {r}}}}}$La fórmula anterior para el semiplano superior da como resultado:${\displaystyle \operatorname {rad} (i{\sqrt {r}},\mathbb {H} )=2{\sqrt {r}}}$y entonces la fórmula para la transformación bajo mapas conformes da rad(− r , D ) = 4 r , mientras que, por supuesto, dist(− r , ∂ D ) = r .

Cuando D ⊂ C es un conjunto compacto conexo y simplemente conexo, entonces su complemento E = D ^c es un dominio conexo y simplemente conexo en la esfera de Riemann que contiene ∞, y se puede definir

${\displaystyle \operatorname {rad} (\infty ,D):={\frac {1}{\operatorname {rad} (\infty ,E)}}:=\lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z}},}$

donde f  : C \ D → E es la única aplicación conforme biyectiva con f(∞) = ∞ y ese límite es real positivo, es decir, la aplicación conforme de la forma

${\displaystyle f(z)=c_{1}z+c_{0}+c_{-1}z^{-1}+\cdots ,\qquad c_{1}\in \mathbf {R} _{+}.}$

El coeficiente c ₁ = rad(∞, D ) es igual al diámetro transfinito y a la capacidad (logarítmica) de D ; véase el Capítulo 11 de Pommerenke (1975) ^{[ 1 ]} y Kuz′mina (2002) . ^{[ 2 ]}

El coeficiente c ₀ se llama centro conforme de D . Se puede demostrar que se encuentra en la envoltura convexa de D ; además,

${\displaystyle D\subseteq \{z:|z-c_{0}|\leq 2c_{1}\}\,,}$

donde el radio 2 c ₁ es agudo para el segmento de línea recta de longitud 4 c ₁ . Véanse las páginas 12-13 y el capítulo 11 de Pommerenke (1975) . ^{[ 1 ]}

Definimos otras tres cantidades que son iguales al diámetro transfinito, aunque se definen desde un punto de vista muy diferente. Sea

${\displaystyle d(z_{1},\ldots ,z_{k}):=\prod _{1\leq i<j\leq k}|z_{i}-z_{j}|}$

denotamos el producto de las distancias por pares de los puntos${\displaystyle z_{1},\ldots,z_{k}}$y definamos la siguiente cantidad para un conjunto compacto D ⊂ C :

${\displaystyle d_{n}(D):=\sup _{z_{1},\ldots ,z_{n}\in D}d(z_{1},\ldots ,z_{n})^{1\left/{\binom {n}{2}}\right.}}$

En otras palabras,${\displaystyle d_{n}(D)}$es el supremo de la media geométrica de las distancias por pares de n puntos en D. Dado que D es compacto, este supremo se alcanza realmente mediante un conjunto de puntos. Cualquier conjunto de n puntos de este tipo se denomina conjunto de Fekete .

El límite${\displaystyle d(D):=\lim _{n\to \infty }d_{n}(D)}$Existe y se llama constante de Fekete .

Ahora dejemos${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$Denotemos por el conjunto de todos los polinomios mónicos de grado n en C [ x ], sea${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{n}}$denotamos el conjunto de polinomios en${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$con todos los ceros en D y definamos

${\displaystyle \mu _{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {P}}_{n}}\sup _{z\in D}|p(z)|}$y${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {Q}}_{n}}\sup _{z\in D}|p(z)|}$

Entonces los límites

${\displaystyle \mu (D):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(D)^{1/n}}$y${\displaystyle \mu (D):=\lim _{n\to \infty }{\tilde {\mu }}_{n}(D)^{1/n}}$

Existen y se denominan , respectivamente, constante de Chebyshev y constante de Chebyshev modificada . Michael Fekete y Gábor Szegő demostraron que estas constantes son iguales.

El radio conforme es una herramienta muy útil, por ejemplo, al trabajar con la evolución de Schramm-Loewner . Un ejemplo hermoso se puede encontrar en Lawler, Schramm y Werner (2002) . ^{[ 3 ]}

• Ahlfors, Lars V. (1973). Invariantes conformes: temas de teoría geométrica de funciones . Serie de Matemáticas Superiores. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000659-1. SEÑOR 0357743 . Zbl 0272.30012 .  
• Horváth, János, ed. (2005). Panorama de las matemáticas húngaras en el siglo XX, I. Bolyai Society Mathematical Studies. Springer. ISBN 3-540-28945-3.

• Rumely, Robert S. (1989), Teoría de la capacidad en curvas algebraicas , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1378, Berlín, etc.: Springer-Verlag , ISBN 3-540-51410-4, Zbl 0679.14012 

• Pooh, Charles, Radio conforme. De MathWorld — Un recurso web de Wolfram, creado por Eric W. Weisstein.