Capacidad de un conjunto

Sea Σ una hipersuperficie cerrada , suave y de dimensión ( n − 1) en el espacio euclidiano de dimensión n.  ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, n ≥ 3; K denotará el conjunto compacto n- dimensional (es decir, cerrado y acotado ) del cual Σ es la frontera . Sea S otra hipersuperficie ( n − 1)-dimensional que encierra a Σ: en referencia a sus orígenes en el electromagnetismo , el par (Σ, S ) se conoce como condensador . La capacidad de condensador de Σ con respecto a S , denotada C (Σ, S ) o cap(Σ, S ), viene dada por la integral de superficie.   

${\displaystyle C(\Sigma ,S)=-{\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{S'}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma ',}$

dónde:

• u es la única función armónica definida en la región D entre Σ y S con las condiciones de contorno u ( x )  =  1 en Σ y u ( x ) = 0 en S ;
• S ′ es cualquier superficie intermedia entre Σ y S ;
• ${\displaystyle \nu }$es el campo normal unitario exterior a S ′ y

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)=\nabla u(x)\cdot \nu (x)}$

es la derivada normal de u a través de S ′ ; y

• σ _n  =  2 π ^{n /2}  /  Γ( n  ⁄  2) es el área de la superficie de la esfera unitaria en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

C (Σ, S ) puede definirse de forma equivalente mediante la integral de volumen. 

${\displaystyle C(\Sigma ,S)={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}$

La capacidad del condensador también tiene una caracterización variacional : C (Σ, S ) es el ínfimo del funcional de energía de Dirichlet. 

${\displaystyle I[v]={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla v|^{2}\mathrm {d} x}$

sobre todas las funciones continuamente diferenciables v en D con v ( x )  =  1 en Σ y v ( x )  =  0 en S .

Heurísticamente , la capacidad armónica de K , la región delimitada por Σ, se puede encontrar tomando la capacidad del condensador de Σ con respecto al infinito. Más precisamente, sea u la función armónica en el complemento de K que satisface u  =  1 en Σ y u ( x )  →  0 cuando x  →  ∞. Por lo tanto, u es el potencial newtoniano de la capa simple Σ. Entonces, la capacidad armónica o capacidad newtoniana de K , denotada C ( K ) o cap( K ), se define entonces por

${\displaystyle C(K)=\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus K}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}$

Si S es una hipersuperficie rectificable que encierra completamente a K , entonces la capacidad armónica puede reescribirse equivalentemente como la integral sobre S de la derivada normal hacia afuera de u :

${\displaystyle C(K)=\int _{S}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma .}$

La capacidad armónica también puede entenderse como un límite de la capacidad del condensador. A saber, sea S _r la esfera de radio r alrededor del origen en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Dado que K está acotado, para valores de r suficientemente grandes , S _r englobará a K y (Σ, S _r ) formará un par condensador. La capacidad armónica es entonces el límite cuando r tiende a infinito: 

${\displaystyle C(K)=\lim _{r\to \infty }C(\Sigma ,S_{r}).}$

La capacidad armónica es una versión matemáticamente abstracta de la capacidad electrostática del conductor K y siempre es no negativa y finita: 0  ≤ C ( K ) < +∞.   

La capacidad de Wiener o constante de Robin W(K) de K viene dada por

${\displaystyle C(K)=e^{-W(K)}}$

En dos dimensiones, la capacidad se define como arriba, pero dejando de lado el factor de${\displaystyle (n-2)}$en la definición:

${\displaystyle C(\Sigma ,S)=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{S'}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma '={\frac {1}{2\pi }}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x}$

Esto se suele llamar capacidad logarítmica ; el término logarítmico surge porque la función potencial pasa de ser una potencia inversa a un logaritmo en el${\displaystyle n\to 2}$límite. Esto se explica más adelante. También se le puede llamar capacidad conforme , en referencia a su relación con el radio conforme .

Soluciones a una ecuación diferencial parcial elíptica uniforme con divergencia

${\displaystyle \nabla \cdot (A\nabla u)=0}$

son minimizadores del funcional de energía asociado

${\displaystyle I[u]=\int _{D}(\nabla u)^{T}A(\nabla u)\,\mathrm {d} x}$

sujeto a las condiciones de contorno apropiadas.

La capacidad de un conjunto E con respecto a un dominio D que contiene a E se define como el ínfimo de la energía sobre todas las funciones continuamente diferenciables v en D con v ( x )  =  1 en E ; y v ( x )  =  0 en el límite de D .

La energía mínima se alcanza mediante una función conocida como potencial capacitivo de E con respecto a D , y resuelve el problema de obstáculo en D con la función de obstáculo proporcionada por la función indicadora de E. El potencial capacitivo se caracteriza alternativamente como la solución única de la ecuación con las condiciones de contorno apropiadas.