Funcional (matemáticas)

En matemáticas , una función es un tipo determinado de función . La definición exacta del término varía según el subcampo (y a veces incluso según el autor).

• En álgebra lineal , es sinónimo de una forma lineal , que es una aplicación lineal de un espacio vectorial a su campo de escalares (es decir, es un elemento del espacio dual ) ^[1]${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$
• En el análisis funcional y campos relacionados, se refiere a una aplicación de un espacio en el campo de números reales o complejos . ^{[2] [3]} En el análisis funcional, el término funcional lineal es sinónimo de forma lineal ; ^{[3] [4] [5]} es decir, es una aplicación lineal de valor escalar. Dependiendo del autor, se puede suponer o no que dichas aplicaciones son lineales o que están definidas en todo el espacio ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• En informática , es sinónimo de función de orden superior , que es una función que toma una o más funciones como argumentos o las devuelve. ^{[ cita requerida ]}

Este artículo se centra principalmente en el segundo concepto, que surgió a principios del siglo XVIII como parte del cálculo de variaciones . El primer concepto, que es más moderno y abstracto, se analiza en detalle en un artículo aparte, bajo el nombre de forma lineal . El tercer concepto se detalla en el artículo de informática sobre funciones de orden superior .

En el caso en que el espacio sea un espacio de funciones, el funcional es una "función de una función", ^[6] y algunos autores antiguos incluso definen el término "funcional" como "función de una función". Sin embargo, el hecho de que sea un espacio de funciones no es matemáticamente esencial, por lo que esta definición antigua ya no es predominante. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

El término tiene su origen en el cálculo de variaciones , en el que se busca una función que minimice (o maximice) una función dada. Una aplicación particularmente importante en física es la búsqueda de un estado de un sistema que minimice (o maximice) la acción , o en otras palabras, la integral temporal del lagrangiano .

La asignación es una función, donde es un argumento de una función. Al mismo tiempo, la asignación de una función al valor de la función en un punto es una funcional ; aquí, es un parámetro . $${\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}$$${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f.}$$${\displaystyle f\mapsto f(x_{0})}$$${\displaystyle x_{0}}$

Siempre que sea una función lineal de un espacio vectorial al campo escalar subyacente, los mapas lineales anteriores son duales entre sí y, en el análisis funcional, ambos se denominan funcionales lineales . ${\displaystyle f}$

Las integrales como esta forman una clase especial de funciones. Transforman una función en un número real, siempre que éste tenga un valor real. Algunos ejemplos son: $${\displaystyle f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots )\;\mu (\mathrm {d} x)}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle H}$

• el área debajo del gráfico de una función positiva${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\;\mathrm {d} x}$$
• ${\displaystyle L^{p}}$norma de una función en un conjunto${\displaystyle E}$ $${\displaystyle f\mapsto \left(\int _{E}|f|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p}}$$
• la longitud del arco de una curva en el espacio euclidiano bidimensional$${\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x}$$

Dado un espacio de producto interno y un vector fijo, la función definida por es una función lineal en El conjunto de vectores tal que es cero es un subespacio vectorial de llamado espacio nulo o núcleo de la función, o el complemento ortogonal de denotado${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\vec {x}}\in X,}$${\displaystyle {\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\vec {y}}}$${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\vec {x}},}$${\displaystyle \{{\vec {x}}\}^{\perp }.}$

Por ejemplo, tomar el producto interno con una función fija define una función (lineal) en el espacio de Hilbert de funciones integrables cuadradas en${\displaystyle g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]:}$ $${\displaystyle f\mapsto \langle f,g\rangle =\int _{[-\pi ,\pi ]}{\bar {f}}g}$$

Si el valor de una función se puede calcular para pequeños segmentos de la curva de entrada y luego sumarlos para encontrar el valor total, la función se denomina local. De lo contrario, se denomina no local. Por ejemplo: es local mientras que es no local. Esto ocurre comúnmente cuando las integrales aparecen por separado en el numerador y el denominador de una ecuación, como en los cálculos del centro de masa. $${\displaystyle F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}$$$${\displaystyle F(y)={\frac {\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}}^{x_{1}}(1+[y(x)]^{2})\;\mathrm {d} x}}}$$

El uso tradicional también se aplica cuando se habla de una ecuación funcional, es decir, una ecuación entre funcionales: una ecuación entre funcionales puede leerse como una "ecuación a resolver", siendo las soluciones en sí mismas funciones. En tales ecuaciones puede haber varios conjuntos de incógnitas variables, como cuando se dice que una función aditiva es aquella que satisface la ecuación funcional de Cauchy : ${\displaystyle F=G}$ ${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad {\text{ for all }}x,y.}$$

Las derivadas funcionales se utilizan en la mecánica de Lagrange . Son derivadas de funcionales, es decir, contienen información sobre cómo cambia un funcional cuando la función de entrada cambia en una pequeña cantidad.

Richard Feynman utilizó las integrales funcionales como idea central en su formulación de la mecánica cuántica basada en la historia . Este uso implica una integral que se toma sobre un espacio de funciones .

• Forma lineal  : aplicación lineal de un espacio vectorial a su campo de escalares
• Optimización (matemáticas)  – Estudio de algoritmos matemáticos para problemas de optimización.Pages displaying short descriptions of redirect targets
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• Funcional lineal en el laboratorio n
• Funcional no lineal en el laboratorio n
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