Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Derivada direccional

En cálculo multivariable , la derivada direccional mide la tasa instantánea de cambio de una función a lo largo de un vector determinado que pasa por un punto dado. Si el vector...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En cálculo multivariable , la derivada direccional mide la tasa instantánea de cambio de una función a lo largo de un vector determinado que pasa por un punto dado. Si el vector se multiplica por un escalar, la derivada direccional correspondiente se multiplica por el mismo escalar.

Algunos textos elementales utilizan en cambio la frase "derivada direccional en la dirección de v " para referirse a la tasa de cambio de una función por unidad de distancia en esa dirección. En esa convención, el vector no nulo v se normaliza primero al vector unitario .v^=v/‖v‖{\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} /\|\mathbf {v} \|}donde el vector normalizado se denota con un símbolo de acento circunflejo (sombrero):^{\displaystyle \mathbf {\widehat {}} }.

La derivada direccional de una función escalar f con respecto a un vector v puede denotarse mediante cualquiera de las siguientes expresiones: ∇vF(incógnita)=Fv′(incógnita)=DvF(incógnita)=DF(incógnita)(v)=∂vF(incógnita)=∂F(incógnita)∂v=v⋅∇F(incógnita)=v⋅∂F(incógnita)∂incógnita.{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )&=f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )\\&=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )\\&=Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )\\&=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )\\&={\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}\\&=\mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}\\&=\mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.\\\end{aligned}}}

Por lo tanto, generaliza la noción de derivada parcial , en la que la tasa de cambio se toma a lo largo de una de las curvas de coordenadas curvilíneas , mientras que todas las demás coordenadas permanecen constantes. En análisis funcional , la noción análoga para funciones entre espacios vectoriales topológicos es la derivada de Gateaux .

Definición

Un gráfico de contorno deF(incógnita,y)=incógnita2+y2{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}, mostrando el vector gradiente en negro y el vector unitariotú{\displaystyle \mathbf {u} }escalado por la derivada direccional en la dirección detú{\displaystyle \mathbf {u} }En naranja. El vector gradiente es más largo porque el gradiente apunta en la dirección de mayor tasa de aumento de una función.

La derivada direccional de una función escalarF(incógnita)=F(incógnita1,incógnita2,…,incógnitanorte){\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} a lo largo de un vector v=(v1,…,vnorte){\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots,v_{n})} es la función∇vF{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}}definido por el límite [ 1 ]∇vF(incógnita)=límiteh→0F(incógnita+hv)−F(incógnita)h=ddtF(incógnita+tv)|t=0.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.}

Esta definición es válida en un amplio abanico de contextos, por ejemplo, donde se define la norma de un vector. En dimensiones finitas, no depende de la elección de la norma, puesto que todas las normas son equivalentes. Su aplicabilidad se extiende a funciones en espacios vectoriales de dimensión finita sin métrica y a variedades diferenciables , como en la relatividad general .

Para funciones diferenciables

Si la función f es diferenciable en x , entonces la derivada direccional existe a lo largo de cualquier vector v en x , y se tiene

∇vF(incógnita)=∇F(incógnita)⋅v{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }

donde el∇{\displaystyle \nabla }a la derecha denota el gradiente y⋅{\displaystyle \cdot }es el producto escalar . [ 2 ]

Se puede obtener utilizando la propiedad de que todas las derivadas direccionales en un punto forman un único plano tangente, el cual se define mediante derivadas parciales. Esto permite hallar una fórmula para el vector gradiente y una fórmula alternativa para la derivada direccional, la cual se puede reescribir como se muestra arriba para mayor comodidad.

También se deduce de la definición de un camino.h(t)=incógnita+tv{\displaystyle \mathbf {h} (t)=\mathbf {x} +t\mathbf {v} }y utilizando la definición de la derivada como un límite a lo largo de este camino para obtener ∇vF(incógnita)−∇F(incógnita)⋅v=límitet→0F(incógnita+tv)−F(incógnita)t−∇F(incógnita)⋅v=límitet→0F(incógnita+tv)−F(incógnita)−t∇F(incógnita)⋅vt=0,{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )-\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} &=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}-\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} \\&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )-t\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }{t}}\\&=0,\end{aligned}}} De dónde∇F(incógnita)⋅v=∇vF(incógnita){\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} =\nabla _ {\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )}.

Utilizando únicamente la dirección del vector

El ángulo α entre la tangente A y la horizontal será máximo si el plano de corte contiene la dirección del gradiente A.

En un espacio euclidiano , algunos autores [ 3 ] [ 4 ] definen la derivada direccional con respecto a un vector no nulo arbitrario v después de la normalización , siendo así independiente de su magnitud y dependiendo solo de su dirección. [ 5 ]

Esta definición da la tasa de cambio de una función f por unidad de distancia recorrida en la dirección dada por v . En este caso, se tiene ∇v^F(incógnita)=límiteh→0F(incógnita+hv)−F(incógnita)h‖v‖,{\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {v} }}{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h\|v\|}},} o en caso de que f sea diferenciable en x , ∇v^F(incógnita)=∇F(incógnita)⋅v^.{\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {v} }}{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\hat {\mathbf {v} }}.}

Propiedades

Muchas de las propiedades conocidas de la derivada ordinaria se cumplen para la derivada direccional. Estas incluyen, para cualesquiera funciones f y g definidas en un entorno de, y diferenciables en, p :

  1. regla de suma :∇v(F+gramo)=∇vF+∇vgramo.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.}
  2. Regla del factor constante : Para cualquier constante c ,∇v(doF)=do∇vF.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.}
  3. regla del producto (o regla de Leibniz ):∇v(Fgramo)=gramo∇vF+F∇vgramo.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.}
  4. Regla de la cadena : Si g es diferenciable en p y h es diferenciable en g ( p ), entonces∇v(h∘gramo)(pag)=h′(gramo(pag))∇vgramo(pag).{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).}

En geometría diferencial

Sea M una variedad diferenciable y p un punto de M. Supongamos que f es una función definida en un entorno de p y diferenciable en p . Si v es un vector tangente a M en p , entonces la derivada direccional de f a lo largo de v , denotada de diversas maneras como df ( v ) (véase Derivada exterior ),∇vF(pag){\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )}(véase derivada covariante ),LvF(pag){\displaystyle L_{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )}(véase la derivada de Lie ), ovpag(F){\displaystyle {\mathbf {v} }_{\mathbf {p} }(f)}(véase Espacio tangente §  Definición mediante derivaciones ), se puede definir de la siguiente manera. Sea γ  : [−1, 1] → M una curva diferenciable con γ (0) = p y γ ′(0) = v . Entonces la derivada direccional se define por ∇vF(pag)=ddτF∘γ(τ)|τ=0.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}.} Esta definición puede demostrarse independientemente de la elección de γ , siempre que γ se seleccione de la manera prescrita de modo que γ (0) = p y γ ′(0) = v .

La derivada de Lie

La derivada de Lie de un campo vectorialWμ(incógnita){\displaystyle W^{\mu }(x)}a lo largo de un campo vectorialVμ(incógnita){\displaystyle V^{\mu }(x)}viene dada por la diferencia de dos derivadas direccionales (con torsión nula): LVWμ=(V⋅∇)Wμ−(W⋅∇)Vμ.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}W^{\mu }=(V\cdot \nabla )W^{\mu }-(W\cdot \nabla )V^{\mu }.} En particular, para un campo escalarϕ(incógnita){\displaystyle \phi (x)}, la derivada de Lie se reduce a la derivada direccional estándar: LVϕ=(V⋅∇)ϕ.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}\phi =(V\cdot \nabla )\phi .}

El tensor de Riemann

Las derivadas direccionales se utilizan a menudo en las derivaciones introductorias del tensor de curvatura de Riemann . Consideremos un rectángulo curvo con un vector infinitesimal.δ{\displaystyle \delta }a lo largo de un borde yδ′{\displaystyle \delta '}a lo largo del otro. Trasladamos un covectorS{\displaystyle S}a lo largo deδ{\displaystyle \delta }entoncesδ′{\displaystyle \delta '}y luego restar la traslación a lo largo deδ′{\displaystyle \delta '}y luegoδ{\displaystyle \delta }En lugar de construir la derivada direccional usando derivadas parciales, usamos la derivada covariante . El operador de traslación paraδ{\displaystyle \delta }es así 1+∑νδνDν=1+δ⋅D,{\displaystyle 1+\sum _{\nu }\delta ^{\nu }D_{\nu }=1+\delta \cdot D,} y paraδ′{\displaystyle \delta '}, 1+∑μδ′μDμ=1+δ′⋅D.{\displaystyle 1+\sum _{\mu }\delta '^{\mu }D_{\mu }=1+\delta '\cdot D.} La diferencia entre los dos caminos es entonces (1+δ′⋅D)(1+δ⋅D)Sρ−(1+δ⋅D)(1+δ′⋅D)Sρ=∑μ,νδ′μδν[Dμ,Dν]Sρ.{\displaystyle (1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.} Se puede argumentar [ 6 ] que la no conmutatividad de las derivadas covariantes mide la curvatura de la variedad: [Dμ,Dν]Sρ=±∑σRσρμνSσ,{\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }S_{\sigma },} dóndeR{\displaystyle R}es el tensor de curvatura de Riemann y el signo depende de la convención de signos del autor.

En teoría de grupos

Traducciones

En el álgebra de Poincaré , podemos definir un operador de traslación infinitesimal P como PAG=i∇.{\displaystyle \mathbf {P} =i\nabla .} (la i asegura que P es un operador autoadjunto ) Para un desplazamiento finito λ , la representación del espacio de Hilbert unitario para traslaciones es [ 7 ]U(λ)=exp⁡(−iλ⋅PAG).{\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left(-i{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \mathbf {P} \right).} Utilizando la definición anterior del operador de traslación infinitesimal, vemos que el operador de traslación finito es una derivada direccional exponenciada: U(λ)=exp⁡(λ⋅∇).{\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).} Este es un operador de traslación en el sentido de que actúa sobre funciones multivariables f ( x ) como U(λ)F(incógnita)=exp⁡(λ⋅∇)F(incógnita)=F(incógnita+λ).{\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }}).}

Demostración de la última ecuación

En el cálculo estándar de una variable, la derivada de una función suave f ( x ) se define por (para ε pequeño ) dFdincógnita=F(incógnita+ε)−F(incógnita)ε.{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.} Esto se puede reordenar para hallar f ( x + ε ): F(incógnita+ε)=F(incógnita)+εdFdincógnita=(1+εddincógnita)F(incógnita).{\displaystyle f(x+\varepsilon )=f(x)+\varepsilon \,{\frac {df}{dx}}=\left(1+\varepsilon \,{\frac {d}{dx}}\right)f(x).} Resulta que[1+ε(d/dincógnita)]{\displaystyle [1+\varepsilon \,(d/dx)]}es un operador de traslación. Esto se generaliza instantáneamente [ 8 ] a funciones multivariables f ( x ). F(incógnita+ε)=(1+ε⋅∇)F(incógnita).{\displaystyle f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\varepsilon }})=\left(1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ).} Aquíε⋅∇{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla }es la derivada direccional a lo largo del desplazamiento infinitesimal ε . Hemos encontrado la versión infinitesimal del operador de traslación: U(ε)=1+ε⋅∇.{\displaystyle U({\boldsymbol {\varepsilon }})=1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla .} Es evidente que la ley de multiplicación de grupos [ 9 ] U ( g ) U ( f )= U ( gf ) toma la forma U(a)U(b)=U(a+b).{\displaystyle U(\mathbf {a} )U(\mathbf {b} )=U(\mathbf {a+b} ).} Supongamos entonces que tomamos el desplazamiento finito λ y lo dividimos en N partes ( N → ∞ está implícito en todas partes), de modo que λ / N = ε . En otras palabras, λ=norteε.{\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=N{\boldsymbol {\varepsilon }}.} Luego, aplicando U ( ε ) N veces, podemos construir U ( λ ): [U(ε)]norte=U(norteε)=U(λ).{\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=U(N{\boldsymbol {\varepsilon }})=U({\boldsymbol {\lambda }}).} Ahora podemos sustituir nuestra expresión anterior para U( ε ): [U(ε)]norte=[1+ε⋅∇]norte=[1+λ⋅∇norte]norte.{\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=\left[1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.} Utilizando la identidad [ 10 ]exp⁡(incógnita)=[1+incógnitanorte]norte,{\displaystyle \exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},} tenemos U(λ)=exp⁡(λ⋅∇).{\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).} Y dado que U ( ε ) f ( x ) = f ( x + ε ) tenemos [U(ε)]norteF(incógnita)=F(incógnita+norteε)=F(incógnita+λ)=U(λ)F(incógnita)=exp⁡(λ⋅∇)F(incógnita),{\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N{\boldsymbol {\varepsilon }})=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }})=U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),} QED

Como nota técnica, este procedimiento solo es posible porque el grupo de traslaciones forma un subgrupo abeliano ( subálgebra de Cartan ) en el álgebra de Poincaré. En particular, la ley de multiplicación de grupos U ( a ) U ( b ) = U ( a + b ) no debe darse por sentada. También observamos que Poincaré es un grupo de Lie conexo . Es un grupo de transformaciones T ( ξ ) que se describen mediante un conjunto continuo de parámetros reales.ξa{\displaystyle \xi ^{a}}La ley de multiplicación de grupos toma la forma T(ξ¯)T(ξ)=T(F(ξ¯,ξ)).{\displaystyle T({\bar {\xi }})T(\xi )=T(f({\bar {\xi }},\xi )).} Tomandoξa=0{\displaystyle \xi ^{a}=0}como coordenadas de la identidad, debemos tener Fa(ξ,0)=Fa(0,ξ)=ξa.{\displaystyle f^{a}(\xi ,0)=f^{a}(0,\xi )=\xi ^{a}.} Los operadores reales en el espacio de Hilbert están representados por operadores unitarios U ( T ( ξ )). En la notación anterior, omitimos la T ; ahora escribimos U ( λ ) como U ( P ( λ )). Para un entorno pequeño alrededor de la identidad, la representación en serie de potenciasU(T(ξ))=1+i∑aξata+12∑b,doξbξdotbdo+⋯{\displaystyle U(T(\xi ))=1+i\sum _{a}\xi ^{a}t_{a}+{\frac {1}{2}}\sum _{b,c}\xi ^{b}\xi ^{c}t_{bc}+\cdots } es bastante bueno. Supongamos que U(T(ξ)) forman una representación no proyectiva, es decir, U(T(ξ¯))U(T(ξ))=U(T(F(ξ¯,ξ))).{\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T(f({\bar {\xi }},\xi ))).} La expansión de f al cuadrado es Fa(ξ¯,ξ)=ξa+ξ¯a+∑b,doFabdoξ¯bξdo.{\displaystyle f^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a}+\sum _{b,c}f^{abc}{\bar {\xi }}^{b}\xi ^{c}.} Después de expandir la ecuación de multiplicación de representación e igualar los coeficientes, tenemos la condición no trivial. tbdo=−tbtdo−i∑aFabdota.{\displaystyle t_{bc}=-t_{b}t_{c}-i\sum _{a}f^{abc}t_{a}.} Desdetab{\displaystyle t_{ab}}es por definición simétrico en sus índices, tenemos el conmutador estándar del álgebra de Lie :[tb,tdo]=i∑a(−Fabdo+Fadob)ta=i∑adoabdota,{\displaystyle [t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},} donde C es la constante de estructura . Los generadores para las traslaciones son operadores de derivadas parciales, que conmutan: [∂∂incógnitab,∂∂incógnitado]=0.{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.} Esto implica que las constantes de estructura se anulan y, por lo tanto, los coeficientes cuadráticos en la expansión de f también se anulan. Esto significa que f es simplemente aditiva: Fabelianoa(ξ¯,ξ)=ξa+ξ¯a,{\displaystyle f_{\text{abelian}}^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a},} y por lo tanto para los grupos abelianos, U(T(ξ¯))U(T(ξ))=U(T(ξ¯+ξ)).{\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T({\bar {\xi }}+\xi )).} QED

Rotaciones

El operador de rotación también contiene una derivada direccional. El operador de rotación para un ángulo θ , es decir, por una cantidad θ = | θ | alrededor de un eje paralelo aθ^=θ/θ{\displaystyle {\hat {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}/\theta }es U(R(θ))=exp⁡(−iθ⋅L).{\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-i\mathbf {\theta } \cdot \mathbf {L} ).} Aquí L es el operador vectorial que genera SO(3) : L=(0000010−10)i+(00−1000100)j+(010−100000)k.{\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\mathbf {i} +{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {k} .} Se puede demostrar geométricamente que una rotación infinitesimal hacia la derecha cambia el vector de posición x en incógnita→incógnita−δθ×incógnita.{\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} .} Por lo tanto, cabría esperar bajo una rotación infinitesimal: U(R(δθ))F(incógnita)=F(incógnita−δθ×incógnita)=F(incógnita)−(δθ×incógnita)⋅∇F.{\displaystyle U(R(\delta {\boldsymbol {\theta }}))f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )-(\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )\cdot \nabla f.} Resulta que U(R(δθ))=1−(δθ×incógnita)⋅∇.{\displaystyle U(R(\delta \mathbf {\theta } ))=1-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla .} Siguiendo el mismo procedimiento de exponenciación que el anterior, llegamos al operador de rotación en la base de posición, que es una derivada direccional exponenciada: [ 11 ]U(R(θ))=exp⁡(−(θ×incógnita)⋅∇).{\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-(\mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla ).}

Derivada normal

Una derivada normal es una derivada direccional tomada en la dirección normal (es decir, ortogonal ) a alguna superficie en el espacio, o más generalmente a lo largo de un campo vectorial normal ortogonal a alguna hipersuperficie . Véase, por ejemplo, la condición de contorno de Neumann . Si la dirección normal se denota pornorte{\displaystyle \mathbf {n} }, entonces la derivada normal de una función f a veces se denota como∂F∂norte{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}}. En otras notaciones, ∂F∂norte=∇F(incógnita)⋅norte=∇norteF(incógnita)=∂F∂incógnita⋅norte=DF(incógnita)[norte].{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}

En la mecánica de medios continuos de los sólidos

Varios resultados importantes en mecánica de medios continuos requieren las derivadas de vectores con respecto a vectores y de tensores con respecto a vectores y tensores. [ 12 ] La derivada direccional proporciona una forma sistemática de encontrar estas derivadas.

A continuación se presentan las definiciones de derivadas direccionales para diversas situaciones. Se supone que las funciones son suficientemente suaves como para poder calcular sus derivadas.

Derivadas de funciones escalares de vectores

Sea f (v) una función de valor real del vector v. Entonces, la derivada de f (v) con respecto a v (o en v) es el vector definido a través de su producto escalar con cualquier vector u.

∂F∂v⋅tú=DF(v)[tú]=[ddα F(v+α tú)]α=0{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}

para todos los vectores u. El producto escalar anterior produce un escalar, y si u es un vector unitario da la derivada direccional de f en v, en la dirección u.

Propiedades:

  1. SiF(v)=F1(v)+F2(v){\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )}entonces∂F∂v⋅tú=(∂F1∂v+∂F2∂v)⋅tú{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }
  2. SiF(v)=F1(v) F2(v){\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )}entonces∂F∂v⋅tú=(∂F1∂v⋅tú) F2(v)+F1(v) (∂F2∂v⋅tú){\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}
  3. SiF(v)=F1(F2(v)){\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))}entonces∂F∂v⋅tú=∂F1∂F2 ∂F2∂v⋅tú{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} }

Derivadas de funciones vectoriales de vectores

Sea f(v) una función vectorial del vector v. Entonces, la derivada de f(v) con respecto a v (o en v) es el tensor de segundo orden definido a través de su producto escalar con cualquier vector u.

∂F∂v⋅tú=DF(v)[tú]=[ddα F(v+α tú)]α=0{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}

para todos los vectores u. El producto escalar anterior produce un vector, y si u es un vector unitario da la derivada direccional de f en v, en la dirección u.

Propiedades:

  1. SiF(v)=F1(v)+F2(v){\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}entonces∂F∂v⋅tú=(∂F1∂v+∂F2∂v)⋅tú{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }
  2. SiF(v)=F1(v)×F2(v){\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}entonces∂F∂v⋅tú=(∂F1∂v⋅tú)×F2(v)+F1(v)×(∂F2∂v⋅tú){\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}
  3. SiF(v)=F1(F2(v)){\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))}entonces∂F∂v⋅tú=∂F1∂F2⋅(∂F2∂v⋅tú){\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}

Derivadas de funciones escalares de tensores de segundo orden

DejarF(S){\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}sea ​​una función de valor real del tensor de segundo ordenS{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}. Entonces la derivada deF(S){\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}con respecto aS{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}(o enS{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}) en la direcciónT{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}es el tensor de segundo orden definido como ∂F∂S:T=DF(S)[T]=[ddα F(S+α T)]α=0{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}} para todos los tensores de segundo ordenT{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}.

Propiedades:

  1. SiF(S)=F1(S)+F2(S){\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})}entonces∂F∂S:T=(∂F1∂S+∂F2∂S):T{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}
  2. SiF(S)=F1(S) F2(S){\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})}entonces∂F∂S:T=(∂F1∂S:T) F2(S)+F1(S) (∂F2∂S:T){\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}
  3. SiF(S)=F1(F2(S)){\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))}entonces∂F∂S:T=∂F1∂F2 (∂F2∂S:T){\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}

Derivadas de funciones tensoriales de tensores de segundo orden

DejarF(S){\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}sea ​​una función tensorial de segundo orden del tensor de segundo ordenS{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}. Entonces la derivada deF(S){\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}con respecto aS{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}(o enS{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}) en la direcciónT{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}es el tensor de cuarto orden definido como ∂F∂S:T=DF(S)[T]=[ddα F(S+α T)]α=0{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}} para todos los tensores de segundo ordenT{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}.

Propiedades:

  1. SiF(S)=F1(S)+F2(S){\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}entonces∂F∂S:T=(∂F1∂S+∂F2∂S):T{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}
  2. SiF(S)=F1(S)⋅F2(S){\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}entonces∂F∂S:T=(∂F1∂S:T)⋅F2(S)+F1(S)⋅(∂F2∂S:T){\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}
  3. SiF(S)=F1(F2(S)){\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}entonces∂F∂S:T=∂F1∂F2:(∂F2∂S:T){\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}
  4. SiF(S)=F1(F2(S)){\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}entonces∂F∂S:T=∂F1∂F2:(∂F2∂S:T){\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}

Véase también

Notas

  1. ↑ R. Wrede; MR Spiegel (2010). Cálculo avanzado (3.ª  ed.). Serie Schaum's Outline. ISBN 978-0-07-162366-7.
  2. ↑ Si el producto escalar no está definido, el gradiente tampoco lo está; sin embargo, para una función f diferenciable , la derivada direccional sigue estando definida, y existe una relación similar con la derivada exterior.
  3. ↑ Thomas, George B. Jr.; y Finney, Ross L. (1979) Cálculo y geometría analítica , Addison-Wesley Publ. Co., quinta edición, pág. 593.
  4. ↑ Stewart, James (2015). "14.6 Derivadas direccionales y el vector gradiente". Cálculo (8.ª ed.). Cengage Learning. ISBN  978-1-285-74062-1.
  5. ↑ Esto suele asumir un espacio euclidiano ; por ejemplo, una función de varias variables normalmente no tiene definición de la magnitud de un vector y, por lo tanto, de un vector unitario.
  6. ↑ Zee, A. (2013). Einstein Gravity in a Nutshell . Princeton: Princeton University Press. p. 341. ISBN  9780691145587.
  7. ↑ Weinberg, Steven (1999). La teoría cuántica de campos (Reimpreso (con ed. corregida ). Cambridge [ua]: Cambridge Univ. Press. ISBN  9780521550017.
  8. ↑ Zee, A. (2013). La gravedad de Einstein en pocas palabras . Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691145587.
  9. ↑ Cahill, Kevin Cahill (2013). Matemáticas físicas ( Ed. reimpresa). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  978-1107005211.
  10. ↑ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Cálculo de una variable (9.ª ed.). Belmont: Brooks/Cole. ISBN  9780547209982.
  11. ↑ Shankar, R. (1994). Principios de mecánica cuántica (2.ª ed.). Nueva York: Kluwer Academic / Plenum. pág. 318. ISBN   9780306447907.
  12. ↑ JE Marsden y TJR Hughes, 2000, Fundamentos matemáticos de la elasticidad , Dover.

Referencias

  • Hildebrand, FB (1976). Cálculo avanzado para aplicaciones . Prentice Hall. ISBN 0-13-011189-9.
  • KF Riley; MP Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
  • Shapiro, A. (1990). "Sobre conceptos de diferenciabilidad direccional". Journal of Optimization Theory and Applications . 66 (3): 477– 487. doi : 10.1007/BF00940933 . S2CID 120253580 . 

Logotipo de Wikimedia CommonsContenido multimedia relacionado con Derivado direccional en Wikimedia Commons