Campo escalar

En matemáticas y física , un campo escalar es una función que asocia un único número a cada punto de una región del espacio , posiblemente el espacio físico . El escalar puede ser un número puramente matemático ( adimensional ) o una magnitud física escalar (con unidades ).

En un contexto físico, los campos escalares deben ser independientes del sistema de referencia elegido. Es decir, dos observadores cualesquiera que utilicen las mismas unidades coincidirán en el valor del campo escalar en el mismo punto absoluto del espacio (o espaciotiempo ), independientemente de sus respectivos puntos de origen. Algunos ejemplos utilizados en física incluyen la distribución de temperatura en el espacio, la distribución de presión en un fluido y los campos cuánticos de espín cero, como el campo de Higgs . Estos campos son objeto de la teoría de campos escalares .

Definición

Matemáticamente, un campo escalar en una región U es una función o distribución de valores reales o complejos en U. ^[¹^]^[²^] La región U puede ser un conjunto en algún espacio euclidiano , espacio de Minkowski o, más generalmente, un subconjunto de una variedad , y es típico en matemáticas imponer condiciones adicionales al campo, de modo que sea continuo o, a menudo , continuamente diferenciable hasta algún orden. Un campo escalar es un campo tensorial de orden cero, ^[³^] y el término "campo escalar" puede usarse para distinguir una función de este tipo de un campo tensorial, densidad o forma diferencial más general .

{\displaystyle \sin(2\pi (xy+\sigma ))} — El campo escalar de $\sin(2\pi (xy+\sigma ))$ oscilando como $\sigma$ aumenta. El rojo representa valores positivos, el morado representa valores negativos y el azul cielo representa valores cercanos a cero.

{\displaystyle \sigma } — El campo escalar de $\sin(2\pi (xy+\sigma ))$ oscilando como $\sigma$ aumenta. El rojo representa valores positivos, el morado representa valores negativos y el azul cielo representa valores cercanos a cero.

Físicamente, un campo escalar se distingue además por tener unidades de medida asociadas. En este contexto, un campo escalar también debe ser independiente del sistema de coordenadas utilizado para describir el sistema físico; es decir, dos observadores cualesquiera que utilicen las mismas unidades deben coincidir en el valor numérico de un campo escalar en cualquier punto del espacio físico. Los campos escalares se contraponen a otras magnitudes físicas como los campos vectoriales , que asocian un vector a cada punto de una región, así como a los campos tensoriales y espinoriales . De forma más sutil, los campos escalares se contraponen a menudo a los campos pseudoescalares .

Usos en física

En física, los campos escalares suelen describir la energía potencial asociada a una fuerza particular . La fuerza es un campo vectorial que se puede obtener como un factor del gradiente del campo escalar de energía potencial. Algunos ejemplos son:

Los campos potenciales, como el potencial gravitatorio newtoniano o el potencial eléctrico en electrostática , son campos escalares que describen las fuerzas más conocidas.
Un campo de temperatura , humedad o presión , como los que se utilizan en meteorología .

Ejemplos en teoría cuántica y relatividad

En la teoría cuántica de campos , un campo escalar se asocia con partículas de espín 0. El campo escalar puede ser real o complejo. Los campos escalares complejos representan partículas cargadas. Estos incluyen el campo de Higgs del Modelo Estándar , así como los piones cargados que median la interacción nuclear fuerte . ^{[ 4 ]}
En el Modelo Estándar de partículas elementales, se utiliza un campo escalar de Higgs para dar masa a los leptones y bosones vectoriales masivos , mediante una combinación de la interacción de Yukawa y la ruptura espontánea de simetría . Este mecanismo se conoce como el mecanismo de Higgs . ^{[ 5 ]} Un candidato a bosón de Higgs fue detectado por primera vez en el CERN en 2012.
En las teorías escalares de la gravitación, se utilizan campos escalares para describir el campo gravitatorio.
Las teorías escalar-tensoriales representan la interacción gravitatoria mediante un tensor y un escalar. Algunos ejemplos de estos intentos son la teoría de Jordan ^{[ 6 ]} , una generalización de la teoría de Kaluza-Klein , y la teoría de Brans-Dicke ^[⁷^] .
- Los campos escalares como el campo de Higgs se pueden encontrar dentro de las teorías escalar-tensoriales, utilizando como campo escalar el campo de Higgs del Modelo Estándar . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} Este campo interactúa gravitacionalmente y de forma tipo Yukawa (de corto alcance) con las partículas que adquieren masa a través de él. ^{[ 10 ]}
Los campos escalares se encuentran dentro de las teorías de supercuerdas como campos dilatónicos , rompiendo la simetría conforme de la cuerda, aunque equilibrando las anomalías cuánticas de este tensor. ^{[ 11 ]}
Se postula que los campos escalares causaron la alta expansión acelerada del universo primitivo ( inflación ), ^{[ 12 ]} lo que ayuda a resolver el problema del horizonte y proporciona una razón hipotética para la constante cosmológica no nula de la cosmología. En este contexto, los campos escalares sin masa (es decir, de largo alcance) se conocen como inflatones . También se proponen campos escalares con masa (es decir, de corto alcance), utilizando, por ejemplo, campos tipo Higgs. ^{[ 13 ]}

Otros tipos de campos

Los campos vectoriales asocian un vector a cada punto del espacio. Algunos ejemplos de campos vectoriales incluyen el flujo de aire ( viento ) en meteorología.
Los campos tensoriales asocian un tensor a cada punto del espacio. Por ejemplo, en la relatividad general, la gravitación se asocia con el campo tensorial de Einstein . En la teoría de Kaluza-Klein , el espacio-tiempo se extiende a cinco dimensiones y su tensor de curvatura de Riemann se puede separar en la gravitación cuatridimensional ordinaria más un conjunto adicional, equivalente a las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético , más un campo escalar adicional conocido como " dilatón ". (El escalar dilatón también se encuentra entre los campos bosónicos sin masa en la teoría de cuerdas ).

Véase también

Referencias

↑ Apostol, Tom (1969). Cálculo . Vol. II (2.ª ed.). Wiley.
↑ "Escalar" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
↑ "Campo escalar" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
↑ Técnicamente, los piones son en realidad ejemplos de mesones pseudoescalares , que no son invariantes bajo inversión espacial, pero sí son invariantes bajo transformaciones de Lorentz.
↑ PW Higgs (octubre de 1964). "Simetrías rotas y las masas de los bosones de gauge" . Phys. Rev. Lett . 13 (16): 508– 509. Bibcode : 1964PhRvL..13..508H . doi : 10.1103/PhysRevLett.13.508 .
^ Jordania, P. (1955). Schwerkraft und Weltall . Braunschweig: Vieweg.
↑ Brans, C.; Dicke, R. (1961). "El principio de Mach y una teoría relativista de la gravitación". Phys. Rev. 124 ( 3): 925. Bibcode : 1961PhRv..124..925B . doi : 10.1103/PhysRev.124.925 .
↑ Zee, A. (1979). "Teoría de la gravedad con simetría rota". Phys. Rev. Lett . 42 (7): 417– 421. Bibcode : 1979PhRvL..42..417Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.42.417 .
↑ Dehnen, H.; Frommert, H.; Ghaboussi, F. (1992). "Campo de Higgs y una nueva teoría escalar-tensorial de la gravedad". Int. J. Theor. Phys . 31 (1): 109. Bibcode : 1992IJTP...31..109D . doi : 10.1007/BF00674344 . S2CID 121308053 .
↑ Dehnen, H.; Frommmert, H. (1991). "Gravedad del campo de Higgs dentro del modelo estándar". Int. J. Theor. Phys . 30 (7): 985–998 [p. 987]. Bibcode : 1991IJTP...30..985D . doi : 10.1007/BF00673991 . S2CID 120164928 .
↑ Brans, CH (2005). "Las raíces de la teoría escalar-tensorial". arXiv : gr-qc/0506063 .
↑ Guth, A. (1981). "Universo inflacionario: una posible solución a los problemas del horizonte y la planitud" . Phys. Rev. D. 23 ( 2): 347–356 . Bibcode : 1981PhRvD..23..347G . doi : 10.1103/PhysRevD.23.347 .
↑ Cervantes-Cota, JL; Dehnen, H. (1995). "Inflación gravitacional inducida en la GUT SU(5)". Phys. Rev. D . 51 (2): 395– 404. arXiv : astro-ph/9412032 . Bibcode : 1995PhRvD..51..395C . doi : 10.1103/PhysRevD.51.395 . PMID 10018493 . S2CID 11077875 .

[1] Apostol, Tom (1969). Cálculo . Vol. II (2.ª ed.). Wiley.

[2] "Escalar" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[3] "Campo escalar" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[4] Técnicamente, los piones son en realidad ejemplos de mesones pseudoescalares , que no son invariantes bajo inversión espacial, pero sí son invariantes bajo transformaciones de Lorentz.

[5] PW Higgs (octubre de 1964). "Simetrías rotas y las masas de los bosones de gauge" . Phys. Rev. Lett . 13 (16): 508– 509. Bibcode : 1964PhRvL..13..508H . doi : 10.1103/PhysRevLett.13.508 .

[6] Jordania, P. (1955). Schwerkraft und Weltall . Braunschweig: Vieweg.

[7] Brans, C.; Dicke, R. (1961). "El principio de Mach y una teoría relativista de la gravitación". Phys. Rev. 124 ( 3): 925. Bibcode : 1961PhRv..124..925B . doi : 10.1103/PhysRev.124.925 .

[8] Zee, A. (1979). "Teoría de la gravedad con simetría rota". Phys. Rev. Lett . 42 (7): 417– 421. Bibcode : 1979PhRvL..42..417Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.42.417 .

[9] Dehnen, H.; Frommert, H.; Ghaboussi, F. (1992). "Campo de Higgs y una nueva teoría escalar-tensorial de la gravedad". Int. J. Theor. Phys . 31 (1): 109. Bibcode : 1992IJTP...31..109D . doi : 10.1007/BF00674344 . S2CID 121308053 .

[10] Dehnen, H.; Frommmert, H. (1991). "Gravedad del campo de Higgs dentro del modelo estándar". Int. J. Theor. Phys . 30 (7): 985–998 [p. 987]. Bibcode : 1991IJTP...30..985D . doi : 10.1007/BF00673991 . S2CID 120164928 .

[11] Brans, CH (2005). "Las raíces de la teoría escalar-tensorial". arXiv : gr-qc/0506063 .

[12] Guth, A. (1981). "Universo inflacionario: una posible solución a los problemas del horizonte y la planitud" . Phys. Rev. D. 23 ( 2): 347–356 . Bibcode : 1981PhRvD..23..347G . doi : 10.1103/PhysRevD.23.347 .

[13] Cervantes-Cota, JL; Dehnen, H. (1995). "Inflación gravitacional inducida en la GUT SU(5)". Phys. Rev. D . 51 (2): 395– 404. arXiv : astro-ph/9412032 . Bibcode : 1995PhRvD..51..395C . doi : 10.1103/PhysRevD.51.395 . PMID 10018493 . S2CID 11077875 .

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