tensor de Einstein

En geometría diferencial , el tensor de Einstein (llamado así en honor a Albert Einstein ; también conocido como tensor de Ricci de traza invertida ) se utiliza para expresar la curvatura de una variedad pseudoriemanniana . En relatividad general , aparece en las ecuaciones de campo de Einstein para la gravitación , que describen la curvatura del espaciotiempo de una manera consistente con la conservación de la energía y el momento.

El tensor de Einstein${\displaystyle {\boldsymbol {G}}}$es un tensor de orden 2 definido sobre variedades pseudoriemannianas . En notación sin índices se define como $${\displaystyle {\boldsymbol {G}}={\boldsymbol {R}}-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {g}}R,}$$ dónde${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$es el tensor de Ricci ,${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$es el tensor métrico y${\displaystyle R}$es la curvatura escalar , que se calcula como la traza del tensor de Ricci.${\displaystyle R_{\mu \nu }}$por​${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$En forma de componentes, la ecuación anterior se lee como $${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}$$

El tensor de Einstein es simétrico. $${\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }}$$ y, al igual que el tensor de energía-impulso en la capa de masas , tiene divergencia cero : $${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0\,.}$$

El tensor de Ricci depende únicamente del tensor métrico, por lo que el tensor de Einstein puede definirse directamente con solo el tensor métrico. Sin embargo, esta expresión es compleja y rara vez se cita en los libros de texto. La complejidad de esta expresión puede demostrarse utilizando la fórmula del tensor de Ricci en términos de símbolos de Christoffel : $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\\[2pt]G^{\alpha \beta }&=\left(g^{\alpha \gamma }g^{\beta \zeta }-{\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }}$es el tensor de Kronecker y el símbolo de Christoffel${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$se define como $${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }\left(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon }\right).}$$ y términos del formulario${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma ,\mu }^{\alpha }}$o${\displaystyle g_{\beta \gamma ,\mu }}$representan derivadas parciales en la dirección μ , por ejemplo:$${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma ,\mu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$$

Antes de las cancelaciones, esta fórmula da como resultado:${\displaystyle 2\times (6+6+9+9)=60}$condiciones individuales. Las cancelaciones reducen un poco esta cifra.

En el caso especial de un sistema de referencia localmente inercial cerca de un punto, las primeras derivadas del tensor métrico se anulan y la forma de componentes del tensor de Einstein se simplifica considerablemente: $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }\left[g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right)\right]\\&=g^{\gamma \mu }\left(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta }\right)\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right),\end{aligned}}}$$ donde los corchetes denotan convencionalmente la antisimetrización sobre los índices entre corchetes, es decir $${\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}\left(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon }\right).}$$

La traza del tensor de Einstein se puede calcular contrayendo la ecuación de la definición con el tensor métrico .${\displaystyle g^{\mu \nu }}$⁠ . En${\displaystyle n}$dimensiones (de signatura arbitraria): $${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, en el caso especial de${\displaystyle n=4}$dimensiones ,​${\displaystyle G=-R}$⁠ . Es decir, la traza del tensor de Einstein es el negativo de la traza del tensor de Ricci . Por lo tanto, otro nombre para el tensor de Einstein es el tensor de Ricci con traza invertida .${\displaystyle n=4}$Este caso es especialmente relevante en la teoría de la relatividad general .

El tensor de Einstein permite escribir las ecuaciones de campo de Einstein de forma concisa:$${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$$ dónde${\displaystyle \Lambda }$es la constante cosmológica y${\displaystyle \kappa }$es la constante gravitacional de Einstein .

A partir de la forma explícita del tensor de Einstein , este es una función no lineal del tensor métrico, pero lineal en las segundas derivadas parciales de la métrica. Como tensor simétrico de orden 2, el tensor de Einstein tiene 10 componentes independientes en un espacio de 4 dimensiones. Por lo tanto, las ecuaciones de campo de Einstein constituyen un conjunto de 10 ecuaciones diferenciales parciales cuasilineales de segundo orden para el tensor métrico.

Las identidades de Bianchi contraídas también pueden expresarse fácilmente con la ayuda del tensor de Einstein: $${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.}$$

Las identidades de Bianchi (contraídas) garantizan automáticamente la conservación covariante del tensor energía-impulso en espaciotiempos curvos: $${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0.}$$

La importancia física del tensor de Einstein se destaca mediante esta identidad. En términos del tensor de tensión densificado contraído en un vector de Killing ⁠${\displaystyle \xi ^{\mu }}$⁠ , una ley de conservación ordinaria sostiene: $${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\ T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu }\right)=0.}$$

David Lovelock ha demostrado que, en una variedad diferenciable de cuatro dimensiones , el tensor de Einstein es la única función tensorial y libre de divergencia de la${\displaystyle g_{\mu \nu }}$y como máximo sus primeras y segundas derivadas parciales. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Sin embargo, la ecuación de campo de Einstein no es la única ecuación que satisface las tres condiciones: ^{[ 6 ]}

1. Se asemeja a la ecuación gravitacional de Newton-Poisson, pero la generaliza.
2. Aplicar a todos los sistemas de coordenadas y
3. Garantizar la conservación covariante local de la energía-momento para cualquier tensor métrico.

Se han propuesto muchas teorías alternativas, como la teoría de Einstein-Cartan , que también satisfacen las condiciones anteriores.

• Identidades Bianchi contratadas
• Teorema de Vermeil
• Matemáticas de la relatividad general
• recursos de la relatividad general

• Ohanian, Hans C.; Remo Ruffini (1994). Gravitación y espacio-tiempo (Segunda  edición). WW Norton & Company . ISBN 978-0-393-96501-8.
• Martin, John Legat (1995). Relatividad general: Un primer curso para físicos . Prentice Hall International Series in Physics and Applied Physics (  Edición revisada). Prentice Hall . ISBN 978-0-13-291196-2.