Campo tensorial

En matemáticas y física , un campo tensorial es una función que asigna un tensor a cada punto de una región de un espacio matemático (típicamente un espacio euclidiano o una variedad ) o de un espacio físico , en cuyo caso la magnitud del campo adquiere una unidad de medida . Los campos tensoriales se utilizan en geometría diferencial , geometría algebraica , relatividad general , en el análisis de esfuerzos y deformaciones en objetos materiales y en numerosas aplicaciones en las ciencias físicas . Así como un tensor es una generalización de un escalar (un número puro que representa un valor, por ejemplo, la velocidad) y un vector (una magnitud y una dirección, como la velocidad), un campo tensorial es una generalización de un campo escalar y un campo vectorial que asigna, respectivamente, un escalar o un vector a cada punto del espacio. Si un tensor A se define en un conjunto de campos vectoriales X(M) sobre un módulo M , llamamos a A un campo tensorial en M. ^{[ 1 ]} Un campo tensorial, en el uso común, se suele denominar de forma abreviada "tensor". Por ejemplo, el tensor de curvatura de Riemann se refiere a un campo tensorial , ya que asocia un tensor a cada punto de una variedad riemanniana , un espacio topológico .

Dejar${\displaystyle M}$sea ​​una variedad , por ejemplo el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Definición. Un campo tensorial de tipo${\displaystyle (p,q)}$es una sección

$${\displaystyle T\ \in \ \Gamma (M,V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q})}$$

dónde${\displaystyle V=TM}$ser el fibrado tangente de${\displaystyle M}$(cuyas secciones se denominan campos vectoriales o campos vectoriales contravariantes en física) y${\displaystyle V^{*}=T^{*}M}$es su fibrado dual, el espacio cotangente (cuyas secciones se denominan 1 formas, o campos vectoriales covariantes en física), y${\displaystyle \otimes }$es el producto tensorial de haces vectoriales.

De forma equivalente, un campo tensorial es una colección de elementos.${\displaystyle T_{x}\in V_{x}^{\otimes p}\otimes (V_{x}^{*})^{\otimes q}}$por cada punto${\displaystyle x\in M}$, dónde${\displaystyle \otimes }$ahora denota el producto tensorial de espacios vectoriales, de tal manera que constituye una aplicación suave.${\displaystyle T:M\rightarrow V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q}}$Los elementos${\displaystyle T_{x}}$se llaman tensores .

Localmente en un vecindario coordinado${\displaystyle U}$con coordenadas${\displaystyle x^{1},\ldots x^{n}}$Tenemos una base local (Vielbein) de campos vectoriales.${\displaystyle \partial _{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\ldots \partial _{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}}$y una base dual de 1 formas${\displaystyle dx^{1},\ldots dx^{n}}$de modo que ${\displaystyle dx^{i}(\partial _{j})=\partial _{j}x^{i}=\delta _{j}^{i}}$En el vecindario de coordenadas${\displaystyle U}$Entonces tenemos $${\displaystyle T_{x}=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n})\partial _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{i_{p}}\otimes dx^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{j_{q}}}$$ donde aquí y más abajo usamos las convenciones de suma de Einstein. Tenga en cuenta que si elegimos un sistema de coordenadas diferente${\displaystyle y^{1}\ldots y^{n}}$entonces${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial y^{k}}}}$y${\displaystyle dx^{j}={\frac {\partial x^{j}}{\partial y^{\ell }}}dy^{\ell }}$donde las coordenadas${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$puede expresarse en coordenadas${\displaystyle (y^{1},\ldots y^{n}}$y viceversa, de modo que

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{x}&=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{i_{p}}}}\otimes dx^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{j_{q}}\\&=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial y^{k_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial y^{k_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial y^{\ell _{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial y^{\ell _{q}}}}{\frac {\partial }{\partial y^{k_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial y^{k_{p}}}}\otimes dy^{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes dy^{\ell _{q}}\\&=T_{\ell _{1},\cdots \ell _{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}(y^{1},\ldots y^{n}){\frac {\partial }{\partial y^{k_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial y^{k_{p}}}}\otimes dy^{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes dy^{\ell _{q}}\\\end{aligned}}}$$ es decir $${\displaystyle T_{\ell _{1},\cdots \ell _{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}(y^{1},\ldots y^{n})=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial y^{k_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial y^{k_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial y^{\ell _{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial y^{\ell _{q}}}}}$$ El sistema de funciones indexadas${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n})}$(un sistema para cada elección de sistema de coordenadas) conectados por transformaciones como las anteriores son los tensores en las definiciones siguientes.

Observación: En términos más generales, se puede tomar ${\displaystyle V}$ser cualquier paquete vectorial en${\displaystyle M}$, y${\displaystyle V^{*}}$su fibrado dual . En ese caso puede ser un espacio topológico más general. Estas secciones se denominan tensores de${\displaystyle V}$o tensores, para abreviar, si no hay posibilidad de confusión.

Intuitivamente, un campo vectorial se visualiza mejor como una "flecha" unida a cada punto de una región, con longitud y dirección variables. Un ejemplo de campo vectorial en un espacio curvo es un mapa meteorológico que muestra la velocidad del viento horizontal en cada punto de la superficie terrestre.

Ahora consideremos campos más complejos. Por ejemplo, si la variedad es riemanniana, entonces tiene un campo métrico.${\displaystyle g}$, de tal manera que dados cualesquiera dos vectores${\displaystyle v,w}$en el punto${\displaystyle x}$, su producto interno es${\displaystyle g_{x}(v,w)}$El campo${\displaystyle g}$Podría expresarse en forma matricial, pero depende de la elección de coordenadas. También podría expresarse como un elipsoide de radio 1 en cada punto, que no depende de coordenadas. Aplicada a la superficie terrestre, esta es la indicatriz de Tissot .

En general, queremos especificar los campos tensoriales de forma independiente de las coordenadas: deben existir independientemente de la latitud y la longitud, o de cualquier "proyección cartográfica" particular que estemos utilizando para introducir coordenadas numéricas.

Siguiendo a Schouten (1951) y McConnell (1957) , el concepto de tensor se basa en el concepto de marco de referencia (o sistema de coordenadas ), que puede ser fijo (en relación con algún marco de referencia de fondo), pero en general puede variar dentro de alguna clase de transformaciones de estos sistemas de coordenadas. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, coordenadas pertenecientes al espacio de coordenadas reales n -dimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$pueden estar sujetos a transformaciones afines arbitrarias :

${\displaystyle x^{k}\mapsto A_{j}^{k}x^{j}+a^{k}}$

(con índices n- dimensionales, suma implícita ). Un vector covariante, o covector, es un sistema de funciones${\displaystyle v_{k}}$que se transforma bajo esta transformación afín por la regla

${\displaystyle v_{k}\mapsto v_{i}A_{k}^{i}.}$

La lista de vectores base de coordenadas cartesianas${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$se transforma como un covector, ya que bajo la transformación afín${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\mapsto A_{k}^{i}\mathbf {e} _{i}}$Un vector contravariante es un sistema de funciones${\displaystyle v^{k}}$de las coordenadas que, bajo dicha transformación afín, experimenta una transformación

${\displaystyle v^{k}\mapsto (A^{-1})_{j}^{k}v^{j}.}$

Este es precisamente el requisito necesario para garantizar que la cantidad${\displaystyle v^{k}\mathbf {e} _{k}}$es un objeto invariante que no depende del sistema de coordenadas elegido. De manera más general, las coordenadas de un tensor de valencia ( p , q ) tienen p índices superiores y q índices inferiores, con la ley de transformación siendo

${\displaystyle {T^{i_{1}\cdots i_{p}}}_{j_{1}\cdots j_{q}}\mapsto A_{i'_{1}}^{i_{1}}\cdots A_{i'_{p}}^{i_{p}}{T^{i'_{1}\cdots i'_{p}}}_{j'_{1}\cdots j'_{q}}(A^{-1})_{j_{1}}^{j'_{1}}\cdots (A^{-1})_{j_{q}}^{j'_{q}}.}$

El concepto de campo tensorial se puede obtener especializando las transformaciones de coordenadas permitidas para que sean suaves (o diferenciables , analíticas , etc.). Un campo covectorial es una función${\displaystyle v_{k}}$de las coordenadas que se transforman mediante el jacobiano de las funciones de transición (en la clase dada). Asimismo, un campo vectorial contravariante${\displaystyle v^{k}}$transforma mediante el jacobiano inverso.

Un fibrado tensorial es un fibrado donde la fibra es un producto tensorial de cualquier número de copias del espacio tangente y/o del espacio cotangente del espacio base, que es una variedad. Como tal, la fibra es un espacio vectorial y el fibrado tensorial es un tipo especial de fibrado vectorial .

El fibrado vectorial es una idea natural de "espacio vectorial que depende de forma continua (o suave) de parámetros", siendo estos parámetros los puntos de una variedad M. Por ejemplo, un espacio vectorial de una dimensión que depende de un ángulo podría parecerse a una cinta de Möbius o, alternativamente, a un cilindro . Dado un fibrado vectorial V sobre M , el concepto de campo correspondiente se denomina sección del fibrado: para m que varía sobre M , una elección de vector

v _m en V _m ,

donde V _m es el espacio vectorial "en" m .

Dado que el concepto de producto tensorial es independiente de cualquier base elegida, calcular el producto tensorial de dos haces vectoriales sobre M es una tarea rutinaria. Partiendo del haz tangente (el haz de espacios tangentes ), todo el aparato explicado en el tratamiento de tensores sin componentes se aplica de forma rutinaria, también independientemente de las coordenadas, como se mencionó en la introducción.

Por lo tanto, podemos dar una definición de campo tensorial , a saber, como una sección de algún fibrado tensorial . (Hay fibrados vectoriales que no son fibrados tensoriales: la banda de Möbius, por ejemplo). Esto garantiza entonces un contenido geométrico, ya que todo se ha hecho de forma intrínseca. Más precisamente, un campo tensorial asigna a cualquier punto dado de la variedad un tensor en el espacio.

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*},}$

donde V es el espacio tangente en ese punto y V ^∗ es el espacio cotangente . Véase también fibrado tangente y fibrado cotangente .

Dados dos haces tensoriales E → M y F → M , una aplicación lineal A : Γ( E ) → Γ( F ) del espacio de secciones de E a secciones de F puede considerarse como una sección tensorial de${\displaystyle \scriptstyle E^{*}\otimes F}$Si y solo si satisface A ( fs ) = fA ( s ), para cada sección s en Γ( E ) y cada función suave f en M . Por lo tanto, una sección tensorial no es solo una aplicación lineal en el espacio vectorial de secciones, sino una aplicación lineal C ^∞ ( M ) en el módulo de secciones. Esta propiedad se utiliza para comprobar, por ejemplo, que aunque la derivada de Lie y la derivada covariante no son tensores, los tensores de torsión y curvatura construidos a partir de ellas sí lo son.

La notación para campos tensoriales a veces puede ser confusamente similar a la notación para espacios tensoriales. Por lo tanto, el fibrado tangente TM = T ( M ) a veces podría escribirse como

${\displaystyle T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM}$

para enfatizar que el fibrado tangente es el espacio imagen de los campos tensoriales (1,0) (es decir, campos vectoriales) en la variedad M. Esto no debe confundirse con la notación de aspecto muy similar.

${\displaystyle T_{0}^{1}(V)}$;

En este último caso, solo tenemos un espacio tensorial, mientras que en el primero, tenemos un espacio tensorial definido para cada punto de la variedad M.

A veces se utilizan letras rizadas (cursivas) para denotar el conjunto de campos tensoriales infinitamente diferenciables en M. Por lo tanto,

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)}$

son las secciones del fibrado tensorial ( m , n ) en M que son infinitamente diferenciables. Un campo tensorial es un elemento de este conjunto.

Hay otra forma más abstracta (pero a menudo útil) de caracterizar los campos tensoriales en una variedad M , que convierte los campos tensoriales en tensores honestos (es decir, aplicaciones multilineales únicas ), aunque de un tipo diferente (aunque esta no suele ser la razón por la que se suele decir "tensor" cuando en realidad se quiere decir "campo tensorial"). Primero, podemos considerar el conjunto de todos los campos vectoriales suaves ( ^C∞ ) en M ,${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M):={\mathcal {T}}_{0}^{1}(M)}$(véase la sección sobre notación anterior) como un único espacio: un módulo sobre el anillo de funciones suaves, C ^∞ ( M ), mediante multiplicación escalar puntual. Las nociones de multilinealidad y productos tensoriales se extienden fácilmente al caso de módulos sobre cualquier anillo conmutativo .

Como ejemplo motivador, considere el espacio${\displaystyle \Omega ^{1}(M)={\mathcal {T}}_{1}^{0}(M)}$de campos covectoriales suaves ( 1-formas ), también un módulo sobre las funciones suaves. Estos actúan sobre campos vectoriales suaves para producir funciones suaves mediante evaluación puntual, es decir, dado un campo covectorial ω y un campo vectorial X , definimos

${\displaystyle {\tilde {\omega }}(X)(p):=\omega (p)(X(p)).}$

Debido a la naturaleza puntual de todo lo involucrado, la acción de${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$en X es una aplicación lineal C ^∞ ( M ), es decir,

${\displaystyle {\tilde {\omega }}(fX)(p)=\omega (p)((fX)(p))=\omega (p)(f(p)X(p))=f(p)\omega (p)(X(p))=(f\omega )(p)(X(p))=(f{\tilde {\omega }})(X)(p)}$

para cualquier p en M y función suave f . Por lo tanto, podemos considerar los campos de covectores no solo como secciones del fibrado cotangente, sino también como aplicaciones lineales de campos vectoriales a funciones. Mediante la construcción doble-dual, los campos vectoriales pueden expresarse de manera similar como aplicaciones de campos de covectores a funciones (es decir, podríamos comenzar "de forma nativa" con campos de covectores y desarrollarlos a partir de ahí).

En un paralelismo completo con la construcción de tensores simples ordinarios (¡no campos tensoriales!) en M como aplicaciones multilineales en vectores y covectores, podemos considerar campos tensoriales generales ( k , l ) en M como aplicaciones ^{multilineales} C∞ ( M ) definidas en k copias de${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$y copias de${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$en C ^∞ ( M ).

Ahora bien, dado cualquier mapeo arbitrario T de un producto de k copias de${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$y copias de${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$en C ^∞ ( M ), resulta que surge de un campo tensorial en M si y solo si es multilineal sobre C ^∞ ( M ). Es decir, C ^∞ ( M )-módulo de campos tensoriales de tipo${\displaystyle (k,l)}$sobre M es canónicamente isomorfo al C ^∞ ( M )-módulo de C ^∞ ( M ) -formas multilineales

${\displaystyle \underbrace {\Omega ^{1}(M)\times \ldots \times \Omega ^{1}(M)} _{l\ \mathrm {times} }\times \underbrace {{\mathfrak {X}}(M)\times \ldots \times {\mathfrak {X}}(M)} _{k\ \mathrm {times} }\to C^{\infty }(M).}$^{[ 3 ]}

Este tipo de multilinealidad expresa implícitamente el hecho de que en realidad estamos tratando con un objeto definido punto por punto, es decir, un campo tensorial, en contraposición a una función que, incluso cuando se evalúa en un solo punto, depende simultáneamente de todos los valores de los campos vectoriales y las 1-formas.

Un ejemplo frecuente de aplicación de esta regla general es demostrar que la conexión de Levi-Civita , que es una aplicación de campos vectoriales suaves,${\displaystyle (X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y}$Al tomar un par de campos vectoriales en un campo vectorial, no se define un campo tensorial en M. Esto se debe a que solo es${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineal en Y [en lugar de la linealidad completa C ^∞ ( M ), satisface la regla de Leibniz,${\displaystyle \nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y}$]. Sin embargo, cabe destacar que, aunque no sea un campo tensorial, sigue calificando como un objeto geométrico con una interpretación libre de componentes.

El tensor de curvatura se estudia en geometría diferencial y el tensor de energía-impulso es importante en física, y estos dos tensores están relacionados por la teoría de la relatividad general de Einstein .

En electromagnetismo , los campos eléctrico y magnético se combinan para formar un campo tensorial electromagnético .

Las formas diferenciales , utilizadas para definir la integración en variedades, son un tipo de campo tensorial.

En física teórica y otros campos, las ecuaciones diferenciales planteadas en términos de campos tensoriales proporcionan una forma muy general de expresar relaciones que son tanto geométricas por naturaleza (garantizadas por la naturaleza tensorial) como convencionalmente vinculadas al cálculo diferencial . Incluso para formular tales ecuaciones se requiere una noción nueva: la derivada covariante . Esta maneja la formulación de la variación de un campo tensorial a lo largo de un campo vectorial . La noción original de cálculo diferencial absoluto , que más tarde se denominó cálculo tensorial , condujo al aislamiento del concepto geométrico de conexión .

Una extensión de la idea del campo tensorial incorpora un fibrado lineal adicional L sobre M. Si W es el fibrado producto tensorial de V con L , entonces W es un fibrado de espacios vectoriales de la misma dimensión que V. Esto permite definir el concepto de densidad tensorial , un tipo de campo tensorial "retorcido". Una densidad tensorial es el caso especial en el que L es el fibrado de densidades sobre una variedad , concretamente el fibrado determinante del fibrado cotangente . (Para mayor precisión, también se debería aplicar el valor absoluto a las funciones de transición ; esto apenas influye en una variedad orientable ). Para una explicación más tradicional, véase el artículo sobre densidad tensorial .

Una característica del haz de densidades (asumiendo nuevamente la orientabilidad) L es que L ^s está bien definido para valores reales de s ; esto se puede leer a partir de las funciones de transición, que toman valores reales estrictamente positivos. Esto significa , por ejemplo , que podemos tomar una media densidad , el caso donde s = 1/2 . En general , podemos tomar secciones de W , el producto tensorial de V con L ^s , y considerar campos de densidad tensorial con peso s .

Las semidensidades se aplican en áreas como la definición de operadores integrales en variedades y la cuantización geométrica .

Cuando M es un espacio euclidiano y se supone que todos los campos son invariantes ante traslaciones realizadas por los vectores de M , volvemos a una situación en la que un campo tensorial es sinónimo de un tensor «en el origen». Esto no supone un gran inconveniente y se utiliza con frecuencia en aplicaciones. Sin embargo, aplicado a las densidades tensoriales, sí que marca la diferencia. El fibrado de densidades no puede definirse con precisión «en un punto»; por lo tanto, una limitación del tratamiento matemático contemporáneo de los tensores es que las densidades tensoriales se definen de forma indirecta.

Como explicación avanzada del concepto de tensor , se puede interpretar la regla de la cadena en el caso multivariable, aplicada a cambios de coordenadas, también como el requisito para conceptos autoconsistentes de tensor que dan lugar a campos tensoriales.

En abstracto, podemos identificar la regla de la cadena como un 1- cociclo . Esta regla proporciona la consistencia necesaria para definir el fibrado tangente de forma intrínseca. Los demás fibrados vectoriales de tensores poseen cociclos comparables, que surgen de la aplicación de propiedades functoriales de las construcciones tensoriales a la propia regla de la cadena; por ello, también son conceptos intrínsecos (es decir, «naturales»).

Lo que se suele denominar el enfoque «clásico» de los tensores intenta interpretar esto a la inversa, y por lo tanto es un enfoque heurístico y a posteriori , más que un enfoque verdaderamente fundamental. Implícita en la definición de tensores por cómo se transforman bajo un cambio de coordenadas está la clase de autoconsistencia que expresa el cociclo. La construcción de densidades tensoriales es una «torsión» a nivel del cociclo. Los geómetras no han dudado jamás de la naturaleza geométrica de las cantidades tensoriales ; este tipo de argumento de descenso justifica abstractamente toda la teoría.

• Bitensor : objeto tensorial que depende de dos puntos en una variedad. 
• Paquete de jets : construcción en topología diferencial 
• Cálculo de Ricci : notación de índices tensoriales para cálculos basados ​​en tensores. 
• Campo espinorial – Estructura geométrica Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento 

• O'Neill, Barrett (1983). Geometría semiriemanniana con aplicaciones a la relatividad . Elsevier Science. ISBN 9780080570570.
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