Bitensor

En geometría diferencial y relatividad general , un bitensor (o bi-tensor ^{[ 1 ]} ) es un objeto tensorial que depende de dos puntos en una variedad , a diferencia de los tensores ordinarios que dependen de un solo punto. ^{[ 2 ]} Los bitensores proporcionan un marco para describir las relaciones entre diferentes puntos en el espaciotiempo y se utilizan en el estudio de diversos fenómenos en el espaciotiempo curvo .

Un bitensor es un objeto tensorial que depende de dos puntos en una variedad, en lugar de un solo punto como lo hacen los tensores ordinarios. ^{[ 3 ]} Un campo bitensor${\displaystyle B}$se puede definir formalmente como una aplicación de la variedad producto a un espacio vectorial apropiado${\displaystyle B:M\times M\to V}$, dónde${\displaystyle M}$es un colector liso y${\displaystyle V}$es el espacio vectorial correspondiente al espacio tensorial que se está considerando. ^{[ 3 ] [ 2 ]}

En el lenguaje de los haces de fibras , un bitensor de tipo${\displaystyle (r,s,r',s')}$se define como una sección del haz de productos tensoriales exteriores${\displaystyle T_{s}^{r}M\boxtimes T_{s'}^{r'}M}$, dónde${\displaystyle T_{s}^{r}M}$denota el fibrado tensorial de rango${\displaystyle (r,s)}$y${\displaystyle \boxtimes }$representa el producto tensorial exterior${\displaystyle B\in \Gamma (T_{s}^{r}M\boxtimes T_{s'}^{r'}M)}$, dónde${\displaystyle \Gamma }$denota el espacio de secciones. ^{[ 3 ]}

El paquete de productos tensoriales exteriores se construye como${\displaystyle {\mathcal {V}}_{1}\boxtimes {\mathcal {V}}_{2}=\mathrm {pr} _{1}^{*}{\mathcal {V}}_{1}\otimes \mathrm {pr} _{2}^{*}{\mathcal {V}}_{2}}$dónde${\displaystyle \mathrm {pr} _ {i}}$son operadores de proyección que proyectan sobre los factores respectivos de la variedad de productos.${\displaystyle M\times M}$, y${\displaystyle \mathrm {pr} _ {i}^{*}}$denota el retroceso de los respectivos haces. ^{[ 3 ]}

En notación de coordenadas, un bitensor${\displaystyle T}$con componentes${\displaystyle T_{\alpha \beta '\ldots }^{\mu \nu '\ldots }(x,y)}$tiene índices asociados con dos puntos diferentes${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en la variedad. Por convención, los índices sin prima (como${\displaystyle \mu }$,${\displaystyle \alpha }$) se refieren al primer punto, mientras que los índices primados (como${\displaystyle \nu '}$,${\displaystyle \beta '}$) refiérase al segundo punto. El ejemplo más simple de un bitensor es un campo biscalar , que es una función escalar de dos puntos. Las aplicaciones incluyen el transporte paralelo , los núcleos de calor y varias funciones de Green empleadas en la teoría cuántica de campos en el espaciotiempo curvo. ^{[ 3 ] [ 2 ]}

El concepto de bitensores fue desarrollado formalmente por primera vez por el matemático Harold Stanley Ruse en su artículo de 1931 , «Un cálculo diferencial parcial absoluto» , publicado en el Quarterly Journal of Mathematics . Ruse introdujo los bitensores como una generalización del cálculo tensorial a funciones de dos conjuntos de variables, estableciendo una analogía con la diferenciación parcial en el cálculo elemental . Desarrolló el formalismo para las transformaciones bitensoriales, las derivadas covariantes y las conexiones escalares, sentando las bases de lo que denominó un «cálculo diferencial parcial absoluto». ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• Transporte paralelo
• Obstáculo
• Propagador
• tensor de curvatura de Riemann
• flujo de Stokes
• Función mundial de Synge