Calentar el núcleo

En el estudio matemático de la conducción y difusión del calor , un núcleo de calor es la solución fundamental de la ecuación del calor en un dominio específico con condiciones de contorno apropiadas . También es una de las principales herramientas en el estudio del espectro del operador de Laplace y, por lo tanto, tiene cierta importancia auxiliar en toda la física matemática . El núcleo de calor representa la evolución de la temperatura en una región cuyo límite se mantiene fijo a una temperatura particular (normalmente cero), de modo que una unidad inicial de energía térmica se coloca en un punto en el tiempo t = 0 .

El núcleo de calor más conocido es el núcleo de calor del espacio euclidiano d -dimensional R ^d , que tiene la forma de una función gaussiana variable en el tiempo , que está definida para todos y . Esto resuelve la ecuación del calor donde δ es una distribución delta de Dirac y el límite se toma en el sentido de distribuciones , es decir, para cada función suave ϕ de soporte compacto , tenemos $${\displaystyle K(t,x,y)=\exp \left(t\Delta \right)(x,y)={\frac {1}{\left(4\pi t\right)^{d/2}}}e^{-\|xy\|^{2}/4t}}$$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle t>0}$$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)\\&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta (xy)=\delta _{x}(y)\end{aligned}}\right.}$$$${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(t,x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x).}$$

En un dominio más general Ω en R ^d , una fórmula explícita de este tipo no es generalmente posible. Los siguientes casos más simples de un disco o cuadrado involucran, respectivamente, funciones de Bessel y funciones theta de Jacobi . Sin embargo, el núcleo de calor todavía existe y es suave para t > 0 en dominios arbitrarios y de hecho en cualquier variedad de Riemann con borde , siempre que el borde sea suficientemente regular. Más precisamente, en estos dominios más generales, el núcleo de calor es la solución del problema de valor de borde inicial $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)&\quad {\text{ para todos }}t>0{\text{ y }}x,y\in \Omega \\[6pt]&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta _{x}(y)&{\text{ para todos }}x,y\in \Omega \qquad \qquad \,\\[6pt]&K(t,x,y)=0,&x\in \partial \Omega {\text{ o }}y\in \partial \Omega \qquad \,\,\,\,.\end{aligned}}\right.}$$

No es difícil derivar una expresión formal para el núcleo de calor en un dominio arbitrario. Consideremos el problema de Dirichlet en un dominio conexo (o variedad con frontera) U . Sean λ _n los valores propios para el problema de Dirichlet del Laplaciano Sea ϕ _n las funciones propias asociadas , normalizadas para ser ortonormales en L ² ( U ) . El Laplaciano de Dirichlet inverso Δ ⁻¹ es un operador compacto y autoadjunto , y por lo tanto el teorema espectral implica que los valores propios de Δ satisfacen El núcleo de calor tiene la siguiente expresión: $${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\Delta \phi +\lambda \phi =0&{\text{en }}U\\\phi =0&{\text{en }}\ \U parcial.\end{array}}\right.}$$$${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \lambda _{3}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty .}$$

La diferenciación formal de la serie bajo el signo de la sumatoria muestra que esto debería satisfacer la ecuación del calor. Sin embargo, la convergencia y la regularidad de la serie son bastante delicadas.

El núcleo de calor también se identifica a veces con la transformada integral asociada , definida para ϕ suave y compactamente soportada por El teorema de mapeo espectral da una representación de T en la forma $${\displaystyle T\phi =\int _{\Omega }K(t,x,y)\phi (y)\,dy.}$$$${\displaystyle T=e^{t\Delta}.}$$

Hay varios resultados geométricos sobre núcleos de calor en variedades; por ejemplo, asintóticos de tiempo corto, asintóticos de tiempo largo y límites superior/inferior de tipo gaussiano.

• Firma del núcleo de calor
• Función Minakshisundaram-Pleijel zeta
• Núcleo de Mehler
• Transformada de Weierstrass § Generalizaciones