Firma del núcleo de calor

Una firma de núcleo de calor (HKS) es un descriptor de características que se utiliza en el análisis de formas deformables y pertenece al grupo de métodos de análisis de formas espectrales . Para cada punto de la forma, HKS define su vector de características que representa las propiedades geométricas locales y globales del punto. Las aplicaciones incluyen segmentación, clasificación, descubrimiento de estructuras, correspondencia de formas y recuperación de formas.

HKS fue introducido en 2009 por Jian Sun, Maks Ovsjanikov y Leonidas Guibas . ^[1] Se basa en el núcleo de calor , que es una solución fundamental para la ecuación de calor . HKS es uno de los muchos descriptores de forma introducidos recientemente que se basan en el operador de Laplace-Beltrami asociado con la forma. ^[2]

El análisis de formas es el campo del análisis digital automático de formas, por ejemplo, objetos 3D. Para muchas tareas de análisis de formas (como la búsqueda/recuperación de formas), se utilizan vectores de características para ciertos puntos clave en lugar de utilizar el modelo 3D completo de la forma. Un requisito importante de dichos descriptores de características es que sean invariantes bajo ciertas transformaciones. Para las transformaciones rígidas , los descriptores de características comúnmente utilizados incluyen contexto de forma , imágenes de espín, descriptores de volumen integral y características locales multiescala, entre otros. ^[2] HKS permite transformaciones isométricas que generalizan las transformaciones rígidas.

HKS se basa en el concepto de difusión de calor sobre una superficie. Dada una distribución de calor inicial sobre la superficie, el núcleo de calor relaciona la cantidad de calor transferido desde hasta después del tiempo . El núcleo de calor es invariante bajo transformaciones isométricas y estable bajo pequeñas perturbaciones a la isometría. ^[1] Además, el núcleo de calor caracteriza completamente las formas hasta una isometría y representa propiedades cada vez más globales de la forma a medida que aumenta el tiempo. ^[3] Dado que se define para un par de puntos sobre un dominio temporal, usar núcleos de calor directamente como características conduciría a una alta complejidad. HKS, en cambio, se restringe solo al dominio temporal al considerar solo . HKS hereda la mayoría de las propiedades de los núcleos de calor bajo ciertas condiciones. ^[1]${\displaystyle u_{0}(x)}$$Estilo de visualización h_{t}(x,y)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización t}$$Estilo de visualización h_{t}(x,y)}$$estilo de visualización h_{t}(x,x)}$

La ecuación de difusión de calor sobre una variedad riemanniana compacta (posiblemente con un límite) está dada por, ${\estilo de visualización M}$

${\displaystyle \left(\Delta -{\frac {\parcial }{\parcial t}}\right)u(x,t)=0}$

donde es el operador de Laplace-Beltrami y es la distribución de calor en un punto en el tiempo . La solución de esta ecuación se puede expresar como, ^[1]${\estilo de visualización \Delta}$${\displaystyle u(x,t)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización t}$

${\displaystyle u(x,t)=\int h_{t}(x,y)u_{0}(y)dy.}$

La descomposición propia del núcleo de calor se expresa como,

${\displaystyle h_{t}(x,y)=\sum _{i=0}^{\infty }\exp(-\lambda _{i}t)\phi _{i}(x)\phi _{i}(y)}$

donde y son el valor propio y la función propia de . El núcleo de calor caracteriza completamente una superficie hasta una isometría: Para cualquier mapa sobreyectivo entre dos variedades de Riemann y , si entonces es una isometría, y viceversa. ^[1] Para un descriptor de características conciso, HKS restringe el núcleo de calor solo al dominio temporal, ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle i^{ésimo}}$${\estilo de visualización \Delta}$ ${\displaystyle T:M\rightarrow N}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$${\displaystyle h_{t}(x,y)=h_{t}(T(x),T(y))}$${\estilo de visualización T}$

${\displaystyle h_{t}(x,x)=\sum _{i=0}^{\infty }\exp(-\lambda _{i}t)\phi _{i}^{2}(x).}$

El HKS, de forma similar al núcleo de calor, caracteriza las superficies bajo la condición de que los valores propios de y no se repitan. Los términos pueden intuirse como un banco de filtros de paso bajo, con determinación de las frecuencias de corte. ^[2]${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización N}$${\displaystyle \exp(-\lambda _{i}t)}$${\displaystyle \lambda _{i}}$

Dado que , en general, es una función continua no paramétrica, en la práctica HKS se representa como una secuencia discreta de valores muestreados en los momentos . $estilo de visualización h_{t}(x,x)}$${\displaystyle \{h_{t_{1}}(x,x),\ldots ,h_{t_{n}}(x,x)\}}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$

En la mayoría de las aplicaciones, no se conoce la variedad subyacente de un objeto. La HKS se puede calcular si se dispone de una representación en malla de la variedad, utilizando una aproximación discreta y el análogo discreto de la ecuación del calor. En el caso discreto, el operador de Laplace-Beltrami es una matriz dispersa y se puede escribir como ^{[1] .}${\estilo de visualización \Delta}$

$Estilo de visualización L=A^{-1}W}$

donde es una matriz diagonal positiva con entradas correspondientes al área de los triángulos en la malla que comparten el vértice , y es una matriz de ponderación semidefinida simétrica. se puede descomponer en , donde es una matriz diagonal de los valores propios de ordenados en orden ascendente, y es la matriz con los vectores propios ortonormales correspondientes. El núcleo de calor discreto es la matriz dada por, ${\estilo de visualización A}$${\displaystyle A(i,i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle W}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L=\Phi \Lambda \Phi ^{T}A}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle K_{t}=\Phi \exp(-t\Lambda )\Phi ^{T}.}$

Los elementos representan la difusión de calor entre vértices y después del tiempo . La HKS se obtiene entonces mediante las entradas diagonales de esta matriz, muestreadas en intervalos de tiempo discretos. De manera similar al caso continuo, la HKS discreta es robusta al ruido. ^[1]${\displaystyle k_{t}(i,j)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle t}$

La propiedad principal que caracteriza a las superficies que utilizan HKS hasta una isometría se cumple únicamente cuando los valores propios de las superficies no se repiten. Existen ciertas superficies (especialmente aquellas con simetría) en las que se viola esta condición. Una esfera es un ejemplo simple de una superficie de este tipo.

El parámetro de tiempo en el HKS está estrechamente relacionado con la escala de la información global. Sin embargo, no existe una forma directa de elegir la discretización del tiempo. El método existente elige muestras de tiempo de forma logarítmica, lo que es una heurística sin garantías ^[4].

El núcleo de calor discreto requiere la descomposición propia de una matriz de tamaño , donde es el número de vértices en la representación de malla de la variedad. Calcular la descomposición propia es una operación costosa, especialmente a medida que aumenta. Sin embargo, tenga en cuenta que debido a la dependencia exponencial inversa del valor propio, normalmente solo un pequeño vector propio (menos de 100) es suficiente para obtener una buena aproximación del HKS. ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Las garantías de rendimiento de HKS solo son válidas para transformaciones verdaderamente isométricas. Sin embargo, las deformaciones de formas reales a menudo no son isométricas. Un ejemplo sencillo de este tipo de transformación es el cierre del puño por parte de una persona, en el que cambian las distancias geodésicas entre dos dedos.

Fuente: ^[2]

La HKS (continua) en un punto , en la variedad de Riemann está relacionada con la curvatura escalar por, ${\displaystyle x}$${\displaystyle h_{t}(x,x)}$ ${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle h_{t}(x,x)={\frac {1}{4\pi t}}+{\frac {s(x)}{12\pi }}+O(t).}$

Por lo tanto, HKS puede interpretarse como la curvatura de a escala . ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

La WKS ^[4] sigue una idea similar a la HKS, reemplazando la ecuación de calor con la ecuación de onda de Schrödinger ,

${\displaystyle \left(i\Delta +{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\psi (x,t)=0}$

donde es la función de onda compleja. La probabilidad media de medir la partícula en un punto está dada por, ${\displaystyle \psi (x,t)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f^{2}(\lambda _{i})\phi _{i}^{2}(x)}$

donde es la distribución de energía inicial. Al fijar una familia de estas distribuciones de energía , el WKS se puede obtener como una secuencia discreta . A diferencia del HKS, el WKS se puede intuir como un conjunto de filtros de paso de banda que conducen a una mejor localización de características. Sin embargo, el WKS no representa bien las características a gran escala (ya que se filtran ), lo que produce un rendimiento deficiente en aplicaciones de coincidencia de formas. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{i}(x)}$${\displaystyle \{p_{f_{1}}(x),\ldots ,p_{f_{n}}(x)\}}$

De manera similar al HKS, el GPS ^[5] se basa en el operador de Laplace-Beltrami. El GPS en un punto es un vector de funciones propias escaladas del operador de Laplace-Beltrami calculado en . El GPS es una característica global, mientras que la escala del HKS se puede variar variando el parámetro de tiempo para la difusión del calor. Por lo tanto, el HKS se puede utilizar en aplicaciones de coincidencia de forma parcial, mientras que el GPS no. ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

SGWS ^[6] proporciona una forma general para los descriptores espectrales , donde se puede obtener HKS especificando la función de filtro. SGWS es un descriptor local multirresolución que no solo es invariante isométricamente, sino también compacto, fácil de calcular y combina las ventajas de los filtros de paso de banda y de paso bajo.

Aunque la HKS representa la forma en múltiples escalas, no es inherentemente invariable en cuanto a la escala. Por ejemplo, la HKS para una forma y su versión escalada no son las mismas sin una normalización previa. Una forma sencilla de garantizar la invariancia de la escala es preescalar cada forma para que tenga la misma área de superficie (por ejemplo, 1). Usando la notación anterior, esto significa:

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\sum _{j}A_{j}\\A&=A/s\\\lambda _{i}&=s\lambda _{i}{\text{ for each }}i\\\phi _{i}&={\sqrt {s}}\phi _{i}{\text{ for each }}i\\\end{aligned}}}$

Como alternativa, también se puede construir una versión invariante de la escala de la HKS generando una representación en el espacio de escala . ^[7] En el espacio de escala, la HKS de una forma escalada corresponde a una traslación hasta un factor multiplicativo. La transformada de Fourier de esta HKS cambia la traslación temporal al plano complejo, y la dependencia de la traslación se puede eliminar considerando el módulo de la transformada. Demostración de la HKS invariante de escala en YouTube . Se puede establecer una HKS invariante de escala alternativa calculando su construcción a través de una métrica invariante de escala, como se define en. ^[8]

La HKS se define para una superficie límite de una forma 3D, representada como una variedad riemanniana 2D. En lugar de considerar solo el límite, se puede considerar todo el volumen de la forma 3D para definir la versión volumétrica de la HKS. ^[9] La HKS volumétrica se define de manera análoga a la HKS normal considerando la ecuación de calor sobre todo el volumen (como una variedad de 3 subvariedades) y definiendo una condición límite de Neumann sobre el límite de 2 variedades de la forma. La HKS volumétrica caracteriza las transformaciones hasta una isometría de volumen, que representa la transformación para objetos 3D reales de manera más fiel que la isometría de límite. ^[9]

Las características HKS invariantes en escala se pueden utilizar en el modelo de bolsa de características para aplicaciones de recuperación de formas. ^[10] Las características se utilizan para construir palabras geométricas teniendo en cuenta sus relaciones espaciales, a partir de las cuales se pueden construir formas (de forma análoga a utilizar características como palabras y formas como oraciones). Las formas en sí mismas se representan utilizando códigos binarios compactos para formar una colección indexada. Dada una forma de consulta, se pueden recuperar formas similares en el índice con posibles transformaciones isométricas utilizando la distancia de Hamming del código como medida de proximidad.