Análisis de la forma espectral

El análisis espectral de formas se basa en el espectro ( autovalores y/o autofunciones ) del operador de Laplace-Beltrami para comparar y analizar formas geométricas. Dado que el espectro del operador de Laplace-Beltrami es invariante bajo isometrías , resulta idóneo para el análisis o la recuperación de formas no rígidas, es decir, objetos flexibles como personas, animales, plantas, etc.

El operador de Laplace-Beltrami interviene en muchas ecuaciones diferenciales importantes, como la ecuación del calor y la ecuación de ondas . Se puede definir en una variedad riemanniana como la divergencia del gradiente de una función de valor real f :

${\displaystyle \Delta f:=\operatorname {div} \operatorname {grad} f.}$

Sus componentes espectrales se pueden calcular resolviendo la ecuación de Helmholtz (o el problema de valores propios del laplaciano):

${\displaystyle \Delta \varphi _{i}+\lambda _{i}\varphi _{i}=0.}$

Las soluciones son las autofunciones.${\displaystyle \varphi _{i}}$(modos) y valores propios correspondientes${\displaystyle \lambda _{i}}$, que representa una secuencia divergente de números reales positivos . El primer valor propio es cero para dominios cerrados o cuando se utiliza la condición de contorno de Neumann . Para algunas formas, el espectro se puede calcular analíticamente (por ejemplo, rectángulo, toro plano, cilindro, disco o esfera). Para la esfera, por ejemplo, las funciones propias son los armónicos esféricos .

Las propiedades más importantes de los autovalores y autofunciones son su invariancia isométrica. En otras palabras, si la forma no se estira (por ejemplo, una hoja de papel doblada en la tercera dimensión), los valores espectrales no cambiarán. Los objetos flexibles, como animales, plantas y humanos, pueden adoptar diferentes posturas corporales con un estiramiento mínimo en las articulaciones. Las formas resultantes se denominan casi isométricas y pueden compararse mediante el análisis espectral de formas.

Las figuras geométricas suelen representarse como superficies curvas bidimensionales, mallas de superficie bidimensionales (generalmente triangulares ) u objetos sólidos tridimensionales (por ejemplo, mediante mallas de vóxeles o tetraedros ). La ecuación de Helmholtz se puede resolver para todos estos casos. Si existe un límite, como un cuadrado, o el volumen de cualquier figura geométrica tridimensional, es necesario especificar las condiciones de contorno.

Existen varias discretizaciones del operador de Laplace (véase Operador de Laplace discreto ) para los diferentes tipos de representaciones geométricas. Muchos de estos operadores no se aproximan bien al operador continuo subyacente.

La descomposición espectral del laplaciano del grafo asociado a formas complejas (véase Operador de Laplace discreto ) proporciona autofunciones (modos) que son invariantes a las isometrías. Cada vértice de la forma puede representarse de forma única mediante una combinación de los valores automodales en cada punto, a veces denominados coordenadas espectrales:

${\displaystyle s(x)=(\varphi _{1}(x),\varphi _{2}(x),\ldots ,\varphi _{N}(x)){\text{ para el vértice }}x.}$

La correspondencia espectral consiste en establecer correspondencias de puntos emparejando vértices de diferentes formas que tengan las coordenadas espectrales más similares. Los primeros trabajos ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} se centraron en correspondencias dispersas para estereoscopía. La eficiencia computacional actual permite correspondencias densas en mallas completas, por ejemplo, entre superficies corticales. ^{[ 14 ]} La correspondencia espectral también podría utilizarse para el registro de imágenes no rígidas complejas , que es particularmente difícil cuando las imágenes tienen deformaciones muy grandes. ^{[ 15 ]} Estos métodos de registro de imágenes basados ​​en valores espectrales de modales propios capturan características de forma globales y contrastan con los métodos convencionales de registro de imágenes no rígidas que a menudo se basan en características de forma locales (por ejemplo, gradientes de imagen).