Conexión (matemáticas)

En geometría , la noción de conexión precisa la idea de transportar objetos geométricos locales, como vectores tangentes o tensores en el espacio tangente , a lo largo de una curva o familia de curvas de manera paralela y consistente. Existen diversos tipos de conexiones en la geometría moderna, según el tipo de datos que se deseen transportar. Por ejemplo, una conexión afín , el tipo más elemental, proporciona un medio para el transporte paralelo de vectores tangentes en una variedad de un punto a otro a lo largo de una curva. Una conexión afín se suele expresar en forma de derivada covariante , que permite calcular derivadas direccionales de campos vectoriales, midiendo la desviación de un campo vectorial respecto a su paralelismo en una dirección dada.

Las conexiones son de vital importancia en la geometría moderna, principalmente porque permiten comparar la geometría local en un punto con la geometría local en otro. La geometría diferencial abarca diversas variaciones sobre el tema de las conexiones, que se dividen en dos grandes grupos: la teoría infinitesimal y la teoría local. La teoría local se ocupa principalmente de las nociones de transporte paralelo y holonomía . La teoría infinitesimal se ocupa de la diferenciación de datos geométricos. Así, una derivada covariante es una forma de especificar la derivada de un campo vectorial a lo largo de otro campo vectorial en una variedad. Una conexión de Cartan es una forma de formular algunos aspectos de la teoría de conexiones utilizando formas diferenciales y grupos de Lie . Una conexión de Ehresmann es una conexión en un fibrado o un fibrado principal que especifica las direcciones de movimiento permitidas del campo. Una conexión de Koszul es una conexión que define la derivada direccional para secciones de un fibrado vectorial más general que el fibrado tangente.

Las conexiones también conducen a formulaciones convenientes de invariantes geométricos , como la curvatura (véase también tensor de curvatura y forma de curvatura ) y el tensor de torsión .

Consideremos el siguiente problema. Supongamos que se nos da un vector tangente a la esfera S en el polo norte, y que debemos definir una manera de mover consistentemente este vector a otros puntos de la esfera: un medio de transporte paralelo . Ingenuamente, esto podría hacerse utilizando un sistema de coordenadas particular . Sin embargo, a menos que se apliquen las precauciones adecuadas, el transporte paralelo definido en un sistema de coordenadas no coincidirá con el de otro sistema de coordenadas. Un sistema de transporte paralelo más apropiado aprovecha la simetría de la esfera bajo rotación. Dado un vector en el polo norte, se puede transportar este vector a lo largo de una curva rotando la esfera de tal manera que el polo norte se mueva a lo largo de la curva sin rodar axialmente. Este último medio de transporte paralelo es la conexión de Levi-Civita en la esfera. Si se nos dan dos curvas diferentes con el mismo punto inicial y final, y un vector v se mueve rígidamente a lo largo de la primera curva mediante una rotación, el vector resultante en el punto final será diferente del vector resultante de mover rígidamente v a lo largo de la segunda curva. Este fenómeno refleja la curvatura de la esfera. Un dispositivo mecánico sencillo que puede utilizarse para visualizar el transporte paralelo es el carro que apunta hacia el sur .

Por ejemplo, supongamos que S es una esfera cuyas coordenadas están dadas por la proyección estereográfica . Consideremos que S consta de vectores unitarios en R³ . Entonces S contiene un par de parches de coordenadas que corresponden a las proyecciones desde ^el polo norte y el polo sur. Las aplicaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\\[8pt]\varphi _{1}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

cubra un vecindario U ₀ del polo norte y U ₁ del polo sur, respectivamente. Sean X , Y , Z las coordenadas ambientales en R ³ . Entonces φ ₀ y φ ₁ tienen inversos

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {X}{Z+1}},{\frac {Y}{Z+1}}\right),\\[8pt]\varphi _{1}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {-X}{Z-1}},{\frac {-Y}{Z-1}}\right),\end{aligned}}}$

de modo que la función de transición de coordenadas sea una inversión en el círculo :

${\displaystyle \varphi _{01}(x,y)=\varphi _{0}^{-1}\circ \varphi _{1}(x,y)=\left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)}$

Representemos ahora un campo vectorial${\displaystyle v}$en S (una asignación de un vector tangente a cada punto en S) en coordenadas locales. Si P es un punto de U ₀ ⊂ S , entonces un campo vectorial puede representarse mediante el avance de un campo vectorial v ₀ en R ² por${\displaystyle \varphi _{0}}$:

dónde${\ Displaystyle J _ {\ varphi _ {0}}}$denota la matriz jacobiana de φ ₀ (${\displaystyle d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }}$), y v ₀  = v ₀ ( x , y ) es un campo vectorial en R ² determinado unívocamente por v (ya que la propagación hacia adelante de un difeomorfismo local en cualquier punto es invertible). Además, en la superposición entre las cartas de coordenadas U ₀ ∩ U ₁ , es posible representar el mismo campo vectorial con respecto a las coordenadas φ ₁ :  

Para relacionar los componentes v ₀ y v ₁ , aplique la regla de la cadena a la identidad φ ₁ = φ ₀ o φ ₀₁ :

${\displaystyle J_{\varphi _{1}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).}$

Aplicando ambos lados de esta ecuación matricial al vector componente v ₁ (φ ₁ ⁻¹ ( P )) e invocando ( 1 ) y ( 2 ) se obtiene

Llegamos ahora a la cuestión principal de cómo definir el transporte paralelo de un campo vectorial a lo largo de una curva. Supongamos que P ( t ) es una curva en S. Ingenuamente, se podría considerar que un campo vectorial es paralelo si sus componentes de coordenadas son constantes a lo largo de la curva. Sin embargo, surge una ambigüedad inmediata: ¿en qué sistema de coordenadas deben ser constantes estas componentes?

Por ejemplo, supongamos que v ( P ( t )) tiene componentes constantes en el sistema de coordenadas U _1. Es decir, las funciones v ₁ ( φ ₁ ^{− 1} ( P ( t ))) son constantes. Sin embargo, aplicando la regla del producto a ( 3 ) y usando el hecho de que d v ₁ / dt = 0 se obtiene

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P(t))\right)=\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}\left(P(t)\right)\right).}$

Pero${\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)}$siempre es una matriz no singular (siempre que la curva P ( t ) no sea estacionaria), por lo que v ₁ y v ₀ nunca pueden ser simultáneamente constantes a lo largo de la curva.

Históricamente, las conexiones se estudiaban desde una perspectiva infinitesimal en la geometría riemanniana . El estudio infinitesimal de las conexiones comenzó en cierta medida con Elwin Christoffel . Posteriormente, Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita ( Levi-Civita y Ricci, 1900 ) lo retomaron con mayor profundidad, observando, entre otras cosas, que una conexión en el sentido infinitesimal de Christoffel también permitía una noción de transporte paralelo .

El trabajo de Levi-Civita se centró exclusivamente en considerar las conexiones como una especie de operador diferencial cuyos desplazamientos paralelos eran entonces las soluciones de ecuaciones diferenciales . A medida que avanzaba el siglo XX, Élie Cartan desarrolló una nueva noción de conexión. Buscó aplicar las técnicas de los sistemas pfaffianos a las geometrías del programa de Erlangen de Felix Klein . En estas investigaciones, descubrió que una cierta noción infinitesimal de conexión (una conexión de Cartan ) podía aplicarse a estas geometrías y más: su concepto de conexión permitía la presencia de curvatura que de otro modo estaría ausente en una geometría clásica de Klein. (Véase, por ejemplo, ( Cartan 1926 ) y ( Cartan 1983 ) ). Además, utilizando la dinámica de Gaston Darboux , Cartan pudo generalizar la noción de transporte paralelo para su clase de conexiones infinitesimales. Esto estableció otro hilo conductor importante en la teoría de las conexiones: que una conexión es un cierto tipo de forma diferencial .

En la teoría de conexiones, dos enfoques han perdurado hasta nuestros días: la conexión como operador diferencial y la conexión como forma diferencial. En 1950, Jean-Louis Koszul ( Koszul 1950 ) proporcionó un marco algebraico para considerar una conexión como un operador diferencial mediante la conexión de Koszul . Esta conexión era más general que la de Levi-Civita y resultaba más fácil de manejar, ya que finalmente lograba eliminar (o al menos ocultar) los engorrosos símbolos de Christoffel del formalismo de conexiones. Las operaciones de desplazamiento paralelo asociadas también tenían interpretaciones algebraicas naturales en términos de la conexión. La definición de Koszul fue posteriormente adoptada por la mayor parte de la comunidad de geometría diferencial, puesto que convertía eficazmente la correspondencia analítica entre la diferenciación covariante y la traslación paralela en una correspondencia algebraica .

En ese mismo año, Charles Ehresmann ( Ehresmann 1950 ) , discípulo de Cartan, presentó una variación de la conexión como una perspectiva de forma diferencial en el contexto de los fibrados principales y, más generalmente, de los fibrados . Las conexiones de Ehresmann no eran, estrictamente hablando, una generalización de las conexiones de Cartan. Estas últimas estaban bastante ligadas a la topología diferencial subyacente de la variedad debido a su relación con el método de equivalencia de Cartan . Las conexiones de Ehresmann constituían más bien un marco sólido para comprender el trabajo fundamental de otros geómetras de la época, como Shiing-Shen Chern , quien ya había comenzado a alejarse de las conexiones de Cartan para estudiar lo que podría denominarse conexiones de calibre . Desde el punto de vista de Ehresmann, una conexión en un fibrado principal consiste en la especificación de campos vectoriales horizontales y verticales en el espacio total del fibrado. Una traslación paralela es, entonces, una elevación de una curva desde la base a una curva horizontal en el fibrado principal. Este punto de vista ha demostrado ser especialmente valioso en el estudio de la holonomía .

• Un enfoque bastante directo consiste en especificar cómo actúa una derivada covariante sobre los elementos del módulo de campos vectoriales como un operador diferencial . De forma más general, se aplica un enfoque similar para las conexiones en cualquier fibrado vectorial .
• La notación de índices tradicional especifica la conexión por componentes; véanse los símbolos de Christoffel . ( Nota : esto tiene tres índices, pero no es un tensor ).
• En la geometría pseudoriemanniana y riemanniana, la conexión de Levi-Civita es una conexión especial asociada al tensor métrico .
• Estos son ejemplos de conexiones afines . También existe el concepto de conexión proyectiva , de la cual la derivada schwarziana en análisis complejo es un ejemplo. En términos más generales, tanto las conexiones afines como las proyectivas son tipos de conexiones de Cartan .
• Utilizando haces principales , una conexión puede realizarse como una forma diferencial con valores en un álgebra de Lie . Véase conexión (haz principal) .
• Un enfoque para las conexiones que utiliza directamente la noción de transporte de "datos" (sea lo que sea) es la conexión de Ehresmann .
• El enfoque más abstracto puede ser el sugerido por Alexander Grothendieck , donde una conexión de Grothendieck se ve como datos de descenso de vecindarios infinitesimales de la diagonal ; ver ( Osserman 2004 ) .

• conexión afín
• Conexión Cartan
• Conexión Ehresmann
• Conexión Grothendieck
• Conexión Levi-Civita
• Formulario de conexión
• Conexión (colector de fibra)
• Conexión (paquete principal)
• Conexión (paquete vectorial)
• Conexión (haz afín)
• Conexión (paquete compuesto)
• Conexión (marco algebraico)
• Teoría de gauge (matemáticas)
• Conexión de Connes

• Levi-Civita, T.; Ricci, G. (1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs apps" , Mathematische Annalen , 54 ( 1– 2): 125– 201, doi : 10.1007/BF01454201 , S2CID 120009332 
• Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion projective", Bulletin de la Société Mathématique de France , 52 : 205– 241, doi : 10.24033/bsmf.1053
• Cartan, Élie (1926), "Les groupes d'holonomie des espaces généralisés", Acta Mathematica , 48 ( 1– 2): 1– 42, doi : 10.1007/BF02629755
• Cartan, Élie (1983), Geometría de espacios riemannianos , Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-34-7
• Ehresmann, C. (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable , Colloque de Toplogie, Bruselas, págs. 29 a 55 
• Koszul, JL (1950), "Homologie et cohomologie des algèbres de Lie", Bulletin de la Société Mathématique de France , 78 : 65– 127, doi : 10.24033/bsmf.1410
• Lumiste, Ü. (2001) [1994], "Connection" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Osserman, B. (2004), Conexiones, curvatura y p-curvatura (PDF) , archivado del original (PDF) el 21-12-2006 , recuperado el 04-02-2007.
• Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2000), Conexiones en la teoría clásica y cuántica de campos , World Scientific, ISBN 981-02-2013-8.
• Morita, Shigeyuki (2001), Geometría de las formas diferenciales , AMS, ISBN 0-8218-1045-6

• Contenido multimedia relacionado con la conexión (matemáticas) en Wikimedia Commons.
• Conexiones en el Atlas Múltiple