Conexión (marco algebraico)

Si${\displaystyle k\to A}$es un homomorfismo de anillos, un${\displaystyle k}$-la conexión lineal es una${\displaystyle k}$-morfismo lineal

${\displaystyle \nabla :M\to \Omega _{A/k}^{1}\otimes _{A}M}$

que satisface la identidad

${\displaystyle \nabla (am)=da\otimes m+a\nabla m}$

Una conexión se extiende, para todos${\displaystyle p\geq 0}$a un mapa único

${\displaystyle \nabla$ :\Omega _{A/k}^{p}\otimes _{A}M\to \Omega _{A/k}^{p+1}\otimes _{A}M}

satisfactorio${\displaystyle \nabla (\omega \otimes f)=d\omega \otimes f+(-1)^{p}\omega \wedge \nabla f}$Se dice que una conexión es integrable si${\displaystyle \nabla \circ \nabla =0}$, o equivalentemente, si la curvatura${\displaystyle \nabla ^{2}:M\to \Omega _{A/k}^{2}\otimes M}$desaparece.

Dejar${\displaystyle D(A)}$sea ​​el módulo de derivaciones de un anillo${\displaystyle A}$. Una conexión en un módulo A${\displaystyle M}$se define como un morfismo de A -módulo

${\displaystyle \nabla :D(A)\to \mathrm {Diff} _{1}(M,M);u\mapsto \nabla _{u}}$

de tal manera que los operadores diferenciales de primer orden${\displaystyle \nabla _{u}}$en ${\displaystyle M}$obedecer la regla de Leibniz

${\displaystyle \nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in M.}$

Siempre existen conexiones en un módulo a través de un anillo conmutativo.

La curvatura de la conexión${\displaystyle \nabla }$se define como el operador diferencial de orden cero

${\displaystyle R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}\,}$

en el módulo${\displaystyle M}$a pesar de${\displaystyle u,u'\in D(A)}$.

Si${\displaystyle E\to X}$es un fibrado vectorial, existe una correspondencia biunívoca entre conexiones lineales${\displaystyle \Gamma }$en${\displaystyle E\to X}$y las conexiones${\displaystyle \nabla }$en el ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$-módulo de secciones de${\displaystyle E\to X}$Estrictamente hablando,${\displaystyle \nabla }$corresponde al diferencial covariante de una conexión en${\displaystyle E\to X}$.