Supergeometría

La supergeometría es la geometría diferencial de módulos sobre álgebras conmutativas graduadas , supervariedades y variedades graduadas . La supergeometría es parte integral de muchas teorías de campos clásicas y cuánticas que involucran campos impares , por ejemplo, la teoría de campos supersimétrica , la teoría BRST o la supergravedad .

La supergeometría se formula en términos de${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$- módulos graduados y poleas sobre${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$-álgebras conmutativas graduadas ( álgebras superconmutativas ). En particular, las superconexiones se definen como conexiones de Koszul en estos módulos y haces. Sin embargo, la supergeometría no es una geometría no conmutativa particular debido a una definición diferente de una derivación graduada .

Las variedades graduadas y las supervariedades también se formulan en términos de haces de álgebras conmutativas graduadas. Las variedades graduadas se caracterizan por haces en variedades lisas , mientras que las supervariedades se construyen pegando haces de espacios supervectoriales . Hay diferentes tipos de supervariedades. Estas son supervariedades lisas (${\displaystyle H^{\infty }}$-,${\displaystyle G^{\infty }}$-,${\displaystyle GH^{\infty }}$-supercolectores),${\displaystyle G}$-supervariedades y supervariedades de DeWitt. En particular, los fibrados supervectoriales y los fibrados principales se consideran en la categoría de${\displaystyle G}$-supervariedades. Las definiciones de superfibrados principales y superconexiones principales se derivan directamente de las de fibrados principales lisos y conexiones principales . Los fibrados graduados principales también se consideran en la categoría de variedades graduadas .

Existe una clase diferente de superfibrados y superconexiones de Quillen - Ne'eman . Estas superconexiones se han aplicado al cálculo del carácter de Chern en la teoría K , la geometría no conmutativa y el formalismo BRST .

• Supersimetría
• Conexión (marco algebraico)
• Supermétrico

• Bartocci, C.; Bruzzo, U.; Hernandez Ruiperez, D. (1991), La geometría de los supermanífolds , Kluwer, ISBN 0-7923-1440-9.
• Rogers, A. (2007), Supervelocidades: Teoría y aplicaciones , World Scientific, ISBN 981-02-1228-3.
• Mangiarotti, L.; Sardanashvily , G. (2000), Conexiones en la teoría clásica y cuántica de campos , World Scientific, ISBN 981-02-2013-8.

• G. Sardanashvily , Lecciones sobre supergeometría, arXiv : 0910.0092 .