Holonomía

Visualización del transporte paralelo en una esfera — Transporte paralelo en una esfera a lo largo de una trayectoria suave por partes. El vector inicial está etiquetado como $V$ , transportado en paralelo a lo largo de la curva, y el vector resultante se etiqueta como ${\mathcal {P}}_{\gamma}(V)$ El resultado del transporte paralelo será diferente si se varía la trayectoria.

{\displaystyle V} — Transporte paralelo en una esfera a lo largo de una trayectoria suave por partes. El vector inicial está etiquetado como $V$ , transportado en paralelo a lo largo de la curva, y el vector resultante se etiqueta como ${\mathcal {P}}_{\gamma}(V)$ El resultado del transporte paralelo será diferente si se varía la trayectoria.

En geometría diferencial , la holonomía de una conexión en una variedad diferenciable es el grado en que el transporte paralelo alrededor de bucles cerrados no conserva los datos geométricos transportados. La holonomía es una consecuencia geométrica general de la curvatura de la conexión. Para conexiones planas, la holonomía asociada es un tipo de monodromía y es una noción inherentemente global. Para conexiones curvas, la holonomía presenta características locales y globales no triviales.

Cualquier tipo de conexión en una variedad da lugar, a través de sus mapas de transporte paralelos, a alguna noción de holonomía. Las formas más comunes de holonomía son para conexiones que poseen algún tipo de simetría . Ejemplos importantes incluyen: la holonomía de la conexión de Levi-Civita en geometría riemanniana (llamada holonomía riemanniana ), la holonomía de conexiones en fibrados vectoriales , la holonomía de conexiones de Cartan y la holonomía de conexiones en fibrados principales . En cada uno de estos casos, la holonomía de la conexión puede identificarse con un grupo de Lie , el grupo de holonomía . La holonomía de una conexión está estrechamente relacionada con la curvatura de la conexión, a través del teorema de Ambrose-Singer .

El estudio de la holonomía riemanniana ha dado lugar a importantes avances. Élie Cartan introdujo la holonomía en 1926 para estudiar y clasificar espacios simétricos . Mucho más tarde , los grupos de holonomía se utilizaron para estudiar la geometría riemanniana en un contexto más general. En 1952, Georges de Rham demostró el teorema de descomposición de De Rham , un principio para dividir una variedad riemanniana en un producto cartesiano de variedades riemannianas mediante la división del fibrado tangente en espacios irreducibles bajo la acción de los grupos de holonomía locales. Posteriormente, en 1953, Marcel Berger clasificó las posibles holonomías irreducibles. La descomposición y clasificación de la holonomía riemanniana tiene aplicaciones en física y en teoría de cuerdas .

Definiciones

Holonomía de una conexión en un fibrado vectorial

Sea E un fibrado vectorial de rango k sobre una variedad diferenciable M , y sea ∇ una conexión en E. Dado un bucle diferenciable a trozos γ : [0,1] → M con base en x en M , la conexión define una aplicación de transporte paralela P _γ : E _x → E _x en la fibra de E en x . Esta aplicación es lineal e invertible, y por lo tanto define un elemento del grupo lineal general GL( E _x ). El grupo de holonomía de ∇ con base en x se define como

\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ es un bucle basado en }}x\}.

El grupo de holonomía restringida basado en x es el subgrupo $\operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )$ provenientes de bucles contráctiles γ .

Si M es conexo por caminos , entonces el grupo de holonomía depende del punto base x solo hasta la conjugación en GL( k , R ). Explícitamente, si γ es un camino de x a y en M , entonces

\operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.

Elegir diferentes identificaciones de E _x con R ^k también da lugar a subgrupos conjugados. A veces, sobre todo en discusiones generales o informales (como la que se muestra a continuación), se puede omitir la referencia al punto base, entendiendo que este se define de forma única solo hasta la conjugación.

Algunas propiedades importantes del grupo de holonomía incluyen:

$\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ es un subgrupo de Lie conexo de GL( k , R ).
$\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ es el componente de identidad de $\operatorname {Hol} (\nabla ).$
Si M es simplemente conexo , entonces $\operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).$
∇ es plano (es decir, tiene curvatura nula) si y solo si $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ es trivial. En este caso, $\operatorname {Hol} (\nabla )$ Puede que aún así no sea trivial.
Existe un homomorfismo de grupo sobreyectivo natural. $\pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),$ dónde $\pi _{1}(M)$ es el grupo fundamental de M , que envía la clase de homotopía $[\gamma ]$ al coset $P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).$

Holonomía de una conexión en un haz principal

{\displaystyle P} — Una conexión en un paquete principal $P$ con el espacio-tiempo $M$ separa el espacio tangente en cada punto $x_{p}$ a lo largo de la fibra $G_{p}$ en un subespacio vertical $V_{p}$ y un subespacio horizontal $H_{p}$ . Las curvas en el espaciotiempo se elevan a curvas en el fibrado principal cuyos vectores tangentes se encuentran en el subespacio horizontal.

La definición de holonomía de conexiones en fibrados principales procede de forma paralela. Sea G un grupo de Lie y P un fibrado principal G sobre una variedad diferenciable M que es paracompacta . Sea ω una conexión en P. Dado un bucle diferenciable a trozos γ : [0,1] → M con base en x en M y un punto p en la fibra sobre x , la conexión define una elevación horizontal única. ${\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P$ de tal manera que ${\tilde {\gamma }}(0)=p.$ El punto final del elevador horizontal, ${\tilde {\gamma }}(1)$ , generalmente no será p sino algún otro punto p · g en la fibra sobre x . Definimos una relación de equivalencia ~ en P diciendo que p ~ q si se pueden unir mediante un camino horizontal suave a trozos en P.

El grupo de holonomía de ω con base en p se define entonces como

\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.

El grupo de holonomía restringida basado en p es el subgrupo $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ provenientes de elevaciones horizontales de bucles contráctiles γ .

Si M y P están conectados , entonces el grupo de holonomía depende del punto base p solo hasta la conjugación en G. Explícitamente, si q es cualquier otro punto base elegido para la holonomía, entonces existe un único g ∈ G tal que q ~ p · g . Con este valor de g ,

\operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.

En particular,

\operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.

Además, si p ~ q entonces $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).$ Como se mencionó anteriormente, a veces se omite la referencia al punto base del grupo de holonomía, entendiendo que la definición es válida hasta la conjugación.

Algunas propiedades importantes de los grupos de holonomía y holonomía restringida incluyen:

$\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ es un subgrupo de Lie conexo de G.
$\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ es el componente de identidad de $\operatorname {Hol} _{p}(\omega ).$
Existe un homomorfismo de grupo sobreyectivo natural. $\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$
Si M está simplemente conectado entonces $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$
ω es plana (es decir, tiene curvatura nula) si y solo si $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ es trivial.

paquetes de holonomía

Sea M una variedad lisa paracompacta conexa y P un fibrado principal G con conexión ω, como se indicó anteriormente. Sea p ∈ P un punto arbitrario del fibrado principal. Sea H ( p ) el conjunto de puntos en P que pueden unirse a p mediante una curva horizontal. Entonces se puede demostrar que H ( p ), con la proyección evidente, es un fibrado principal sobre M con grupo de estructura $\operatorname {Hol} _{p}(\omega ).$ Este haz principal se denomina haz de holonomía (a través de p ) de la conexión. La conexión ω se restringe a una conexión en H ( p ), ya que sus mapas de transporte paralelo preservan H ( p ). Por lo tanto , H ( p ) es un haz reducido para la conexión. Además, dado que ningún subhaz de H ( p ) se conserva mediante el transporte paralelo, se trata de la reducción mínima de este tipo. ^{[ 1 ]}

Al igual que con los grupos de holonomía, el fibrado de holonomía también se transforma equivariantemente dentro del fibrado principal ambiente P. En detalle, si q ∈ P es otro punto base elegido para la holonomía, entonces existe un único g ∈ G tal que q ~ p g (ya que, por hipótesis, M es conexo por caminos). Por lo tanto, H ( q ) = H ( p ) g . Como consecuencia, las conexiones inducidas en los fibrados de holonomía correspondientes a diferentes elecciones de punto base son compatibles entre sí: sus mapas de transporte paralelos diferirán precisamente por el mismo elemento g .

Monodromía

El fibrado de holonomía H ( p ) es un fibrado principal para $\operatorname {Hol} _{p}(\omega ),$ y por lo tanto también admite una acción del grupo de holonomía restringida $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ (que es un subgrupo normal del grupo de holonomía completa). El grupo discreto $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ Se denomina grupo de monodromía de la conexión; actúa sobre el haz cociente. $H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$ Existe un homomorfismo sobreyectivo ${\displaystyle \varphi$ de modo que $\varphi \left(\pi _{1}(M)\right)$ actúa en $H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$ Esta acción del grupo fundamental es una representación monodromía del grupo fundamental. ^{[ 2 ]}

holonomía local e infinitesimal

Si π: P → M es un fibrado principal y ω es una conexión en P , entonces la holonomía de ω puede restringirse a la fibra sobre un subconjunto abierto de M. En efecto, si U es un subconjunto abierto conexo de M , entonces ω se restringe para dar una conexión en el fibrado π ⁻¹U sobre U. La holonomía (resp. holonomía restringida) de este fibrado se denotará por $\operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U)$ (resp. $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)$ ) para cada p con π( p ) ∈ U .

Si U ⊂ V son dos conjuntos abiertos que contienen π( p ), entonces hay una inclusión evidente.

\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).

El grupo de holonomía local en un punto p se define por

\operatorname {Hol} ^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} ^{0}(\omega ,U_{k})

para cualquier familia de conjuntos abiertos conectados anidados U _k con $\bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)$ .

El grupo de holonomía local tiene las siguientes propiedades:

Es un subgrupo de Lie conexo del grupo de holonomía restringida. $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$
Cada punto p tiene un entorno V tal que $\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).$ En particular, el grupo de holonomía local depende solo del punto p , y no de la elección de la secuencia U _k utilizada para definirlo.
La holonomía local es equivariante con respecto a la traslación por elementos del grupo de estructura G de P ; es decir, $\operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} \left(g^{-1}\right)\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )$ para todo g ∈ G . (Nótese que, por la propiedad 1, el grupo de holonomía local es un subgrupo de Lie conexo de G , por lo que el adjunto está bien definido).

El grupo de holonomía local no se comporta bien como un objeto global. En particular, su dimensión puede no ser constante. Sin embargo, se cumple el siguiente teorema:

Si la dimensión del grupo de holonomía local es constante, entonces la holonomía local y la restringida coinciden:

\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).

Teorema de Ambrose-Singer

El teorema de Ambrose-Singer (debido a Warren Ambrose e Isadore M. Singer ( 1953 ) ) relaciona la holonomía de una conexión en un fibrado principal con la forma de curvatura de dicha conexión. Para que este teorema resulte plausible, consideremos el caso conocido de una conexión afín (o una conexión en el fibrado tangente , como la conexión de Levi-Civita). La curvatura surge al recorrer un paralelogramo infinitesimal.

En detalle, si σ: [0, 1] × [0, 1] → M es una superficie en M parametrizada por un par de variables x e y , entonces un vector V puede transportarse alrededor del límite de σ: primero a lo largo de ( x , 0), luego a lo largo de (1, y ), seguido de ( x , 1) en la dirección negativa, y luego (0, y ) de vuelta al punto de origen. Este es un caso especial de un bucle de holonomía: el vector V es afectado por el elemento del grupo de holonomía correspondiente al levantamiento del límite de σ. La curvatura aparece explícitamente cuando el paralelogramo se reduce a cero, al recorrer el límite de paralelogramos más pequeños sobre [0, x ] × [0, y ]. Esto corresponde a tomar una derivada de los mapas de transporte paralelos en x = y = 0:

{\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V

donde R es el tensor de curvatura . ^{[ 3 ]} Así pues, en términos generales, la curvatura da la holonomía infinitesimal sobre un bucle cerrado (el paralelogramo infinitesimal). Más formalmente, la curvatura es el diferencial de la acción de holonomía en la identidad del grupo de holonomía. En otras palabras, R ( X , Y ) es un elemento del álgebra de Lie de $\operatorname {Hol} _{p}(\omega ).$

En general, consideremos la holonomía de una conexión en un fibrado principal P → M sobre P con grupo de estructura G. Sea g el álgebra de Lie de G , la forma de curvatura de la conexión es una 2-forma Ω con valores en g sobre P. El teorema de Ambrose-Singer establece: ^{[ 4 ]}

El álgebra de Lie de

\operatorname {Hol} _{p}(\omega )

está abarcado por todos los elementos de g de la forma

\Omega _{q}(X,Y)

ya que q abarca todos los puntos que pueden unirse a p mediante una curva horizontal ( q ~ p ), y X e Y son vectores tangentes horizontales en q .

Alternativamente, el teorema puede reformularse en términos del fibrado de holonomía: ^{[ 5 ]}

El álgebra de Lie de

\operatorname {Hol} _{p}(\omega )

es el subespacio de g generado por elementos de la forma

\Omega _{q}(X,Y)

donde q ∈ H ( p ) y X e Y son vectores horizontales en q .

holonomía riemanniana

La holonomía de una variedad riemanniana ( M , g ) es el grupo de holonomía de la conexión de Levi-Civita en el fibrado tangente a M . Una variedad riemanniana n - dimensional 'genérica' tiene una holonomía O( n ) , o SO( n ) si es orientable . Las variedades cuyos grupos de holonomía son subgrupos propios de O( n ) o SO( n ) tienen propiedades especiales.

Uno de los primeros resultados fundamentales sobre la holonomía riemanniana es el teorema de Borel y Lichnerowicz (1952) , que afirma que el grupo de holonomía restringida es un subgrupo de Lie cerrado de O( n ). En particular, es compacto .

Holonomía reducible y la descomposición de De Rham

Sea x ∈ M un punto arbitrario. Entonces, el grupo de holonomía Hol( M ) actúa sobre el espacio tangente T _xM . Esta acción puede ser irreducible como representación de grupo, o reducible en el sentido de que hay una descomposición de T _xM en subespacios ortogonales T _xM = T′ _xM ⊕ T″ _xM , cada uno de los cuales es invariante bajo la acción de Hol( M ). En este último caso, se dice que M es reducible .

Supongamos que M es una variedad reducible. Al permitir que el punto x varíe, los haces T′ M y T″ M formados por la reducción del espacio tangente en cada punto son distribuciones suaves que son integrables en el sentido de Frobenius . Las variedades integrales de estas distribuciones son subvariedades totalmente geodésicas. Por lo tanto, M es localmente un producto cartesiano M′ × M″ . El isomorfismo de de Rham (local) se obtiene continuando este proceso hasta lograr una reducción completa del espacio tangente: ^{[ 6 ]}

Sea M una variedad riemanniana simplemente conexa , ^{[ 7 ]} y T M = T ⁽⁰⁾M ⊕ T ⁽¹⁾M ⊕ ⋯ ⊕ T ^{( k )}M la reducción completa del fibrado tangente bajo la acción del grupo de holonomía. Supongamos que T ⁽⁰⁾M consta de vectores invariantes bajo el grupo de holonomía (es decir, tales que la representación de holonomía es trivial). Entonces, localmente M es isométrica a un producto

V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},

donde V ₀ es un conjunto abierto en un espacio euclidiano , y cada V _i es una variedad integral para T ^{( i )}M . Además, Hol( M ) se divide como un producto directo de los grupos de holonomía de cada M _i , la variedad integral máxima de T ^{( i )} que pasa por un punto.

Si, además, se supone que M es geodésicamente completa , entonces el teorema se cumple globalmente y cada M _i es una variedad geodésicamente completa. ^{[ 8 ]}

La clasificación de Berger

En 1955, M. Berger ofreció una clasificación completa de los posibles grupos de holonomía para variedades riemannianas simplemente conexas que son irreducibles (no son localmente un espacio producto) y no simétricas (no son localmente un espacio simétrico riemanniano ). La lista de Berger es la siguiente:

Las variedades con holonomía Sp( n )·Sp(1) fueron estudiadas simultáneamente en 1965 por Edmond Bonan y Vivian Yoh Kraines, quienes descubrieron que tales variedades necesariamente llevarían una 4-forma paralela.

Las variedades con holonomía G ₂ o Spin(7) fueron investigadas por primera vez de forma abstracta por Bonan en 1966, quien clasificó las formas diferenciales paralelas que dichas variedades podrían contener y demostró que necesariamente serían Ricci-planas. Sin embargo, no se construirían ejemplos de tales variedades hasta 30 años después.

La lista original de Berger también incluía la posibilidad de Spin(9) como subgrupo de SO(16). Posteriormente, D. Alekseevski y Brown-Gray demostraron independientemente que las variedades riemannianas con dicha holonomía eran necesariamente localmente simétricas, es decir, localmente isométricas al plano de Cayley F ₄ /Spin(9) o localmente planas. (Véase más abajo). Ahora se sabe que todas estas posibilidades aparecen como grupos de holonomía de variedades riemannianas. Los dos últimos casos excepcionales fueron los más difíciles de encontrar. Véase la variedad G ₂ y la variedad Spin(7) .

Nótese que Sp( n ) ⊂ SU(2 n ) ⊂ U(2 n ) ⊂ SO(4 n ), por lo que toda variedad hiperkähler es una variedad de Calabi-Yau , toda variedad de Calabi-Yau es una variedad de Kähler y toda variedad de Kähler es orientable .

La extraña lista anterior fue explicada por la demostración de Simons del teorema de Berger. Una demostración simple y geométrica del teorema de Berger fue dada por Carlos E. Olmos en 2005. Primero se muestra que si una variedad riemanniana no es un espacio localmente simétrico y la holonomía reducida actúa irreduciblemente sobre el espacio tangente, entonces actúa transitivamente sobre la esfera unitaria. Se conocen los grupos de Lie que actúan transitivamente sobre esferas: consisten en la lista anterior, junto con 2 casos adicionales: el grupo Spin(9) que actúa sobre R ¹⁶ , y el grupo T · Sp( m ) que actúa sobre R ^{4 m} . Finalmente, se comprueba que el primero de estos dos casos adicionales solo aparece como grupo de holonomía para espacios localmente simétricos (que son localmente isomorfos al plano proyectivo de Cayley ), y el segundo no aparece en absoluto como grupo de holonomía.

La clasificación original de Berger también incluía una holonomía métrica pseudoriemanniana no definida positiva y no localmente simétrica. Esa lista consistía en SO( p , q ) de signatura ( p , q ), U( p , q ) y SU( p , q ) de signatura (2 p , 2 q ), Sp( p , q ) y Sp( p , q )·Sp(1) de signatura (4 p , 4 q ), SO( n , C ) de signatura ( n , n ), SO( n , H ) de signatura (2 n , 2 n ), G ₂ dividido de signatura (4, 3), G ₂ ( C ) de signatura (7, 7), Spin(4, 3) de signatura (4, 4), Spin(7, C ) de signatura (7,7), Spin(5,4) de signatura (8,8) y, por último, Spin(9, C ) de signatura (16,16). El Spin(9) dividido y complejizado es necesariamente localmente simétrico como arriba y no debería haber estado en la lista. Las holonomías complejizadas SO( n , C ), G2 ₍ C ) y Spin(7, C ) pueden realizarse complejizando variedades riemannianas analíticas reales. El último caso, variedades con holonomía contenida en SO( n , H ), fue demostrado como localmente plano por R. McLean. ^{[ 9 ]}

Los espacios simétricos riemannianos, que son localmente isométricos a los espacios homogéneos G / H , tienen una holonomía local isomorfa a H. Estos también han sido clasificados completamente .

Finalmente, el artículo de Berger enumera posibles grupos de holonomía de variedades con una única conexión afín sin torsión ; esto se analiza más adelante.

Holonomía especial y espinores

Las variedades con holonomía especial se caracterizan por la presencia de espinores paralelos , es decir, campos espinoriales con derivada covariante nula. ^{[ 10 ]} En particular, se cumplen los siguientes hechos:

Hol(ω) ⊂ U (n) si y solo si M admite un campo espinorial puro proyectivo covariantemente constante (o paralelo ).
Si M es una variedad de espín , entonces Hol(ω) ⊂ SU (n) si y solo si M admite al menos dos campos espinoriales puros paralelos linealmente independientes. De hecho, un campo espinorial puro paralelo determina una reducción canónica del grupo de estructura a SU ( n ).
Si M es una variedad de espín de siete dimensiones, entonces M lleva un campo espinorial paralelo no trivial si y solo si la holonomía está contenida en G ₂ .
Si M es una variedad de espín de ocho dimensiones, entonces M lleva un campo espinorial paralelo no trivial si y solo si la holonomía está contenida en Spin(7).

Las holonomías unitarias y unitarias especiales se estudian a menudo en relación con la teoría de twistores , ^{[ 11 ]} así como en el estudio de estructuras casi complejas . ^{[ 10 ]}

Aplicaciones

teoría de cuerdas

Las variedades riemannianas con holonomía especial juegan un papel importante en las compactificaciones de la teoría de cuerdas . ^[¹²^] Esto se debe a que las variedades con holonomía especial admiten espinores covariantemente constantes (paralelos) y, por lo tanto, preservan alguna fracción de la supersimetría original . Las compactificaciones más importantes son las de variedades de Calabi-Yau con holonomía SU(2) o SU(3). También son importantes las compactificaciones de variedades G ₂ .

Aprendizaje automático

Se ha sugerido calcular la holonomía de variedades riemannianas como una forma de aprender la estructura de variedades de datos en el aprendizaje automático , en particular en el contexto del aprendizaje de variedades . Dado que el grupo de holonomía contiene información sobre la estructura global de la variedad de datos, puede utilizarse para identificar cómo esta podría descomponerse en un producto de subvariedades. La holonomía no puede calcularse con exactitud debido a los efectos del muestreo finito, pero es posible construir una aproximación numérica utilizando ideas de la teoría espectral de grafos, similares a los mapas de difusión vectorial. El algoritmo resultante, el Estimador de Componentes de Variedad Geométrica ( GeoManCEr ), proporciona una aproximación numérica a la descomposición de De Rham que puede aplicarse a datos del mundo real. ^{[ 13 ]}

holonomía afín

Los grupos de holonomía afines son aquellos que surgen como holonomías de conexiones afines sin torsión ; los que no son grupos de holonomía riemannianos o pseudoriemannianos también se conocen como grupos de holonomía no métricos. El teorema de descomposición de De Rham no se aplica a los grupos de holonomía afines, por lo que una clasificación completa resulta inalcanzable. Sin embargo, sigue siendo natural clasificar las holonomías afines irreducibles.

En su proceso de clasificación de los grupos de holonomía riemanniana, Berger desarrolló dos criterios que debe cumplir el álgebra de Lie del grupo de holonomía de una conexión afín sin torsión que no sea localmente simétrica : uno de ellos, conocido como el primer criterio de Berger , es consecuencia del teorema de Ambrose-Singer, que establece que la curvatura genera el álgebra de holonomía; el otro, conocido como el segundo criterio de Berger , proviene del requisito de que la conexión no sea localmente simétrica. Berger presentó una lista de grupos que actúan de forma irreducible y que satisfacen estos dos criterios; esto puede interpretarse como una lista de posibilidades para holonomías afines irreducibles.

Posteriormente se demostró que la lista de Berger estaba incompleta: R. Bryant (1991) y Q. Chi, S. Merkulov y L. Schwachhöfer (1996) encontraron más ejemplos . Estos se conocen a veces como holonomías exóticas . La búsqueda de ejemplos condujo finalmente a una clasificación completa de las holonomías afines irreducibles por Merkulov y Schwachhöfer (1999), y Bryant (2000) demostró que cada grupo de su lista aparece como un grupo de holonomía afín.

La clasificación de Merkulov-Schwachhöfer se ha clarificado considerablemente gracias a la conexión entre los grupos de la lista y ciertos espacios simétricos, concretamente los espacios simétricos hermíticos y los espacios simétricos de cuaterniones de Kähler . Esta relación resulta especialmente clara en el caso de las holonomías afines complejas, como demostró Schwachhöfer (2001).

Sea V un espacio vectorial complejo de dimensión finita, sea H ⊂ Aut( V ) un subgrupo de Lie conexo complejo semisimple irreducible y sea K ⊂ H un subgrupo compacto maximal .

Si existe un espacio simétrico hermitiano irreducible de la forma G /(U(1) · K ), entonces tanto H como C *· H son grupos de holonomía afín irreducibles no simétricos, donde V es la representación tangente de K .
Si existe un espacio simétrico de cuaternión-Kähler irreducible de la forma G /(Sp(1) · K ), entonces H es un grupo de holonomía afín irreducible no simétrico, como lo es C * · H si dim V = 4. Aquí la representación tangente complejizada de Sp(1) · K es C ² ⊗ V , y H conserva una forma simpléctica compleja en V .

Estas dos familias generan todos los grupos de holonomía afín compleja irreducible no simétricos, excepto los siguientes:

{\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{2n}\right)\\G_{2}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{7}\right)\\\mathrm {Spin} (7,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{8}\right).\end{aligned}}

Utilizando la clasificación de espacios simétricos hermíticos, la primera familia proporciona los siguientes grupos de holonomía afín complejos:

{\begin{aligned}Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (m,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{m}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{16}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot E_{6}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{27}\right)\end{aligned}}

donde Z _C es trivial o el grupo C *.

Utilizando la clasificación de espacios simétricos de cuaterniones de Kähler, la segunda familia proporciona los siguientes grupos de holonomía simpléctica complejos:

{\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\(Z_{\mathbf {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbf {C} ^{2}\right)\\\mathrm {Sp} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda _{0}^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{14}\right)\\\mathrm {SL} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\\\mathrm {Spin} (12,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{32}\right)\\E_{7}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{56}\right)\\\end{aligned}}

(En la segunda fila, Z _C debe ser trivial a menos que n = 2.)

A partir de estas listas, se puede observar un análogo del resultado de Simons, según el cual los grupos de holonomía riemanniana actúan transitivamente sobre esferas: las representaciones de holonomía complejas son todas espacios vectoriales prehomogéneos . No se conoce una demostración conceptual de este hecho.

La clasificación de las holonomías afines reales irreducibles se puede obtener mediante un análisis cuidadoso, utilizando las listas anteriores y el hecho de que las holonomías afines reales se complejizan en holonomías complejas.

Etimología

Existe una palabra similar, « holomórfico », introducida por dos alumnos de Cauchy , Briot ( 1817-1882 ) y Bouquet (1819-1895 ) , que deriva del griego ὅλος ( holos ), que significa «entero», y μορφή ( morphē ), que significa «forma» o «apariencia». ^{[ 14 ]} La etimología de «holonomía» comparte la primera parte con «holomórfico» ( holos ). Sobre la segunda parte:

"Resulta sorprendentemente difícil encontrar la etimología de holonómico (u holonomía) en la web. Encontré la siguiente (gracias a John Conway de Princeton): 'Creo que fue utilizada por primera vez por Poinsot en su análisis del movimiento de un cuerpo rígido. En esta teoría, un sistema se denomina "holonómico" si, en cierto sentido, se puede recuperar información global a partir de información local, por lo que el significado de "ley completa" es bastante apropiado. El rodamiento de una pelota sobre una mesa no es holonómico, porque al rodar por diferentes trayectorias hacia el mismo punto, puede colocarse en diferentes orientaciones. Sin embargo, quizás sea demasiado simplista decir que "holonomía" significa "ley completa". La raíz "nom" tiene muchos significados entrelazados en griego, y quizás se refiere con más frecuencia a "contar". Proviene de la misma raíz indoeuropea que nuestra palabra "número".' "

— S. Golwala, ^{[ 15 ]}

Véase νόμος ( nomos ) y -nomy .

A pesar de su etimología, tener "holonomía" no significa tener "ley completa". En cambio, tener "holonomía no trivial" significa " no tener ley completa". El caso de tener "ley completa" se denominaría tener "holonomía trivial". De este modo, "holonomía" significa, en cierto modo, lo mismo que "anholonomía" o "no holonomía".

El significado original de "holonomía" como "tener una ley completa" solo se conserva en la mecánica clásica, donde un " sistema holonómico " es un sistema mecánico cuyas restricciones tienen una ley completa.

Véase también

Notas

^ Kobayashi y Nomizu 1963 , §II.7
↑ Sharpe 1997 , §3.7
↑ Spivak 1999 , pág. 241
↑ Sternberg 1964 , Teorema VII.1.2
^ Kobayashi y Nomizu 1963 , Volumen I, §II.8
^ Kobayashi y Nomizu 1963 , §IV.5
↑ Este teorema se generaliza a variedades no simplemente conexas, pero el enunciado es más complicado.
^ Kobayashi y Nomizu 1963 , §IV.6
^ Bryant, Robert L. (1996), "Holonomías clásicas, excepcionales y exóticas: un informe de situación" (PDF) , Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) , Sémin. Congreso, vol. 1, Soc. Matemáticas. Francia, París, págs. 93-165 , ISBN 2-85629-047-7, MR 1427757
1 2 Lawson y Michelsohn 1989 , §IV.9–10
↑ Baum et al. 1991
↑ Gubser, S., Gubser S.; et al. (eds.), Holonomía especial en la teoría de cuerdas y la teoría M + Gubser, Steven S. (2004), Strings, branes and extra dimensions, TASI 2001. Lectures presented at the 2001 TASI school, Boulder, Colorado, USA, 4–29 June 2001. , River Edge, NJ: World Scientific, pp. 197– 233, arXiv : hep-th/0201114 , ISBN 978-981-238-788-2.
↑ Pfau, David; Higgins, Irina; Botev, Aleksandar; Racanière, Sébastien (2020), "Disentangling by Subspace Diffusion", Advances in Neural Information Processing Systems , arXiv : 2006.12982
↑ Markushevich 2005
^ Golwala 2007 , págs. 65–66

Referencias

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Lecturas adicionales

Literatura sobre variedades de holonomía especial , una bibliografía de Frederik Witt.

[1] Kobayashi y Nomizu 1963 , §II.7

[2] Sharpe 1997 , §3.7

[3] Spivak 1999 , pág. 241

[4] Sternberg 1964 , Teorema VII.1.2

[5] Kobayashi y Nomizu 1963 , Volumen I, §II.8

[6] Kobayashi y Nomizu 1963 , §IV.5

[7] Este teorema se generaliza a variedades no simplemente conexas, pero el enunciado es más complicado.

[8] Kobayashi y Nomizu 1963 , §IV.6

[9] Bryant, Robert L. (1996), "Holonomías clásicas, excepcionales y exóticas: un informe de situación" (PDF) , Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) , Sémin. Congreso, vol. 1, Soc. Matemáticas. Francia, París, págs. 93-165 , ISBN 2-85629-047-7, MR 1427757

[Lawson-10] 1 2 Lawson y Michelsohn 1989 , §IV.9–10

[11] Baum et al. 1991

[12] Gubser, S., Gubser S.; et al. (eds.), Holonomía especial en la teoría de cuerdas y la teoría M + Gubser, Steven S. (2004), Strings, branes and extra dimensions, TASI 2001. Lectures presented at the 2001 TASI school, Boulder, Colorado, USA, 4–29 June 2001. , River Edge, NJ: World Scientific, pp. 197– 233, arXiv : hep-th/0201114 , ISBN 978-981-238-788-2.

[13] Pfau, David; Higgins, Irina; Botev, Aleksandar; Racanière, Sébastien (2020), "Disentangling by Subspace Diffusion", Advances in Neural Information Processing Systems , arXiv : 2006.12982

[14] Markushevich 2005

[15] Golwala 2007 , págs. 65–66

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