Subgrupo compacto máximo

Para un grupo de Lie semisimple real, la demostración de Cartan sobre la existencia y unicidad de un subgrupo compacto maximal se puede encontrar en Borel (1950) y Helgason (1978) . Cartier (1955) y Hochschild (1965) analizan la extensión a grupos de Lie conexos y grupos localmente compactos conexos.

Para grupos semisimples, la existencia es consecuencia de la existencia de una forma real compacta del grupo de Lie semisimple no compacto y la descomposición de Cartan correspondiente . La prueba de unicidad se basa en el hecho de que el espacio simétrico riemanniano correspondiente G / K tiene curvatura negativa y en el teorema del punto fijo de Cartan. Mostow (1955) demostró que la derivada de la aplicación exponencial en cualquier punto de G / K satisface |d exp X | ≥ |X|. Esto implica que G / K es un espacio de Hadamard , es decir, un espacio métrico completo que satisface una forma debilitada de la regla del paralelogramo en un espacio euclidiano. La unicidad se puede deducir entonces del teorema del punto fijo de Bruhat-Tits . En efecto, cualquier conjunto cerrado acotado en un espacio de Hadamard está contenido en una única bola cerrada mínima, cuyo centro se llama su circuncentro . En particular, un grupo compacto que actúa mediante isometrías debe fijar el circuncentro de cada una de sus órbitas.

Mostow (1955) también relacionó el problema general para grupos semisimples con el caso de GL( n , R ). El espacio simétrico correspondiente es el espacio de matrices simétricas positivas. Una demostración directa de unicidad basada en propiedades elementales de este espacio se da en Hilgert y Neeb (2012) .

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sea ​​un álgebra de Lie semisimple real con involución de Cartan σ. Por lo tanto, el subgrupo de punto fijo de σ es el subgrupo compacto maximal K y existe una descomposición de espacio propio.

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}},}}$

dónde${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$, el álgebra de Lie de K , es el espacio propio +1. La descomposición de Cartan da

${\displaystyle \displaystyle {G=K\cdot \exp {\mathfrak {p}}=K\cdot P=P\cdot K.}}$

Si B es la forma de matar en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$dado por B ( X , Y ) = Tr (ad X)(ad Y), entonces

${\displaystyle \displaystyle {(X,Y)_{\sigma }=-B(X,\sigma (Y))}}$

es un verdadero producto interno en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Bajo la representación adjunta, K es el subgrupo de G que preserva este producto interno.

Si H es otro subgrupo compacto de G , entonces promediar el producto interno sobre H con respecto a la medida de Haar da un producto interno invariante bajo H. Los operadores Ad p con p en P son operadores simétricos positivos. Este nuevo producto interno se puede escribir como

${\displaystyle (S\cdot X,Y)_{\sigma },}$

donde S es un operador simétrico positivo en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de tal manera que Ad( h ) ^t S Ad h = S para h en H (con las transpuestas calculadas con respecto al producto interno). Además, para x en G ,

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {Ad} \,\sigma (x)=(\mathrm {Ad} \,(x)^{-1})^{t}.}}$

Entonces, para h en H ,

${\displaystyle \displaystyle {S\circ \mathrm {Ad} (\sigma (h))=\mathrm {Ad} (h)\circ S.}}$

Para X en${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$definir

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{X})=\mathrm {Tr} \,\mathrm {Ad} (e^{X})S.}}$

Si e _i es una base ortonormal de autovectores para S con Se _i = λ _i e _i , entonces

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{X})=\sum \lambda _{i}(\mathrm {Ad} (e^{X})e_{i},e_{i})_{\sigma }\geq (\min \lambda _{i})\cdot \mathrm {Tr} \,e^{\mathrm {ad} \,X},}}$

de modo que f es estrictamente positivo y tiende a ∞ cuando | X | tiende a ∞. De hecho, esta norma es equivalente a la norma del operador en los operadores simétricos ad X y cada autovalor no nulo aparece con su negativo, ya que i ad X es un operador antiadjunto en la forma real compacta.${\displaystyle {\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {p}}}$.

Entonces f tiene un mínimo global en Y, digamos. Este mínimo es único, porque si Z fuera otro

${\displaystyle \displaystyle {e^{Z}=e^{Y/2}e^{X}e^{Y/2},}}$

donde X en${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$se define mediante la descomposición de Cartan

${\displaystyle \displaystyle {e^{Z/2}e^{-Y/2}=k\cdot e^{X/2}.}}$

Si f _i es una base ortonormal de autovectores de ad X con autovalores reales correspondientes μ _i , entonces

${\displaystyle \displaystyle {g(t)=f(e^{Y/2}e^{tX}e^{Y/2})=\sum e^{\mu _{i}t}\|Ad(e^{Y/2})f_{i}\|_{\sigma }^{2}.}}$

Dado que el lado derecho es una combinación positiva de exponenciales, la función de valor real g es estrictamente convexa si X ≠ 0, por lo que tiene un mínimo único. Por otro lado, tiene mínimos locales en t = 0 y t = 1, por lo tanto X = 0 y p = exp Y es el único mínimo global. Por construcción f ( x ) = f (σ( h ) xh ⁻¹ ) para h en H , de modo que p = σ( h ) ph ⁻¹ para h en H . Por lo tanto σ( h )= php ⁻¹ . En consecuencia, si g = exp Y /2, gHg ⁻¹ está fijado por σ y por lo tanto se encuentra en K .

Los subgrupos compactos maximales desempeñan un papel fundamental en la teoría de representaciones cuando G no es compacto. En ese caso, un subgrupo compacto maximal K es un grupo de Lie compacto (ya que un subgrupo cerrado de un grupo de Lie es un grupo de Lie), para el cual la teoría resulta más sencilla.

Las operaciones que relacionan las teorías de representación de G y K son restringir las representaciones de G a K e inducir representaciones de K a G , y estas se comprenden bastante bien; su teoría incluye la de las funciones esféricas .

La topología algebraica de los grupos de Lie también está en gran medida determinada por un subgrupo compacto maximal K. Para ser precisos, un grupo de Lie conexo es un producto topológico (aunque no un producto de teoría de grupos) de un K compacto maximal y un espacio euclidiano – G = K × R ^d – por lo que, en particular, K es un retracto de deformación de G, y es homotópicamente equivalente , y por lo tanto tienen los mismos grupos de homotopía . De hecho, la inclusión${\displaystyle K\hookrightarrow G}$y la retracción de la deformación${\displaystyle G\twoheadrightarrow K}$son equivalencias homotópicas .

Para el grupo lineal general, esta descomposición es la descomposición QR , y la retracción por deformación es el proceso de Gram-Schmidt . Para un grupo de Lie semisimple general, la descomposición es la descomposición de Iwasawa de G como G = KAN en la que K aparece en un producto con un subgrupo contraíble AN .