Representación restringida

En teoría de grupos , la restricción forma una representación de un subgrupo utilizando una representación conocida del grupo completo . La restricción es una construcción fundamental en la teoría de representaciones de grupos. A menudo, la representación restringida es más sencilla de entender. Las reglas para descomponer la restricción de una representación irreducible en representaciones irreducibles del subgrupo se denominan reglas de ramificación y tienen importantes aplicaciones en física . Por ejemplo, en el caso de una ruptura explícita de simetría , el grupo de simetría del problema se reduce del grupo completo a uno de sus subgrupos. En mecánica cuántica , esta reducción de simetría aparece como una división de niveles de energía degenerados en multipletes , como en el efecto Stark o Zeeman .

La representación inducida es una operación relacionada que forma una representación del grupo completo a partir de una representación de un subgrupo. La relación entre restricción e inducción se describe mediante la reciprocidad de Frobenius y el teorema de Mackey. La restricción a un subgrupo normal se comporta particularmente bien y a menudo se denomina teoría de Clifford, en referencia al teorema de AH Clifford. ^{[ 1 ]} La restricción puede generalizarse a otros homomorfismos de grupos y a otros anillos .

Para cualquier grupo G , su subgrupo H y una representación lineal ρ de G , la restricción de ρ a H , denotada

${\displaystyle \rho \,{\Big |}_{H}}$

es una representación de H en el mismo espacio vectorial mediante los mismos operadores:

${\displaystyle \rho \,{\Big |}_{H}(h)=\rho (h).}$

Las reglas de ramificación clásicas describen la restricción de una representación compleja irreducible ( π , V ) de un grupo clásico G a un subgrupo clásico H , es decir, la multiplicidad con la que una representación irreducible ( σ , W ) de H aparece en π . Por la reciprocidad de Frobenius para grupos compactos , esto es equivalente a encontrar la multiplicidad de π en la representación unitaria inducida a partir de σ. Las reglas de ramificación para los grupos clásicos fueron determinadas por   

• Weyl (1946) entre grupos unitarios sucesivos ;
• Murnaghan (1938) entre grupos ortogonales especiales sucesivos y grupos simplécticos unitarios ;
• Littlewood (1950) de los grupos unitarios a los grupos simplécticos unitarios y grupos ortogonales especiales.

Los resultados se suelen expresar gráficamente utilizando diagramas de Young para codificar las signaturas utilizadas clásicamente para etiquetar representaciones irreducibles, familiares de la teoría invariante clásica . Hermann Weyl y Richard Brauer descubrieron un método sistemático para determinar la regla de ramificación cuando los grupos G y H comparten un toro maximal común : en este caso, el grupo de Weyl de H es un subgrupo del de G , de modo que la regla se puede deducir de la fórmula del carácter de Weyl . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Howe (1995) ha dado una interpretación moderna sistemática en el contexto de su teoría de pares duales . El caso especial donde σ es la representación trivial de H fue utilizado por primera vez extensamente por Hua en su trabajo sobre los núcleos de Szegő de dominios simétricos acotados en varias variables complejas , donde el límite de Shilov tiene la forma G / H. ^{[ 4 ] [ 5 ]} De manera más general, el teorema de Cartan-Helgason da la descomposición cuando G / H es un espacio simétrico compacto, en cuyo caso todas las multiplicidades son uno; ^{[ 6 ]} Kostant (2004) obtuvo posteriormente una generalización a σ arbitrario . Knapp (2003) también utilizó consideraciones geométricas similares para rederive las reglas de Littlewood, que involucran las célebres reglas de Littlewood-Richardson para tensorizar representaciones irreducibles de los grupos unitarios. Littelmann (1995) encontró generalizaciones de estas reglas a grupos de Lie semisimples compactos arbitrarios , utilizando su modelo de caminos , un enfoque de la teoría de la representación cercano en espíritu a la teoría de bases cristalinas de Lusztig y Kashiwara . Sus métodos producen reglas de ramificación para restricciones a subgrupos que contienen un toro maximal. El estudio de las reglas de ramificación es importante en la teoría clásica de invariantes y su contraparte moderna, la combinatoria algebraica . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Ejemplo . El grupo unitario U ( N ) tiene representaciones irreducibles etiquetadas por signaturas.

${\displaystyle \mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}}$

donde los f _i son enteros. De hecho, si una matriz unitaria U tiene valores propios z _i , entonces el carácter de la representación irreducible correspondiente π _f viene dado por

${\displaystyle \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+Ni} \over \prod _{i<j}(z_{i}-z_{j})}.}$

La regla de ramificación de U ( N ) a U ( N  –  1) establece que

Ejemplo . El grupo unitario simpléctico o grupo unitario cuaterniónico , denotado Sp( N ) o U ( N , H ), es el grupo de todas las transformaciones de H → ^N que conmutan con la multiplicación derecha por los cuaterniones H y preservan el producto interno hermitiano con valores en H.

${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{N})\cdot (r_{1},\ldots ,r_{N})=\sum r_{i}^{*}q_{i}}$

en H ^N , donde q * denota el cuaternión conjugado a q . Al realizar los cuaterniones como matrices complejas de 2 x 2, el grupo Sp( N ) es simplemente el grupo de matrices de bloques ( q _ij ) en SU(2 N ) con

${\displaystyle q_{ij}={\begin{pmatrix}\alpha _{ij}&\beta _{ij}\\-{\overline {\beta }}_{ij}&{\overline {\alpha }}_{ij}\end{pmatrix}},}$

donde α _ij y β _ij son números complejos .

Cada matriz U en Sp( N ) es conjugada a una matriz diagonal por bloques con entradas

${\displaystyle q_{i}={\begin{pmatrix}z_{i}&0\\0&{\overline {z}}_{i}\end{pmatrix}},}$

donde | z _i | = 1. Por lo tanto, los autovalores de U son ( z _i ^±1 ). Las representaciones irreducibles de Sp( N ) están etiquetadas con signaturas

${\displaystyle \mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}\geq 0}$

donde los f _i son enteros. El carácter de la representación irreducible correspondiente σ _f viene dado por ^{[ 9 ].}

${\displaystyle \operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+N-i+1}-z_{j}^{-f_{i}-N+i-1} \over \prod (z_{i}-z_{i}^{-1})\cdot \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}.}$

La regla de ramificación de Sp( N ) a Sp( N  –  1) establece que ^{[ 10 ]}

Aquí f _{N + 1} = 0 y la multiplicidad m ( f , g ) viene dada por

${\displaystyle m(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\prod _{i=1}^{N}(a_{i}-b_{i}+1)}$

dónde

${\displaystyle a_{1}\geq b_{1}\geq a_{2}\geq b_{2}\geq \cdots \geq a_{N}\geq b_{N}=0}$

es el reordenamiento no creciente de los 2 N enteros no negativos ( f _i ), ( g _j ) y 0.

Ejemplo . La ramificación de U(2 N ) a Sp( N ) se basa en dos identidades de Littlewood : ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \Pi _{\mathbf {f} ,0}(z_{1},z_{1}^{-1},\ldots ,z_{N},z_{N}^{-1})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\\[5pt]={}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(z_{1},\ldots ,z_{N})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\cdot \prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1},\end{aligned}}}$

donde Π _{f ,0} es la representación irreducible de U (2 N ) con signatura f ₁ ≥ ··· ≥ f _N ≥ 0 ≥ ··· ≥ 0.

${\displaystyle \prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1}=\sum _{f_{2i-1}=f_{2i}}\operatorname {Tr} \pi _{f}(z_{1},\ldots ,z_{N}),}$

donde f _i ≥ 0.

La regla de ramificación de U(2 N ) a Sp( N ) viene dada por

donde todas las signaturas son no negativas y el coeficiente M ( g , h ; k ) es la multiplicidad de la representación irreducible π _k de U ( N ) en el producto tensorial π _g${\displaystyle \otimes }$π _h . Se da combinatoriamente mediante la regla de Littlewood-Richardson, el número de permutaciones reticulares del diagrama sesgado k / h de peso g . ^{[ 8 ]}

Existe una extensión de la regla de ramificación de Littlewood a signaturas arbitrarias debido a Sundaram (1990 , p. 203) . Los coeficientes de Littlewood-Richardson M ( g , h ; f ) se extienden para permitir que la signatura f tenga 2 N partes, pero restringiendo g a tener longitudes de columna pares ( g _{2 i – 1} = g _{2 i} ). En este caso, la fórmula es: 

donde M _N ( g , h ; f ) cuenta el número de permutaciones de red de f / h de peso g para las cuales 2 j + 1 aparece no más abajo que la fila N + j de f para 1 ≤ j ≤ | g |/2.

Ejemplo . El grupo ortogonal especial SO( N ) tiene representaciones ordinarias y de espín irreducibles etiquetadas por signaturas ^{[ 2 ] [ 7 ] [ 15 ] [ 16 ].}

• ${\displaystyle f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|}$para N = 2 n ;
• ${\displaystyle f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0}$para N = 2 n +1.

Los f _i se toman en Z para representaciones ordinarias y en ½ + Z para representaciones de espín. De hecho, si una matriz ortogonal U tiene valores propios z _i ^±1 para 1 ≤ i ≤ n , entonces el carácter de la representación irreducible correspondiente π _f viene dado por

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,\pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+n-i}+z_{j}^{-f_{i}-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}}$

para N = 2 n y por

${\displaystyle \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+1/2+n-i}-z_{j}^{-f_{i}-1/2-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})\cdot \prod _{k}(z_{k}^{1/2}-z_{k}^{-1/2})}}$

para N = 2 n +1.

Las reglas de ramificación de SO( N ) a SO( N  -  1) establecen que ^{[ 17 ]}

para N = 2 n  +  1 y

para N = 2 n , donde las diferencias f _i  − g _i deben ser números enteros. 

Dado que las reglas de ramificación de${\displaystyle U(N)}$a${\displaystyle U(N-1)}$o${\displaystyle SO(N)}$a${\displaystyle SO(N-1)}$tienen multiplicidad uno, los sumandos irreducibles correspondientes a N cada vez más pequeños terminarán eventualmente en subespacios unidimensionales. De esta manera Gelfand y Tsetlin pudieron obtener una base de cualquier representación irreducible de${\displaystyle U(N)}$o${\displaystyle SO(N)}$etiquetada por una cadena de firmas intercaladas, llamada patrón de Gelfand-Tsetlin . Las fórmulas explícitas para la acción del álgebra de Lie sobre la base de Gelfand-Tsetlin se dan en Želobenko (1973) . Específicamente, para${\displaystyle N=3}$, la base de Gelfand-Testlin de la representación irreducible de${\displaystyle SO(3)}$con dimensión${\displaystyle 2l+1}$viene dada por los armónicos esféricos complejos${\displaystyle \{Y_{m}^{l}|-l\leq m\leq l\}}$.

Para el resto del grupo clásico${\displaystyle Sp(N)}$, la ramificación ya no es libre de multiplicidad, de modo que si V y W son representaciones irreducibles de${\displaystyle Sp(N-1)}$y${\displaystyle Sp(N)}$el espacio de los entrelazadores${\displaystyle Hom_{Sp(N-1)}(V,W)}$puede tener dimensión mayor que uno. Resulta que el Yangian${\displaystyle Y({\mathfrak {gl}}_{2})}$, un álgebra de Hopf introducida por Ludwig Faddeev y colaboradores , actúa irreduciblemente sobre este espacio de multiplicidad, un hecho que permitió a Molev (2006) extender la construcción de bases de Gelfand-Tsetlin a${\displaystyle Sp(N)}$. ^{[ 18 ]}

En 1937, Alfred H. Clifford demostró el siguiente resultado sobre la restricción de representaciones irreducibles de dimensión finita de un grupo G a un subgrupo normal N de índice finito : ^{[ 19 ]}

Teorema . Sea π : G${\displaystyle \rightarrow }$GL( n , K ) es una representación irreducible con K un cuerpo . Entonces, la restricción de π a N se descompone en una suma directa de representaciones irreducibles de N de igual dimensión. Estas representaciones irreducibles de N se encuentran en una órbita para la acción de G por conjugación sobre las clases de equivalencia de representaciones irreducibles de N. En particular , el número de sumandos distintos no es mayor que el índice de N en G. 

Veinte años después, George Mackey encontró una versión más precisa de este resultado para la restricción de representaciones unitarias irreducibles de grupos localmente compactos a subgrupos normales cerrados en lo que se conoce como la "máquina de Mackey" o "análisis de subgrupos normales de Mackey". ^{[ 20 ]}

Desde el punto de vista de la teoría de categorías , la restricción es un ejemplo de functor olvidadizo . Este functor es exacto , y su functor adjunto izquierdo se denomina inducción . La relación entre restricción e inducción en diversos contextos se conoce como reciprocidad de Frobenius. En conjunto, las operaciones de inducción y restricción constituyen un conjunto de herramientas poderosas para el análisis de representaciones. Esto es especialmente cierto cuando las representaciones poseen la propiedad de reducibilidad completa , por ejemplo, en la teoría de representaciones de grupos finitos sobre un cuerpo de característica cero .

Esta construcción bastante evidente puede extenderse de numerosas y significativas maneras. Por ejemplo, podemos tomar cualquier homomorfismo de grupo φ de H a G , en lugar del mapa de inclusión , y definir la representación restringida de H mediante la composición.

${\displaystyle \rho \circ \varphi \,}$

También podemos aplicar esta idea a otras categorías del álgebra abstracta : álgebras asociativas , anillos, álgebras de Lie , superálgebras de Lie , álgebras de Hopf, entre otras. Las representaciones o módulos se restringen a subobjetos o mediante homomorfismos.

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