toro maximal

En la teoría matemática de los grupos de Lie compactos, los subgrupos toroidales desempeñan un papel especial, en particular los subgrupos toroidales maximales .

Un toro en un grupo de Lie compacto G es un subgrupo de Lie compacto , conexo y abeliano de G (y por lo tanto isomorfo al toro estándar T ^{n [ 1 ]} ). Un toro maximal es aquel que es maximal entre tales subgrupos. Es decir, T es un toro maximal si para cualquier toro T ′ que contenga a T tenemos T = T ′ . Todo toro está contenido en un toro maximal simplemente por consideraciones dimensionales . Un grupo de Lie no compacto no necesita tener ningún toro no trivial (por ejemplo, R ⁿ ).

La dimensión de un toro maximal en G se denomina rango de G. El rango está bien definido, ya que todos los toros maximales resultan ser conjugados . Para grupos semisimples , el rango es igual al número de nodos en el diagrama de Dynkin asociado .

El grupo unitario U( n ) tiene como toro maximal el subgrupo de todas las matrices diagonales . Es decir,

${\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right):\forall j,\theta _{j}\in \mathbb {R} \right\}.}$

T es claramente isomorfo al producto de n círculos, por lo que el grupo unitario U( n ) tiene rango n . Un toro maximal en el grupo unitario especial SU( n ) ⊂ U( n ) es simplemente la intersección de T y SU( n ), que es un toro de dimensión n − 1.   

Un toro maximal en el grupo ortogonal especial SO(2 n ) viene dado por el conjunto de todas las rotaciones simultáneas en cualquier elección fija de n planos ortogonales por pares (es decir, espacios vectoriales bidimensionales). Concretamente, un toro maximal consiste en todas las matrices diagonales por bloques con${\displaystyle 2\times 2}$bloques diagonales, donde cada bloque diagonal es una matriz de rotación. Este es también un toro maximal en el grupo SO(2 n +1) donde la acción fija la dirección restante. Por lo tanto, tanto SO(2 n ) como SO(2 n +1) tienen rango n . Por ejemplo, en el grupo de rotación SO(3), los toros maximales están dados por rotaciones alrededor de un eje fijo.

El grupo simpléctico Sp( n ) tiene rango n . Un toro maximal está dado por el conjunto de todas las matrices diagonales cuyas entradas se encuentran todas en una subálgebra compleja fija de H .

Sea G un grupo de Lie compacto y conexo y sea${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sea ​​el álgebra de Lie de G. El primer resultado principal es el teorema del toro, que puede formularse de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}

Teorema del toro : Si T es un toro maximal fijo en G , entonces cada elemento de G es conjugado a un elemento de T.

Este teorema tiene las siguientes consecuencias:

• Todos los toros máximos en G son conjugados. ^{[ 3 ]}
• Todos los toros máximos tienen la misma dimensión, conocida como el rango de G.
• Un toro maximal en G es un subgrupo abeliano maximal, pero lo contrario no tiene por qué ser cierto. ^{[ 4 ]}
• Los toros máximos en G son exactamente los subgrupos de Lie correspondientes a las subálgebras abelianas máximas de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$^{[ 5 ]} (cf.subálgebra de Cartan)
• Cada elemento de G se encuentra en algún toro maximal; por lo tanto, la aplicación exponencial para G es sobreyectiva.
• Si G tiene dimensión n y rango r, entonces n − r es par.

Si T es un toro maximal en un grupo de Lie compacto G , se puede definir un sistema de raíces como sigue. Las raíces son los pesos para la acción adjunta de T sobre el álgebra de Lie complejizada de G. Para ser más explícito, sea${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$denotemos el álgebra de Lie de T , sea${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$denotamos el álgebra de Lie de${\displaystyle G}$y dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }:={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}}}$denotan la complejización de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Entonces decimos que un elemento${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {t}}}$es una raíz para G en relación con T si${\displaystyle \alpha \neq 0}$y existe un valor distinto de cero${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$de tal manera que

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{e^{H}}(X)=e^{i\langle \alpha ,H\rangle }X}$

a pesar de${\displaystyle H\in {\mathfrak {t}}}$. Aquí${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$es un producto interno fijo en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$que es invariante bajo la acción adjunta de grupos de Lie compactos conexos.

El sistema de raíces, como un subconjunto del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$de T , tiene todas las propiedades habituales de un sistema radicular, excepto que las raíces pueden no abarcar${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$. ^{[ 6 ]} El sistema de raíces es una herramienta clave para comprender la teoría de clasificación y representación de G .

Dado un toro T (no necesariamente maximal), el grupo de Weyl de G con respecto a T se puede definir como el normalizador de T módulo el centralizador de T. Es decir,

${\displaystyle W(T,G):=N_{G}(T)/C_{G}(T).}$

Fijar un toro maximal${\displaystyle T=T_{0}}$en G; entonces el grupo de Weyl correspondiente se llama grupo de Weyl de G (depende, salvo isomorfismo, de la elección de T ).

Los dos primeros resultados importantes sobre el grupo de Weyl son los siguientes.

• El centralizador de T en G es igual a T , por lo que el grupo de Weyl es igual a N ( T )/ T . ^{[ 7 ]}
• El grupo de Weyl se genera mediante reflexiones sobre las raíces del álgebra de Lie asociada. ^{[ 8 ]} Por lo tanto, el grupo de Weyl de T es isomorfo al grupo de Weyl del sistema de raíces del álgebra de Lie de G .

A continuación, enumeramos algunas consecuencias de estos resultados principales.

• Dos elementos en T son conjugados si y solo si son conjugados por un elemento de W. Es decir, cada clase de conjugación de G interseca a T en exactamente una órbita de Weyl . ^{[ 9 ]} De hecho, el espacio de clases de conjugación en G es homeomorfo al espacio de órbitas T / W.
• El grupo de Weyl actúa mediante automorfismos ( externos ) en T (y su álgebra de Lie).
• El componente identidad del normalizador de T también es igual a T. Por lo tanto, el grupo de Weyl es igual al grupo componente de N ( T ).
• El grupo de Weyl es finito.

La teoría de representación de G está esencialmente determinada por T y W.

Como ejemplo, consideremos el caso${\displaystyle G=SU(n)}$con${\displaystyle T}$siendo el subgrupo diagonal de${\displaystyle G}$. Entonces${\displaystyle x\in G}$pertenece a${\displaystyle N(T)}$si y solo si${\displaystyle x}$mapea cada elemento de base estándar${\displaystyle e_{i}}$a un múltiplo de algún otro elemento de base estándar${\displaystyle e_{j}}$, es decir, si y solo si${\displaystyle x}$permuta los elementos de la base estándar, salvo la multiplicación por algunas constantes. El grupo de Weyl en este caso es entonces el grupo de permutaciones en${\displaystyle n}$elementos.

Supongamos que f es una función continua en G. Entonces, la integral sobre G de f con respecto a la medida de Haar normalizada dg se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle \displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}|\Delta (t)|^{2}\int _{G/T}f\left(yty^{-1}\right)\,d[y]\,dt,}}$

dónde${\displaystyle d[y]}$es la medida de volumen normalizada en la variedad cociente${\displaystyle G/T}$y${\displaystyle dt}$es la medida de Haar normalizada en ^{T. [ 10} ] ^Aquí Δ ^viene dada por la fórmula del denominador de Weyl y${\displaystyle |W|}$es el orden del grupo de Weyl. Un caso especial importante de este resultado ocurre cuando f es una función de clase , es decir, una función invariante bajo conjugación. En ese caso, tenemos

${\displaystyle \displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}f(t)|\Delta (t)|^{2}\,dt.}}$

Consideremos como ejemplo el caso${\displaystyle G=SU(2)}$, con${\displaystyle T}$siendo el subgrupo diagonal. Entonces la fórmula integral de Weyl para funciones de clase toma la siguiente forma explícita: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \displaystyle {\int _{SU(2)}f(g)\,dg={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }f\left(\mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)\right)\,4\,\mathrm {sin} ^{2}(\theta )\,{\frac {d\theta }{2\pi }}.}}$

Aquí${\displaystyle |W|=2}$, la medida de Haar normalizada en${\displaystyle T}$es${\displaystyle {\frac {d\theta }{2\pi }}}$, y${\displaystyle \mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)}$denota la matriz diagonal con entradas diagonales${\displaystyle e^{i\theta }}$y${\displaystyle e^{-i\theta }}$.

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• subálgebra de Cartan
• Álgebra de Lie toral
• descomposición de Bruhat
• Fórmula del personaje de Weyl
• Teoría de la representación de un grupo de Lie compacto conexo

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