Función de clase

En matemáticas , especialmente en los campos de la teoría de grupos y la teoría de la representación de grupos , una función de clase es una función definida sobre un grupo G que es constante en las clases de conjugación de G. En otras palabras, es invariante bajo la aplicación de conjugación en G. Dichas funciones desempeñan un papel fundamental en la teoría de la representación .

Personajes

El carácter de una representación lineal de G sobre un cuerpo K es siempre una función de clase con valores en K. Las funciones de clase forman el centro del anillo de grupo K [ G ]. Aquí, una función de clase f se identifica con el elemento $\sum _{g\in G}f(g)g$ .

Productos internos

El conjunto de funciones de clase de un grupo $G$ con valores en un cuerpo $K$ forman un espacio vectorial K. $Si$ G $es$ finito y la característica del cuerpo no divide el orden de $G$ , entonces existe un producto interno definido en este espacio definido por $\langle \phi ,\psi \rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _ {g\in G}\phi (g){\overline {\psi (g)}},$ donde $| G |$ denota el orden de $G$ y la barra superior denota la conjugación en el cuerpo $K.$ El conjunto de caracteres irreducibles de $G$ forma una base ortogonal . Además, si $K$ es un cuerpo de descomposición para $G$ —por ejemplo, si $K$ es algebraicamente cerrado— , entonces los caracteres irreducibles forman una base ortonormal .

Cuando $G$ es un grupo compacto y $K = C$ es el cuerpo de los números complejos , la medida de Haar se puede aplicar para reemplazar la suma finita anterior con una integral: $\langle \phi ,\psi \rangle =\int _{G}\phi (t){\overline {\psi (t)}}\,dt.$ En este contexto, los caracteres irreducibles forman una base de Hilbert del espacio de Hilbert de funciones de clase de cuadrado integrable, según el teorema de Peter-Weyl .