Componente de identidad

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , el componente identidad de un grupo G (también conocido como su componente unidad ) se refiere a varias nociones estrechamente relacionadas del subgrupo conectado más grande de G que contiene el elemento identidad.

En ^la topología de conjuntos de puntos , el componente identidad de un grupo topológico G es el componente conexo G₀ de G que contiene el elemento identidad del grupo. El componente camino identidad de un grupo topológico G es el componente camino de G que contiene el elemento identidad del grupo.

En geometría algebraica , la componente identidad de un grupo algebraico G sobre un cuerpo k es la componente identidad del espacio topológico subyacente. La componente identidad de un esquema de grupo G sobre un esquema base S es, en términos generales, el esquema de grupo G ⁰ cuya fibra sobre el punto s de S es la componente conexa G _s ⁰ de la fibra G _s , un grupo algebraico. ^{[ 1 ]}

La componente identidad G ⁰ de un grupo topológico o algebraico G es un subgrupo normal cerrado de G. Es cerrado ya que las componentes siempre son cerradas. Es un subgrupo porque la multiplicación y la inversión en un grupo topológico o algebraico son aplicaciones continuas por definición. Además, para cualquier automorfismo continuo a de G tenemos

a ( G ⁰ ) = G ⁰ .

Por lo tanto, G ⁰ es un subgrupo característico (topológico o algebraico) de G , por lo que es normal.

Siguiendo el mismo razonamiento anterior, el componente de camino identidad de un grupo topológico también es un subgrupo normal (característico de un subgrupo topológico). En general, puede ser menor que el componente identidad (ya que la conectividad de caminos es una condición más fuerte que la conectividad), pero coinciden si G es localmente conexo por caminos.

La componente identidad G ⁰ de un grupo topológico G no tiene por qué ser abierta en G . De hecho, podemos tener G ⁰ = { e }, en cuyo caso G es totalmente disconexo . Sin embargo, la componente identidad de un espacio localmente conexo por caminos (por ejemplo, un grupo de Lie ) siempre es abierta, puesto que contiene un entorno conexo por caminos de { e }; y por lo tanto es un conjunto clopen .

El grupo cociente G / G ⁰ se denomina grupo de componentes o grupo de componentes de G. Sus elementos son simplemente las componentes conexas de G. El grupo de componentes G / G ⁰ es un grupo discreto si y solo si G ⁰ es abierto. Si G es un grupo algebraico de tipo finito , como un grupo algebraico afín , entonces G / G ⁰ es en realidad un grupo finito .

De manera similar, se puede definir el grupo de componentes de camino como el grupo de componentes de camino (cociente de G por el componente de camino identidad), y en general el grupo de componentes es un cociente del grupo de componentes de camino, pero si G es localmente conexo por caminos, estos grupos coinciden. El grupo de componentes de camino también se puede caracterizar como el grupo de homotopía cero .${\displaystyle \pi _ {0}(G,e).}$

• El grupo de números reales distintos de cero con multiplicación ( R *,•) tiene dos componentes y el grupo de componentes es ({1, − 1},•).
• Consideremos el grupo de unidades U en el anillo de números complejos divididos . En la topología ordinaria del plano { z = x + j y  : x , y ∈ R }, U se divide en cuatro componentes por las rectas y = x e y = − x donde z no tiene inverso. Entonces U ⁰ = { z  : | y | < x } . En este caso, el grupo de componentes de U es isomorfo al grupo de Klein de cuatro componentes .
• El componente identidad del grupo aditivo ( Z _p ,+) de enteros p-ádicos es el conjunto unitario {0}, ya que Z _p es totalmente disconexo.
• El grupo de Weyl de un grupo algebraico reductivo G es el grupo de componentes del grupo normalizador de un toro maximal de G.
• Consideremos el esquema de grupo μ ₂ = Spec( Z [ x ]/( x ² - 1)) de raíces segundas de la unidad definido sobre el esquema base Spec( Z ). Topológicamente, μ _n consiste en dos copias de la curva Spec( Z ) unidas en el punto (es decir, el ideal primo ) 2. Por lo tanto, μ _n es conexo como espacio topológico, y por ende como esquema. Sin embargo, μ ₂ no es igual a su componente identidad porque la fibra sobre cada punto de Spec( Z ) excepto 2 consta de dos puntos discretos.

Un grupo algebraico G sobre un cuerpo topológico K admite dos topologías naturales: la topología de Zariski y la topología heredada de K. El componente identidad de G suele variar según la topología. Por ejemplo, el grupo lineal general GL _n ( R ) es conexo como grupo algebraico, pero tiene dos componentes de camino como grupo de Lie: las matrices de determinante positivo y las matrices de determinante negativo. Cualquier grupo algebraico conexo sobre un cuerpo local no arquimediano K es totalmente disconexo en la topología de K y, por lo tanto, tiene un componente identidad trivial en dicha topología.

• Demazure, M .; Grothendieck, A. , Gille, P.; Polo, P. (eds.), Schémas en groupes (SGA 3), I: Propriétés Générales des Schémas en GroupesEdición revisada y anotada del original de 1970.