Grupo discreto

En matemáticas , un grupo topológico G se denomina grupo discreto si no hay un punto límite en él (es decir, para cada elemento de G , hay un entorno que solo contiene ese elemento). De manera equivalente, el grupo G es discreto si y solo si su identidad es aislada . ^[1]

Un subgrupo H de un grupo topológico G es un subgrupo discreto si H es discreto cuando se le dota de la topología de subespacio de G. En otras palabras, hay un entorno de la identidad en G que no contiene ningún otro elemento de H. Por ejemplo, los números enteros , Z , forman un subgrupo discreto de los números reales , R (con la topología métrica estándar ), pero los números racionales , Q , no.

Cualquier grupo puede estar dotado de la topología discreta , lo que lo convierte en un grupo topológico discreto. Dado que cada función de un espacio discreto es continua , los homomorfismos topológicos entre grupos discretos son exactamente los homomorfismos de grupo entre los grupos subyacentes. Por lo tanto, existe un isomorfismo entre la categoría de grupos y la categoría de grupos discretos. Por lo tanto, los grupos discretos pueden identificarse con sus grupos subyacentes (no topológicos).

Existen algunas ocasiones en las que un grupo topológico o grupo de Lie se dota de forma útil de la topología discreta, "contra natura". Esto sucede, por ejemplo, en la teoría de la compactificación de Bohr y en la teoría de cohomología de grupos de los grupos de Lie.

Un grupo de isometría discreto es un grupo de isometría tal que para cada punto del espacio métrico el conjunto de imágenes del punto bajo las isometrías es un conjunto discreto . Un grupo de simetría discreto es un grupo de simetría que es un grupo de isometría discreto.

Como los grupos topológicos son homogéneos , basta con observar un único punto para determinar si el grupo topológico es discreto. En particular, un grupo topológico es discreto solo si el singleton que contiene la identidad es un conjunto abierto .

Un grupo discreto es lo mismo que un grupo de Lie de dimensión cero ( los grupos discretos incontables no son segundos contables , por lo que los autores que requieren que los grupos de Lie tengan esta propiedad no consideran a estos grupos como grupos de Lie). El componente identidad de un grupo discreto es solo el subgrupo trivial, mientras que el grupo de componentes es isomorfo al grupo mismo.

Como la única topología de Hausdorff en un conjunto finito es la discreta, un grupo topológico de Hausdorff finito debe ser necesariamente discreto. De ello se deduce que todo subgrupo finito de un grupo de Hausdorff es discreto.

Un subgrupo discreto H de G es cocompacto si existe un subconjunto compacto K de G tal que HK = G .

Los subgrupos normales discretos desempeñan un papel importante en la teoría de grupos de recubrimiento y grupos localmente isomorfos. Un subgrupo normal discreto de un grupo conexo G se encuentra necesariamente en el centro de G y, por lo tanto, es abeliano .

Otras propiedades :

• Cada grupo discreto está totalmente desconectado.
• Cada subgrupo de un grupo discreto es discreto.
• Todo cociente de un grupo discreto es discreto.
• El producto de un número finito de grupos discretos es discreto.
• Un grupo discreto es compacto si y sólo si es finito.
• Cada grupo discreto es localmente compacto .
• Cada subgrupo discreto de un grupo de Hausdorff está cerrado.
• Cada subgrupo discreto de un grupo de Hausdorff compacto es finito.

• Los grupos de frisos y los grupos de papel tapiz son subgrupos discretos del grupo de isometría del plano euclidiano. Los grupos de papel tapiz son cocompactos, pero los grupos de frisos no lo son.
• Un grupo cristalográfico suele ser un subgrupo cocompacto y discreto de las isometrías de algún espacio euclidiano. Sin embargo, a veces un grupo cristalográfico puede ser un subgrupo cocompacto y discreto de un grupo de Lie nilpotente o soluble .
• Todo grupo de triángulos T es un subgrupo discreto del grupo de isometría de la esfera (cuando T es finito), del plano euclidiano (cuando T tiene un subgrupo Z  +  Z de índice finito ), o del plano hiperbólico .
• Los grupos fucsianos son, por definición, subgrupos discretos del grupo de isometría del plano hiperbólico.
  • Un grupo fuchsiano que preserva la orientación y actúa sobre el modelo del semiplano superior del plano hiperbólico es un subgrupo discreto del grupo de Lie PSL(2, R ), el grupo de isometrías que preservan la orientación del modelo del semiplano superior del plano hiperbólico.
  • Un grupo fuchsiano a veces se considera como un caso especial de un grupo kleiniano , al incrustar el plano hiperbólico isométricamente en un espacio hiperbólico tridimensional y extender la acción del grupo en el plano a todo el espacio.
  • El grupo modular PSL(2, Z ) se considera un subgrupo discreto de PSL(2, R ). El grupo modular es una red en PSL(2, R ), pero no es cocompacto.
• Los grupos kleinianos son, por definición, subgrupos discretos del grupo de isometría del 3-espacio hiperbólico . Entre ellos se encuentran los grupos cuasi-fucsianos .
  • Un grupo kleiniano que preserva la orientación y actúa sobre el modelo de espacio de la mitad superior del 3-espacio hiperbólico es un subgrupo discreto del grupo de Lie PSL(2, C ), el grupo de isometrías que preserva la orientación del modelo de espacio de la mitad superior del 3-espacio hiperbólico.
• Una red en un grupo de Lie es un subgrupo discreto tal que la medida de Haar del espacio cociente es finita.

• grupo puntual cristalográfico
• subgrupo de congruencia
• grupo aritmético
• teoría de grupos geométricos
• teoría de grupos computacionales
• libremente discontinuo
• conjunto regular gratuito

• Medios relacionados con Grupos discretos en Wikimedia Commons