Compactificación de Bohr

En matemáticas , la compactificación de Bohr de un grupo topológico G es un grupo topológico de Hausdorff compacto H que puede asociarse canónicamente a G. Su importancia radica en la reducción de la teoría de funciones casi periódicas uniformes en G a la teoría de funciones continuas en H. El concepto recibe su nombre de Harald Bohr, quien fue pionero en el estudio de funciones casi periódicas en la línea real .

Dado un grupo topológico G , la compactificación de Bohr de G es un grupo topológico de Hausdorff compacto Bohr ( G ) y un homomorfismo continuo ^[1]

b : G → Bohr ( G )

que es universal con respecto a los homomorfismos en grupos compactos de Hausdorff; esto significa que si K es otro grupo topológico compacto de Hausdorff y

f : G → K

es un homomorfismo continuo, entonces hay un homomorfismo continuo único

Bohr ( f ): Bohr ( G ) → K

tal que f = Bohr ( f ) ∘ b .

Teorema . La compactificación de Bohr existe ^{[2] [3]} y es única salvo isomorfismo.

Denotaremos la compactificación de Bohr de G por Bohr ( G ) y la función canónica por

${\displaystyle \mathbf {b} :G\rightarrow \mathbf {Bohr} (G).}$

La correspondencia G ↦ Bohr ( G ) define un funtor covariante en la categoría de grupos topológicos y homomorfismos continuos.

La compactificación de Bohr está íntimamente relacionada con la teoría de representación unitaria de dimensión finita de un grupo topológico. El núcleo de b consiste exactamente en aquellos elementos de G que no pueden separarse de la identidad de G mediante representaciones unitarias de dimensión finita .

La compactificación de Bohr también reduce muchos problemas en la teoría de funciones casi periódicas en grupos topológicos a los de funciones en grupos compactos.

Una función compleja continua acotada f en un grupo topológico G es uniformemente casi periódica si y solo si el conjunto de traslaciones derechas _g f donde

${\displaystyle [{}_{g}f](x)=f(g^{-1}\cdot x)}$

es relativamente compacto en la topología uniforme ya que g varía a través de G .

Teorema . Una función compleja continua acotada f en G es uniformemente casi periódica si y solo si existe una función continua f ₁ en Bohr ( G ) (que está determinada de manera única) tal que

${\displaystyle f=f_{1}\circ \mathbf {b} .}$^[4]

Los grupos topológicos para los cuales la aplicación de compactificación de Bohr es inyectiva se denominan grupos MAP (o grupos casi periódicos máximos ). Por ejemplo, todos los grupos abelianos, todos los grupos compactos y todos los grupos libres son MAP. ^[5] En el caso de que G sea un grupo localmente compacto conexo, los grupos MAP están completamente caracterizados: son precisamente productos de grupos compactos con grupos vectoriales de dimensión finita.

• Espacio compacto  – Tipo de espacio matemático
• Compactificación (matemáticas)  : Incorporación de un espacio topológico en un espacio compacto como un subconjunto denso
• Conjunto puntiagudo  : concepto básico de la teoría de conjuntos
• Compactificación de Stone-Čech  : una función universal de un espacio topológico X a un espacio de Hausdorff compacto βX, tal que cualquier función de X a un espacio de Hausdorff compacto se factoriza a través de βX de manera única; si X es Tichonoff, entonces X es un subespacio denso de βXPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Compactificación de Wallman  : compactificación de espacios topológicos T ₁

• "Compactificación de Bohr", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]