Grupo triangular

En matemáticas , un grupo triangular es un grupo que puede representarse geométricamente mediante secuencias de reflexiones sobre los lados de un triángulo . El triángulo puede ser un triángulo euclidiano ordinario, un triángulo en la esfera o un triángulo hiperbólico . Cada grupo triangular es el grupo de simetría de un recubrimiento del plano euclidiano , la esfera o el plano hiperbólico mediante triángulos congruentes llamados triángulos de Möbius , cada uno de los cuales constituye un dominio fundamental para la acción.

Sean l , m , n enteros mayores o iguales a 2. Un grupo triangular Δ( l , m , n ) es un grupo de movimientos del plano euclidiano, la esfera bidimensional, el plano proyectivo real o el plano hiperbólico generados por las reflexiones en los lados de un triángulo con ángulos π/ l , π/ m y π/ n (medidos en radianes ). El producto de las reflexiones en dos lados adyacentes es una rotación por un ángulo que es el doble del ángulo entre esos lados, 2π/ l , 2π/ m y 2π/ n . Por lo tanto, si las reflexiones generadoras se denominan a , b , c y los ángulos entre ellas en el orden cíclico son los dados anteriormente, entonces se cumplen las siguientes relaciones:

1. ${\displaystyle a^{2}=b^{2}=c^{2}=1}$y
2. ${\displaystyle (ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1.}$

Es un teorema que todas las demás relaciones entre a , b , c son consecuencias de estas relaciones y que Δ( l , m , n ) es un grupo discreto de movimientos del espacio correspondiente. Por lo tanto, un grupo triangular es un grupo de reflexión que admite una presentación de grupo.

${\displaystyle \Delta (l,m,n)=\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1\rangle .}$

Un grupo abstracto con esta presentación es un grupo de Coxeter con tres generadores.

Dados cualesquiera números naturales l , m , n > 1, existe exactamente una de las geometrías clásicas bidimensionales (euclidiana, esférica o hiperbólica) que admite un triángulo con los ángulos (π/l, π/m, π/n), y el espacio se cubre mediante reflexiones de dicho triángulo. La suma de los ángulos del triángulo determina el tipo de geometría según el teorema de Gauss-Bonnet : es euclidiana si la suma de los ángulos es exactamente π, esférica si es mayor que π e hiperbólica si es estrictamente menor que π. Además, cualesquiera dos triángulos con los ángulos dados son congruentes. Cada grupo de triángulos determina un teselado, que convencionalmente se colorea con dos colores, de modo que dos teselas adyacentes cualesquiera tengan colores opuestos.    

En términos de los números l , m , n > 1 existen las siguientes posibilidades.    

Denotemos por D ( l , m , n ) el subgrupo de índice 2 en Δ(l,m,n) generado por palabras de longitud par en los generadores. Dichos subgrupos se denominan a veces grupos triangulares "ordinarios" ^{[ 2 ]} o grupos de von Dyck , en honor a Walther von Dyck . Para triángulos esféricos, euclidianos e hiperbólicos, estos corresponden a los elementos del grupo que preservan la orientación del triángulo: el grupo de rotaciones. Para triángulos proyectivos (elípticos), no pueden interpretarse de esta manera, ya que el plano proyectivo no es orientable, por lo que no existe la noción de "preservación de la orientación". Sin embargo, las reflexiones invierten localmente la orientación (y toda variedad es localmente orientable, porque es localmente euclidiana): fijan una línea y en cada punto de la línea son una reflexión respecto de ella. ^{[ 3 ]}

El grupo D ( l , m , n ) se define mediante la siguiente presentación:

${\displaystyle D(l,m,n)=\langle x,y\mid x^{l},y^{m},(xy)^{n}\rangle .}$

En términos de los generadores anteriores, estos son x = ab, y = ca, yx = cb . Geométricamente, los tres elementos x , y , xy corresponden a rotaciones de 2π/ l , 2π/ m y 2π/ n alrededor de los tres vértices del triángulo.

Nótese que D ( l , m , n ) ≅ D ( m , l , n ) ≅ D ( n , m , l ), ​​por lo que D ( l , m , n ) es independiente del orden de l , m , n .

Un grupo hiperbólico de von Dyck es un grupo fuchsiano , un grupo discreto que consta de isometrías del plano hiperbólico que preservan la orientación.

Los grupos triangulares conservan un recubrimiento mediante triángulos, concretamente un dominio fundamental para la acción (el triángulo definido por las líneas de reflexión), denominado triángulo de Möbius , y se definen mediante una terna de enteros, ( l , m , n ), donde los enteros corresponden a triángulos (2l , 2m , 2n ) que convergen en un vértice. También existen recubrimientos mediante triángulos superpuestos, que corresponden a triángulos de Schwarz con números racionales ( l / a , m / b , n / c ), cuyos denominadores son coprimos con los numeradores. Esto corresponde a aristas que se encuentran en ángulos de aπ / l (respectivamente), lo que a su vez corresponde a una rotación de 2aπ / l (respectivamente), de orden l , siendo así idéntica como elemento abstracto del grupo, pero distinta cuando se representa mediante una reflexión.

Por ejemplo, el triángulo de Schwarz (2 3 3) produce un recubrimiento de la esfera con densidad 1, mientras que el triángulo (2 3/2 3) produce un recubrimiento de la esfera con densidad 3, pero con el mismo grupo abstracto. Estas simetrías de recubrimientos superpuestos no se consideran grupos triangulares.

Los grupos triangulares se remontan al menos a la presentación del grupo icosaédrico como el grupo triangular (rotacional) (2,3,5) por William Rowan Hamilton en 1856, en su artículo sobre cálculo icosiano . ^{[ 4 ]}

Los grupos triangulares surgen en la geometría aritmética . El grupo modular es generado por dos elementos, S y T , sujetos a las relaciones S ² = ( ST )³ = 1 (sin relación en T ), es el grupo triangular rotacional (2,3,∞) y se mapea a todos los grupos triangulares (2,3, n ) agregando la relación T ⁿ = 1. Más generalmente, el grupo de Hecke H _q es generado por dos elementos, S y T , sujetos a las relaciones S ² = ( ST ) ^q = 1 (sin relación en T ), es el grupo triangular rotacional (2, q ,∞), y se mapea a todos los grupos triangulares (2, q , n ) agregando la relación T ⁿ = 1 el grupo modular es el grupo de Hecke H ₃ . En la teoría de los dibujos infantiles de Grothendieck , una función de Belyi da lugar a una teselación de una superficie de Riemann por dominios de reflexión de un grupo triangular.

Los 26 grupos esporádicos son cocientes de grupos triangulares, ^{[ 6 ]} de los cuales 12 son grupos de Hurwitz (cocientes del grupo (2,3,7)).

• teoría geométrica de grupos
• Triángulo de Schwarz
• El mapa de triángulos de Schwarz es un mapa de triángulos en el semiplano superior .

• Imágenes de fondo de escritorio de grupos triangulares de Elizabeth R. Chen (2010)

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