subdivisión baricéntrica

En matemáticas , la subdivisión baricéntrica es un método estándar para subdividir un simplex dado en otros más pequeños. Su extensión a complejos simpliciales es un método canónico para refinarlos. Por lo tanto, la subdivisión baricéntrica es una herramienta importante en topología algebraica .

La subdivisión baricéntrica es una operación sobre complejos simpliciales. En topología algebraica, a veces resulta útil reemplazar los espacios originales con complejos simpliciales mediante triangulaciones: esta sustitución permite asignar invariantes combinatorios, como la característica de Euler, a los espacios. Cabe preguntarse si existe una forma análoga de reemplazar las funciones continuas definidas en los espacios topológicos con funciones lineales en los símplices y homotópicas a las aplicaciones originales (véase también aproximación simplicial). En general, dicha asignación requiere un refinamiento del complejo dado, es decir, reemplazar símplices mayores por una unión de símplices menores. Una forma estándar de llevar a cabo dicho refinamiento es la subdivisión baricéntrica. Además, la subdivisión baricéntrica induce aplicaciones en grupos de homología y resulta útil para cuestiones computacionales (véase Excision y la secuencia de Mayer-Vietoris ).

Sea un complejo simplicial geométrico. Se dice que un complejo es una subdivisión de si ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

• cada simplex de está contenido en un simplex de${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• cada símplex de es una unión finita de símplexes de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$

Estas condiciones implican que y son iguales como conjuntos y como espacios topológicos, solo cambia la estructura simplicial. ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$

Para un símplex generado por puntos , el baricentro se define como el punto . Para definir la subdivisión, consideraremos un símplex como un complejo simplicial que contiene un único símplex de dimensión máxima, es decir, el propio símplex. La subdivisión baricéntrica de un símplex se puede definir inductivamente a partir de su dimensión. ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle p_{0},...,p_{n}}$${\displaystyle b_{\Delta }={\frac {1}{n+1}}(p_{0}+p_{1}+...+p_{n})}$

Para los puntos, es decir, los símplices de dimensión 0, la subdivisión baricéntrica se define como el propio punto.

Supongamos entonces que para un simplex de dimensión sus caras de dimensión ya están divididas. Por lo tanto, existen símplices que cubren . La subdivisión baricéntrica se define entonces como el complejo simplicial geométrico cuyos símplices máximos de dimensión son cada uno una envoltura convexa de para un par para algún , por lo que habrá símplices que cubren . ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta _{i}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \Delta _{i,1},\;\Delta _{i,2}...,\Delta _{i,n!}}$${\displaystyle \Delta _{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta _{i,j}\cup b_{\Delta }}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle i\in {0,...,n},\;j\in {1,...,n!}}$${\displaystyle (n+1)!}$${\displaystyle \Delta }$

Se puede generalizar la subdivisión para complejos simpliciales cuyos símplices no están todos contenidos en un único símplice de dimensión máxima, es decir, complejos simpliciales que no corresponden geométricamente a un solo símplice. Esto se puede lograr realizando los pasos descritos anteriormente simultáneamente para cada símplice de dimensión máxima. La inducción se basará entonces en el -ésimo esqueleto del complejo simplicial. Esto permite realizar la subdivisión más de una vez. ^{[ 2 ]}${\displaystyle n}$

La operación de subdivisión baricéntrica se puede aplicar a cualquier politopo convexo de cualquier dimensión, produciendo otro politopo convexo de la misma dimensión. ^{[ 3 ]} En esta versión de la subdivisión baricéntrica, no es necesario que el politopo forme un complejo simplicial: puede tener caras que no sean símplices. Esta es la operación dual de la omnitrusión . ^{[ 4 ]} Los vértices de la subdivisión baricéntrica corresponden a las caras de todas las dimensiones del politopo original. Dos vértices son adyacentes en la subdivisión baricéntrica cuando corresponden a dos caras de dimensiones diferentes con la cara de menor dimensión incluida en la cara de mayor dimensión. Las facetas de la subdivisión baricéntrica son símplices, correspondientes a las banderas del politopo original.

Por ejemplo, la subdivisión baricéntrica de un cubo , o de un octaedro regular , es el dodecaedro disdiakis . ^{[ 5 ]} Los vértices de grado 6, grado 4 y grado 8 del dodecaedro disdiakis corresponden a los vértices, aristas y caras cuadradas del cubo, respectivamente.

Sea un simplex y definamos . Una forma de medir la malla de un complejo geométrico simplicial es tomar el diámetro máximo de los símplices contenidos en el complejo. Sea un simplex de dimensión que proviene del recubrimiento de obtenido mediante la subdivisión baricéntrica. Entonces, se cumple la siguiente estimación: ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {diam} (\Delta )=\operatorname {max} {\Bigl \{}\|a-b\|_{\mathbb {R} ^{n}}\;{\Big |}\;a,b\in \Delta {\Bigr \}}}$${\displaystyle \Delta '}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \operatorname {diam} (\Delta ')\leq \left({\frac {n}{n+1}}\right)\;\operatorname {diam} (\Delta )}$Por lo tanto, al aplicar la subdivisión baricéntrica con la suficiente frecuencia, el borde más grande puede hacerse tan pequeño como se desee. ^{[ 6 ]}

Para ciertas afirmaciones en la teoría de la homología, se desea reemplazar los complejos simpliciales por una subdivisión. A nivel de los grupos de homología simplicial, se requiere una aplicación del grupo de homología del complejo simplicial original a los grupos del complejo subdividido. En efecto, se puede demostrar que para cualquier subdivisión de un complejo simplicial finito existe una secuencia única de aplicaciones entre los grupos de homología tal que para cada una de las aplicaciones se cumple y tal que las aplicaciones inducen endomorfismos de complejos de cadena. Además, la aplicación inducida es un isomorfismo: la subdivisión no cambia la homología del complejo. ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {K'}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \lambda _{n}:C_{n}({\mathcal {K}})\rightarrow C_{n}({\mathcal {K'}})}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \lambda (\Delta )\subset \Delta }$

Para calcular los grupos de homología singulares de un espacio topológico, se consideran funciones continuas donde denota el símplex estándar de dimensión . De forma análoga a como se describió para los grupos de homología simpliciales, la subdivisión baricéntrica puede interpretarse como un endomorfismo de complejos de cadenas singulares. Aquí también existe un operador de subdivisión que envía una cadena a una combinación lineal donde la suma recorre todos los símplices que aparecen en el recubrimiento de mediante la subdivisión baricéntrica, y para todos tales . Este mapa también induce un endomorfismo de complejos de cadenas. ^{[ 7 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\rightarrow X}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda _{n}:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(X)}$${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$${\displaystyle \sum \varepsilon _{B_{\Delta }}\sigma \vert _{B_{\Delta }}}$${\displaystyle B_{\Delta }}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \varepsilon _{B_{\Delta }}\in \{1,-1\}}$${\displaystyle B_{\Delta }}$

La subdivisión baricéntrica puede aplicarse a complejos simpliciales completos, como en el teorema de aproximación simplicial , o bien puede utilizarse para subdividir símplices geométricos. Por lo tanto, es crucial para enunciados en la teoría de homología singular; véase la secuencia de Mayer-Vietoris y la escisión .

Sean complejos simpliciales abstractos sobre los conjuntos , . Una aplicación simplicial es una función que asigna a cada símplice de un símplice de . Mediante una extensión afín -lineal sobre los símplices, induce una aplicación entre las realizaciones geométricas de los complejos. Cada punto de un complejo geométrico se encuentra en el interior de exactamente un símplice, su soporte. Consideremos ahora una aplicación continua . Se dice que una aplicación simplicial es una aproximación simplicial de si y solo si cada es asignada por sobre el soporte de en . Si existe tal aproximación, se puede construir una homotopía que transforma en definiéndola en cada símplice; allí, siempre existe, porque los símplices son contraíbles. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle V_{K}}$${\displaystyle V_{L}}$${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$${\displaystyle g:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in {\mathcal {K}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

El teorema de aproximación simplicial garantiza para toda función continua la existencia de una aproximación simplicial al menos después del refinamiento de , por ejemplo, reemplazando por su subdivisión baricéntrica iterada. ^{[ 8 ]} El teorema desempeña un papel importante para ciertas afirmaciones en topología algebraica con el fin de reducir el comportamiento de las aplicaciones continuas al de las aplicaciones simpliciales, como por ejemplo en el teorema del punto fijo de Lefschetz.${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

El número de Lefschetz es una herramienta útil para determinar si una función continua admite puntos fijos. Este dato se calcula de la siguiente manera: Supongamos que y son espacios topológicos que admiten triangulaciones finitas. Una aplicación continua induce homomorfismos entre sus grupos de homología simplicial con coeficientes en un cuerpo . Estas son aplicaciones lineales entre espacios vectoriales , por lo que se puede determinar su traza y su suma alternada. ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle f_{i}:H_{i}(X,K)\rightarrow H_{i}(Y,K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle tr_{i}}$

${\displaystyle L_{K}(f)=\sum _{i}(-1)^{i}tr_{i}(f)\in K}$

Se denomina número de Lefschetz de . Si , este número es la característica de Euler de . El teorema del punto fijo establece que siempre que , tiene un punto fijo. En la demostración, esto se muestra primero solo para aplicaciones simpliciales y luego se generaliza para cualquier función continua mediante el teorema de aproximación. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f=id}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L_{K}(f)\neq 0}$${\displaystyle f}$

Ahora bien, el teorema del punto fijo de Brouwer es un caso especial de esta afirmación. Sea un endomorfismo de la bola unitaria. Para todos sus grupos de homología se anulan, y es siempre la identidad, por lo que , por lo que tiene un punto fijo. ^{[ 9 ]}${\displaystyle f:\mathbb {D} ^{n}\rightarrow \mathbb {D} ^{n}}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle H_{k}(\mathbb {D} ^{n})}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle L_{K}(f)=tr_{0}(f)=1\neq 0}$${\displaystyle f}$

La sucesión de Mayer-Vietoris se utiliza frecuentemente para calcular grupos de homología singulares y da lugar a argumentos inductivos en topología. La afirmación relacionada puede formularse de la siguiente manera:

Sea una cubierta abierta del espacio topológico . ${\displaystyle X=A\cup B}$${\displaystyle X}$

Existe una secuencia exacta

${\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots }$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.}$

donde consideramos grupos de homología singular, son incrustaciones y denota la suma directa de grupos abelianos. ${\displaystyle i:A\cap B\hookrightarrow A,\;j:A\cap B\hookrightarrow B,\;k:A\hookrightarrow X,\;l:B\hookrightarrow X}$${\displaystyle \oplus }$

Para la construcción de grupos de homología singulares se consideran aplicaciones continuas definidas en el símplex estándar . Un obstáculo en la demostración del teorema son las aplicaciones tales que su imagen no está contenida ni en ni en . Esto se puede solucionar utilizando el operador de subdivisión: Al considerar las imágenes de tales aplicaciones como la suma de imágenes de símplexes más pequeños, que se encuentran en o , se puede demostrar que la inclusión induce un isomorfismo en homología que es necesario para comparar los grupos de homología. ^{[ 10 ]}${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\hookrightarrow C_{n}(X)}$

La escisión puede utilizarse para determinar grupos de homología relativos . En ciertos casos, permite prescindir de subconjuntos de espacios topológicos para sus grupos de homología y, por lo tanto, simplifica su cálculo:

Sea un espacio topológico y sean subconjuntos, donde es cerrado tal que . Entonces la inclusión induce un isomorfismo para todo${\displaystyle X}$${\displaystyle Z\subset A\subset X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z\subset A^{\circ }}$${\displaystyle i:(X\setminus Z,A\setminus Z)\hookrightarrow (X,A)}$${\displaystyle H_{k}(X\setminus Z,A\setminus Z)\rightarrow H_{k}(X,A)}$${\displaystyle k\geq 0.}$

Nuevamente, en homología singular, pueden aparecer mapas cuya imagen no forme parte de los subconjuntos mencionados en el teorema. Análogamente, estos pueden entenderse como una suma de imágenes de símplices más pequeños obtenidos mediante la subdivisión baricéntrica. ^{[ 11 ]}${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$