Subgrupo característico

En matemáticas , particularmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de grupos , un subgrupo característico es un subgrupo que es mapeado a sí mismo por cada automorfismo del grupo padre . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Debido a que cada mapeo de conjugación es un automorfismo interno , todo subgrupo característico es normal ; aunque lo contrario no está garantizado. Ejemplos de subgrupos característicos incluyen el subgrupo conmutador y el centro de un grupo .

Definición

Un subgrupo $H$ de un grupo $G$ se llama subgrupo característico si para cada automorfismo $φ$ de $G$ , se tiene $φ(H) \leq H$ ; entonces se escribe $H char G$ .

Sería equivalente a exigir la condición más fuerte $φ(H)$ = $H$ para cada automorfismo $φ$ de $G$ , porque $φ -1 (H) \leq H$ implica la inclusión inversa $H \leq φ(H)$ .

Propiedades básicas

Dado $H char G$ , cada automorfismo de $G$ induce un automorfismo del grupo cociente $G/H$ , que produce un homomorfismo $Aut(G) \to Aut(G / H)$ .

Si $G$ tiene un subgrupo único H $de$ un índice dado, entonces $H$ es característico en $G.$

Conceptos relacionados

subgrupo normal

Un subgrupo de $H$ que es invariante bajo todos los automorfismos internos se llama normal ; también, un subgrupo invariante.

\forallφ \in Inn(GRAMO)： φ(H) \leq H

Dado que $Inn(G) \subseteq Aut(G)$ y un subgrupo característico es invariante bajo todos los automorfismos, todo subgrupo característico es normal. Sin embargo, no todo subgrupo normal es característico. He aquí varios ejemplos:

Sea $H$ un grupo no trivial y $G$ su producto directo , $H \times H.$ Entonces, los subgrupos ${1} \times H$ y $H \times {1}$ son ambos normales, pero ninguno es característico. En particular, ninguno de estos subgrupos es invariante bajo el automorfismo $(x, y) \to (y, x)$ , que intercambia los dos factores.
Para un ejemplo concreto de esto, sea $V$ el grupo de Klein de cuatro dimensiones (que es isomorfo al producto directo, $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ ). Dado que este grupo es abeliano , cada subgrupo es normal; pero cada permutación de los 3 elementos no identidad es un automorfismo de $V$ , por lo que los 3 subgrupos de orden 2 no son característicos. Aquí $V = {e, a, b, ab}$ . Consideremos $H = {e, a}$ y consideremos el automorfismo, $T(e) = e, T(a) = b, T(b) = a, T(ab) = ab$ ; entonces $T(H)$ no está contenido en $H$ .
En el grupo de cuaterniones de orden 8, cada uno de los subgrupos cíclicos de orden 4 es normal, pero ninguno de ellos es característico. Sin embargo, el subgrupo ${1, -1}$ es característico, ya que es el único subgrupo de orden 2.
Si $n$ > 2 es par, el grupo diedral de orden $2 n$ tiene 3 subgrupos de índice 2, todos ellos normales. Uno de ellos es el subgrupo cíclico, que es característico. Los otros dos subgrupos son diedrales; estos se obtienen mediante una permutación de un automorfismo externo del grupo padre y, por lo tanto, no son característicos.

Subgrupo estrictamente característico

Asubgrupo estrictamente característico , o unUn subgrupo distinguido es aquel que es invariante bajoendomorfismos sobreyectivos . Paragrupos finitos, la sobreyectividad de un endomorfismo implica inyectividad, por lo que un endomorfismo sobreyectivo es un automorfismo; por lo tanto, serestrictamente característicoes equivalente a sercaracterístico. Esto ya no se cumple para grupos infinitos.

subgrupo totalmente característico

Para una restricción aún más fuerte, un subgrupo completamente característico (también, un subgrupo completamente invariante ) de un grupo G , es un subgrupo H ≤ G que es invariante bajo cada endomorfismo de $G$ (y no solo bajo cada automorfismo):

\forallφ \in Fin(GRAMO)： φ(H) \leq H

.

Todo grupo tiene a sí mismo (el subgrupo impropio) y al subgrupo trivial como dos de sus subgrupos plenamente característicos. El subgrupo conmutador de un grupo es siempre un subgrupo plenamente característico. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Cada endomorfismo de $G$ induce un endomorfismo de $G/H$ , que produce un mapa $End(G) \to End(G / H)$ .

subgrupo verbal

Una restricción aún más fuerte es el subgrupo verbal , que es la imagen de un subgrupo completamente invariante de un grupo libre bajo un homomorfismo. En términos más generales, cualquier subgrupo verbal es siempre completamente característico. Para cualquier grupo libre reducido y, en particular, para cualquier grupo libre , también se cumple lo contrario: todo subgrupo completamente característico es verbal.

Transitividad

La propiedad de ser característico o completamente característico es transitiva ; si $H$ es un subgrupo (completamente) característico de $K$ , y $K$ es un subgrupo (completamente) característico de $G$ , entonces $H$ es un subgrupo (completamente) característico de $G.$

H char K char G \Rightarrow H char G

.

Además, si bien la normalidad no es transitiva, es cierto que todo subgrupo característico de un subgrupo normal es normal.

H char K ⊲ G \Rightarrow H ⊲ G

De manera similar, si bien ser estrictamente característico (distinguido) no es transitivo, es cierto que todo subgrupo completamente característico de un subgrupo estrictamente característico es estrictamente característico.

Sin embargo , a diferencia de la normalidad, si $H char G$ y $K$ es un subgrupo de $G$ que contiene $H$ , entonces en general $H$ no es necesariamente característico en $K.$

H char G, H < K < G ⇏ H char K

Contenciones

Todo subgrupo que sea completamente característico es ciertamente estrictamente característico y característico; pero un subgrupo característico o incluso estrictamente característico no tiene por qué ser completamente característico.

El centro de un grupo es siempre un subgrupo estrictamente característico, pero no siempre es completamente característico. Por ejemplo, el grupo finito de orden 12, $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , tiene un homomorfismo que toma $(π, y)$ a $((1, 2) y, 0)$ , que toma el centro, $1\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , en un subgrupo de $Sym(3) \times 1$ , que se encuentra con el centro solo en la identidad.

La relación entre estas propiedades de subgrupo se puede expresar como:

Subgrupo ⇐ Subgrupo normal ⇐ Subgrupo característico ⇐ Subgrupo estrictamente característico ⇐ Subgrupo totalmente característico ⇐ Subgrupo verbal

Ejemplos

Ejemplo finito

Consideremos el grupo $G=S_{3}\times \mathbb {Z} _{2}$ (el grupo de orden 12 que es el producto directo del grupo simétrico de orden 6 y un grupo cíclico de orden 2). El centro de $G$ es isomorfo a su segundo factor $\mathbb {Z} _ {2}$ . Nótese que el primer factor, $S_{3}$ , contiene subgrupos isomorfos a $\mathbb {Z} _ {2}$ , por ejemplo ${e,(12)}$ ; dejar $f:\mathbb {Z} _{2}\rightarrow {\text{S}}_{3}$ sea el mapeo de morfismo $\mathbb {Z} _ {2}$ sobre el subgrupo indicado. Luego la composición de la proyección de $G$ en su segundo factor $\mathbb {Z} _ {2}$ , seguido de $f$ , seguido de la inclusión de $S_{3}$ en $G$ como su primer factor, proporciona un endomorfismo de $G$ bajo la cual la imagen del centro, $\mathbb {Z} _ {2}$ , no está contenido en el centro, por lo que aquí el centro no es un subgrupo completamente característico de $G$ .

Grupos cíclicos

Cada subgrupo de un grupo cíclico es característico.

functores de subgrupos

El subgrupo derivado (o subgrupo conmutador) de un grupo es un subgrupo verbal. El subgrupo de torsión de un grupo abeliano es un subgrupo totalmente invariante.

Grupos topológicos

El componente identidad de un grupo topológico es siempre un subgrupo característico.

Véase también

Grupo característicamente simple

Referencias

↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
↑ Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
↑ Scott, WR (1987). Teoría de grupos . Dover. págs. 45–46 . ISBN 0-486-65377-3.
↑ Magnus, Guillermo; Karrass, Abraham; Solitario, Donald (2004). Teoría combinatoria de grupos . Dover. págs. 74 a 85. ISBN 0-486-43830-9.

[1] Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.

[2] Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Springer . ISBN 0-387-95385-X.

[3] Scott, WR (1987). Teoría de grupos . Dover. págs. 45–46 . ISBN 0-486-65377-3.

[4] Magnus, Guillermo; Karrass, Abraham; Solitario, Donald (2004). Teoría combinatoria de grupos . Dover. págs. 74 a 85. ISBN 0-486-43830-9.

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