Grupo de automorfismos externos

En matemáticas , el grupo de automorfismos externos de un grupo G es el cociente Aut ( G )  /  Inn( G ) , donde Aut( G ) es el grupo de automorfismos de G e Inn( G ) es el subgrupo formado por los automorfismos internos . El grupo de automorfismos externos se suele denotar como Out( G ) . Si Out( G ) es trivial y G tiene un centro trivial , entonces se dice que G es completo .

Un automorfismo de un grupo que no es interno se llama automorfismo externo . ^{[ 1 ]} Las clases laterales de Inn( G ) con respecto a los automorfismos externos son entonces los elementos de Out( G ) ; este es un ejemplo del hecho de que los cocientes de grupos no son, en general, (isomorfos a) subgrupos. Si el grupo de automorfismos internos es trivial (cuando un grupo es abeliano), el grupo de automorfismos y el grupo de automorfismos externos se identifican naturalmente; es decir, el grupo de automorfismos externos actúa sobre el grupo.

Por ejemplo, para el grupo alternante , A _n , el grupo de automorfismos externos suele ser el grupo de orden 2, con las excepciones que se indican más adelante. Si consideramos A _n como un subgrupo del grupo simétrico , S _n , la conjugación por cualquier permutación impar es un automorfismo externo de A _n o, más precisamente, "representa la clase del automorfismo externo (no trivial) de A _n ", pero el automorfismo externo no corresponde a la conjugación por ningún elemento impar en particular , y todas las conjugaciones por elementos impares son equivalentes salvo conjugación por un elemento par.

La conjetura de Schreier afirma que Out( G ) siempre es un grupo resoluble cuando G es un grupo simple finito . Este resultado se considera cierto como corolario de la clasificación de grupos simples finitos , aunque no se conoce una demostración más sencilla.

El grupo de automorfismos externos es dual al centro en el siguiente sentido: la conjugación por un elemento de G es un automorfismo, que produce una aplicación σ  : G → Aut( G ) . El núcleo de la aplicación de conjugación es el centro, mientras que el conúcleo es el grupo de automorfismos externos (y la imagen es el grupo de automorfismos internos ). Esto se puede resumir mediante la secuencia exacta.

$${\displaystyle Z(G)\hookrightarrow G\,{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}\,\mathrm {Aut} (G)\twoheadrightarrow \mathrm {Out} (G)}$$

El grupo de automorfismos externos de un grupo actúa sobre las clases de conjugación y, por consiguiente, sobre la tabla de caracteres . Consulte los detalles en la tabla de caracteres: automorfismos externos .

Para los grupos de automorfismos externos de todos los grupos simples finitos, véase la lista de grupos simples finitos . Los grupos simples esporádicos y los grupos alternantes (excepto el grupo alternante A ₆ ; véase más abajo) tienen grupos de automorfismos externos de orden 1 o 2. El grupo de automorfismos externos de un grupo simple finito de tipo Lie es una extensión de un grupo de "automorfismos diagonales" (cíclicos excepto para D _n ( q ) , cuando tiene orden 4), un grupo de "automorfismos de cuerpos" (siempre cíclicos) y un grupo de "automorfismos de grafos" (de orden 1 o 2 excepto para D ₄ ( q ) , cuando es el grupo simétrico en 3 puntos). Estas extensiones no siempre son productos semidirectos , como muestra el caso del grupo alternante A ₆ ; en 2003 se dio un criterio preciso para que esto ocurriera. ^{[ 2 ]}

El grupo de automorfismos externos de un grupo simple finito en alguna familia infinita de grupos simples finitos casi siempre puede darse mediante una fórmula uniforme que funciona para todos los elementos de la familia. Hay una sola excepción a esto: ^{[ 3 ]} el grupo alternante A ₆ tiene un grupo de automorfismos externos de orden 4, en lugar de 2 como los otros grupos alternantes simples (dado por conjugación mediante una permutación impar ). De forma equivalente, el grupo simétrico S ₆ es el único grupo simétrico con un grupo de automorfismos externos no trivial.

${\displaystyle {\begin{aligned}n\neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})&=\mathrm {C} _{1}\\n\geq 3,\ n\neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})&=\mathrm {C} _{2}\\\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{6})&=\mathrm {C} _{2}\\\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{6})&=\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\end{aligned}}}$

Nótese que, en el caso de G = A ₆ = PSL(2, 9) , la secuencia 1 ⟶ G ⟶ Aut( G ) ⟶ Out( G ) ⟶ 1 no se divide. Un resultado similar se cumple para cualquier PSL(2, q ² ) , q impar.

Sea G un grupo reductivo conexo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado . Dos subgrupos de Borel cualesquiera son conjugados por un automorfismo interno, por lo que para estudiar los automorfismos externos basta con considerar aquellos que fijan un subgrupo de Borel dado. Asociado a dicho subgrupo de Borel hay un conjunto de raíces simples , y el automorfismo externo puede permutarlas, preservando la estructura del diagrama de Dynkin asociado . De esta forma, se puede identificar el grupo de automorfismos del diagrama de Dynkin de G con un subgrupo de Out( G ) .

D ₄ tiene un diagrama de Dynkin muy simétrico, que produce un gran grupo de automorfismos externos de Spin(8) , a saber, Out(Spin(8)) = S ₃ ; esto se llama trialidad .

La interpretación anterior de los automorfismos externos como simetrías de un diagrama de Dynkin se deriva del hecho general de que, para un álgebra de Lie compleja o real simple, 𝔤 , el grupo de automorfismos Aut( 𝔤 ) es un producto semidirecto de Inn( 𝔤 ) y Out( 𝔤 ) ; es decir, la sucesión exacta corta.

1 ⟶ Posada( 𝔤 ) ⟶ Auto ( 𝔤 ) ⟶ Salida( 𝔤 ) ⟶ 1

divisiones. En el caso simple complejo, este es un resultado clásico, ^{[ 4 ]} mientras que para las álgebras de Lie simples reales, este hecho se demostró tan recientemente como en 2010. ^{[ 5 ]}

El término automorfismo exterior se presta a juegos de palabras : el término automorfismo exterior se usa a veces para referirse al automorfismo exterior , y una geometría particular sobre la que actúa Out( F _n ) se llama espacio exterior .

• Grupo de clases de mapeo
• Salida( F _n )
• Espacio exterior

• ATLAS de Representaciones de Grupos Finitos-V3 , contiene mucha información sobre varias clases de grupos finitos (en particular, grupos simples esporádicos), incluido el orden de Out( G ) para cada grupo listado.