Clasificación de grupos simples finitos

En matemáticas , la clasificación de los grupos simples finitos (conocida popularmente como el enorme teorema ^{[ 1 ] [ 2 ]} ) es un resultado de la teoría de grupos que establece que todo grupo simple finito es cíclico , alternante , pertenece a una amplia clase infinita llamada grupos de tipo Lie , o bien es una de veintiséis excepciones, llamadas esporádicas (el grupo de Tits a veces se considera un grupo esporádico porque no es estrictamente un grupo de tipo Lie , ^{[ 3 ]} en cuyo caso habría 27 grupos esporádicos). La demostración consta de decenas de miles de páginas en varios cientos de artículos de revistas escritos por unos 100 autores, publicados principalmente entre 1955 y 2004.

Los grupos simples pueden considerarse los bloques de construcción básicos de todos los grupos finitos , de forma similar a como los números primos son los bloques de construcción básicos de los números naturales . El teorema de Jordan-Hölder es una forma más precisa de enunciar este hecho sobre los grupos finitos. Sin embargo, una diferencia significativa con la factorización entera es que dichos "bloques de construcción" no necesariamente determinan un grupo único, ya que puede haber muchos grupos no isomorfos con la misma serie de composición o, dicho de otro modo, el problema de extensión no tiene una solución única.

Daniel Gorenstein (1923–1992), Richard Lyons y Ronald Solomon están publicando gradualmente una versión simplificada y revisada de la demostración.

El teorema de clasificación tiene aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas, ya que las preguntas sobre la estructura de los grupos finitos (y su acción sobre otros objetos matemáticos) a veces se reducen a preguntas sobre grupos simples finitos. Gracias al teorema de clasificación, dichas preguntas pueden responderse en ocasiones analizando cada familia de grupos simples y cada grupo esporádico.

En 1983, Daniel Gorenstein anunció que todos los grupos simples finitos habían sido clasificados, pero esto fue prematuro, ya que había recibido información errónea sobre la demostración de la clasificación de los grupos cuasithin . La demostración completa de la clasificación fue anunciada por Aschbacher (2004) después de que Aschbacher y Smith publicaran una demostración de 1221 páginas para el caso cuasithin que faltaba.

Gorenstein ( 1982 , 1983 ) escribió dos volúmenes que describen la parte de la demostración correspondiente al rango bajo y a la característica impar, y Michael Aschbacher , Richard Lyons y Stephen D. Smith et al. ( 2011 ) escribieron un tercer volumen que abarca el caso restante de característica 2. La demostración se puede dividir en varias partes principales como sigue:

Los grupos simples de rango 2 bajo son en su mayoría grupos de tipo Lie de rango pequeño sobre campos de característica impar, junto con cinco grupos alternantes y siete de tipo 2 característico y nueve grupos esporádicos.

Los grupos simples de rango 2 pequeño incluyen:

• Grupos de rango 0 de orden 2, es decir, grupos de orden impar, que son todos resolubles mediante el teorema de Feit-Thompson .
• Grupos de 2-rango 1. Los 2-subgrupos de Sylow son cíclicos, lo cual es fácil de manejar usando el mapa de transferencia, o cuaterniones generalizados , que se manejan con el teorema de Brauer-Suzuki : en particular, no hay grupos simples de 2-rango 1 excepto el grupo cíclico de orden dos.
• Grupos de 2-rango 2. Alperin demostró que el subgrupo de Sylow debe ser diedral, cuasidihedral, envuelto o un 2-subgrupo de Sylow de U ₃ (4). El primer caso fue resuelto por el teorema de Gorenstein-Walter , que demostró que los únicos grupos simples son isomorfos a L ₂ ( q ) para q impar o A ₇ , el segundo y tercer caso fueron resueltos por el teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein , que implica que los únicos grupos simples son isomorfos a L ₃ ( q ) o U ₃ ( q ) para q impar o M ₁₁ , y el último caso fue resuelto por Lyons, quien demostró que U ₃ (4) es la única posibilidad simple.
• Grupos de rango seccional 2 como máximo 4, clasificados por el teorema de Gorenstein-Harada .

La clasificación de grupos pequeños de rango 2, especialmente los de rango máximo 2, hace un uso intensivo de la teoría de caracteres ordinarios y modulares, que casi nunca se utiliza directamente en otras partes de la clasificación.

Todos los grupos que no sean de rango 2 pequeño se pueden dividir en dos clases principales: grupos de tipo componente y grupos de tipo característica 2. Esto se debe a que si un grupo tiene un rango 2 seccional de al menos 5, MacWilliams demostró que sus subgrupos de Sylow de tipo 2 son conexos, y el teorema del equilibrio implica que cualquier grupo simple con subgrupos de Sylow de tipo 2 conexos es de tipo componente o de tipo característica 2. (Para grupos de rango 2 bajo, la demostración de esto falla, porque teoremas como el del functor señalizador solo funcionan para grupos con subgrupos abelianos elementales de rango de al menos 3).

Se dice que un grupo es de tipo componente si para algún centralizador C de una involución, C / O ( C ) tiene un componente (donde O ( C ) es el núcleo de C , el subgrupo normal máximo de orden impar). Estos son más o menos los grupos de tipo Lie de característica impar de rango grande, y grupos alternantes, junto con algunos grupos esporádicos. Un paso importante en este caso es eliminar la obstrucción del núcleo de una involución. Esto se logra mediante el teorema B , que establece que cada componente de C / O ( C ) es la imagen de un componente de C .

La idea es que estos grupos tienen un centralizador de involución con un componente que es un grupo cuasisimple más pequeño, que se puede suponer que ya se conoce por inducción. Así, para clasificar estos grupos, se toma cada extensión central de cada grupo simple finito conocido y se encuentran todos los grupos simples con un centralizador de involución que tiene este como componente. Esto da como resultado un número bastante grande de casos diferentes para verificar: no solo hay 26 grupos esporádicos y 16 familias de grupos de tipo Lie y los grupos alternantes, sino que también muchos de los grupos de rango pequeño o sobre cuerpos pequeños se comportan de manera diferente al caso general y deben tratarse por separado, y los grupos de tipo Lie de característica par e impar también son bastante diferentes.

Un grupo es de tipo característica 2 si el subgrupo de Fitting generalizado F *( Y ) de cada subgrupo local 2 Y es un 2-grupo. Como su nombre indica, estos son aproximadamente los grupos de tipo Lie sobre cuerpos de característica 2, además de algunos otros que son alternantes, esporádicos o de característica impar. Su clasificación se divide en los casos de rango pequeño y grande, donde el rango es el mayor rango de un subgrupo abeliano impar que normaliza un 2-subgrupo no trivial, que suele ser (pero no siempre) el mismo que el rango de una subálgebra de Cartan cuando el grupo es de tipo Lie en característica 2.

Los grupos de rango 1 son los grupos delgados, clasificados por Aschbacher, y los de rango 2 son los conocidos grupos quasithin , clasificados por Aschbacher y Smith. Estos corresponden aproximadamente a grupos de tipo Lie de rango 1 o 2 sobre campos de característica 2.

Los grupos de rango al menos 3 se subdividen en tres clases según el teorema de la tricotomía , demostrado por Aschbacher para rango 3 y por Gorenstein y Lyons para rango al menos 4. Las tres clases son grupos de tipo GF(2) (clasificados principalmente por Timmesfeld), grupos de "tipo estándar" para algún primo impar (clasificados por el teorema de Gilman-Griess y trabajos de otros autores) y grupos de unicidad, donde un resultado de Aschbacher implica que no existen grupos simples. El caso general de rango superior consiste principalmente en grupos de tipo Lie sobre cuerpos de característica 2 de rango al menos 3 o 4.

La parte principal de la clasificación produce una caracterización de cada grupo simple. A continuación, es necesario comprobar que existe un grupo simple para cada caracterización y que este es único. Esto genera una gran cantidad de problemas independientes; por ejemplo, las pruebas originales de existencia y unicidad del grupo monstruo sumaban unas 200 páginas, y la identificación de los grupos de Ree por Thompson y Bombieri fue una de las partes más difíciles de la clasificación. Muchas de las pruebas de existencia y algunas de las pruebas de unicidad para los grupos esporádicos originalmente utilizaban cálculos informáticos, la mayoría de los cuales han sido reemplazados posteriormente por pruebas manuales más breves.

En 1972, Gorenstein (1979 , Apéndice) anunció un programa para completar la clasificación de grupos simples finitos, que consta de los siguientes 16 pasos:

1. Grupos de rango 2 bajo. Esto fue realizado esencialmente por Gorenstein y Harada, quienes clasificaron los grupos con rango 2 seccional como máximo 4. La mayoría de los casos de rango 2 como máximo 2 ya se habían resuelto cuando Gorenstein anunció su programa.
2. La semisimplicidad de las capas 2. El problema consiste en demostrar que la capa 2 del centralizador de una involución en un grupo simple es semisimple.
3. Forma estándar en característica impar. Si un grupo tiene una involución con un componente 2 que es un grupo de tipo Lie de característica impar, el objetivo es demostrar que tiene un centralizador de involución en "forma estándar", lo que significa que un centralizador de involución tiene un componente que es de tipo Lie en característica impar y también tiene un centralizador de rango 1.
4. Clasificación de grupos de tipo impar. El problema consiste en demostrar que si un grupo tiene un centralizador de involución en "forma estándar", entonces es un grupo de tipo Lie de característica impar. Esto se resolvió mediante el teorema de involución clásico de Aschbacher .
5. Forma cuasi estándar
6. involuciones centrales
7. Clasificación de grupos alternantes.
8. Algunos grupos esporádicos
9. Grupos delgados. Los grupos finitos delgados simples, aquellos con rango p 2-local como máximo 1 para primos impares p , fueron clasificados por Aschbacher en 1978.
10. Grupos con un subgrupo fuertemente p-incrustado para p impar
11. El método del functor señalizador para primos impares. El problema principal consiste en demostrar un teorema del functor señalizador para functores señalizadores no resolubles. McBride lo resolvió en 1982.
12. Grupos de tipo característico p . Este es el problema de los grupos con un subgrupo 2-local fuertemente p- incrustado con p impar, que fue tratado por Aschbacher.
13. Grupos cuasithin. Un grupo cuasithin es aquel cuyos subgrupos 2-locales tienen rango p como máximo 2 para todos los primos impares p , y el problema consiste en clasificar los subgrupos simples de tipo característica 2. Este problema fue resuelto por Aschbacher y Smith en 2004.
14. Grupos de rango 3 local 2 bajo. Esto se resolvió esencialmente con el teorema de tricotomía de Aschbacher para grupos con e ( G )=3. El cambio principal es que el rango 3 local 2 se reemplaza por el rango p local 2 para primos impares.
15. Centralizadores de 3 elementos en forma estándar. Esto se logró esencialmente mediante el teorema de la tricotomía .
16. Clasificación de grupos simples de tipo característica 2. Esto se resolvió mediante el teorema de Gilman-Griess , reemplazando los elementos de orden 3 por elementos de orden p para los números primos impares.

Muchos de los elementos de la tabla siguiente provienen de Solomon (2001) . La fecha indicada suele ser la de publicación de la demostración completa de un resultado, que a veces es varios años posterior a la demostración o al primer anuncio del resultado, por lo que algunos elementos aparecen en el orden incorrecto.

The proof of the theorem, as it stood around 1985 or so, can be called first generation. Because of the extreme length of the first generation proof, much effort has been devoted to finding a simpler proof, called a second-generation classification proof. This effort, called "revisionism", was originally led by Daniel Gorenstein, and coauthored with Richard Lyons and Ronald Solomon.

Hasta 2023, se habían publicado diez volúmenes de la prueba de segunda generación (Gorenstein, Lyons y Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b; e Inna Capdeboscq , 2021, 2023). En 2012, Solomon estimó que el proyecto necesitaría otros cinco volúmenes, pero señaló que el progreso era lento. Se estima que la nueva prueba ocupará finalmente unas 5000 páginas. (Esta extensión se debe en parte a que la prueba de segunda generación está escrita en un estilo más relajado). Sin embargo, con la publicación del volumen 9 de la serie GLS, incluyendo la contribución de Aschbacher-Smith, esta estimación ya se había alcanzado, y aún quedaban varios volúmenes por preparar (el resto del contenido previsto originalmente para el volumen 9, además de los volúmenes 10 y 11 proyectados). Aschbacher y Smith escribieron sus dos volúmenes dedicados al caso quasithin de tal manera que dichos volúmenes puedan formar parte de la prueba de segunda generación.

Gorenstein y sus colaboradores han dado varias razones por las que es posible una demostración más sencilla.

• Lo más importante es que ahora se conoce la formulación correcta y definitiva del teorema. Se pueden aplicar técnicas más sencillas que se sabe que son adecuadas para los tipos de grupos que sabemos que son finitos simples. En cambio, quienes trabajaron en la demostración de primera generación desconocían la cantidad de grupos esporádicos existentes, y de hecho, algunos de ellos (por ejemplo, los grupos de Janko ) se descubrieron al demostrar otros casos del teorema de clasificación. Como resultado, muchas partes del teorema se demostraron utilizando técnicas demasiado generales.
• Dado que la conclusión era desconocida, la demostración de primera generación consta de numerosos teoremas independientes que abordan casos especiales importantes. Gran parte del trabajo para demostrar estos teoremas se dedicó al análisis de dichos casos. Con una demostración más extensa y estructurada, el análisis de muchos de estos casos especiales puede posponerse hasta que se puedan aplicar las suposiciones más importantes. El precio que se paga con esta estrategia revisada es que estos teoremas de primera generación ya no tienen demostraciones relativamente cortas, sino que dependen de la clasificación completa.
• Muchos teoremas de primera generación se superponen, dividiendo así los casos posibles de manera ineficiente. Como resultado, se identificaron varias veces familias y subfamilias de grupos simples finitos. La demostración revisada elimina estas redundancias mediante una subdivisión diferente de los casos.
• Los teóricos de grupos finitos tienen más experiencia en este tipo de ejercicios y disponen de nuevas técnicas.

Aschbacher (2004) ha denominado al trabajo sobre el problema de clasificación realizado por Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth y algunos otros, un programa de tercera generación . Uno de sus objetivos es tratar a todos los grupos de característica 2 de manera uniforme utilizando el método de amalgama.

Gorenstein ha analizado algunas de las razones por las que podría no existir una demostración breve de la clasificación similar a la clasificación de los grupos de Lie compactos .

• La razón más obvia es que la lista de grupos simples es bastante compleja: con 26 grupos esporádicos, es probable que haya muchos casos especiales que deban considerarse en cualquier demostración. Hasta ahora, nadie ha encontrado una descripción uniforme y clara de los grupos simples finitos, similar a la parametrización de los grupos de Lie compactos mediante diagramas de Dynkin .
• Atiyah y otros han sugerido que la clasificación debería simplificarse construyendo algún objeto geométrico sobre el que actúen los grupos y clasificando posteriormente estas estructuras geométricas. El problema radica en que nadie ha podido proponer una manera sencilla de encontrar dicha estructura geométrica asociada a un grupo simple. En cierto modo, la clasificación funciona al encontrar estructuras geométricas como pares BN , pero esto solo se logra tras un análisis muy extenso y complejo de la estructura de un grupo simple finito.
• Otra sugerencia para simplificar la demostración es hacer un mayor uso de la teoría de la representación . El problema radica en que esta teoría parece requerir un control muy estricto sobre los subgrupos de un grupo para funcionar correctamente. Para grupos de rango pequeño, se dispone de dicho control y la teoría de la representación funciona muy bien, pero para grupos de rango mayor nadie ha logrado utilizarla para simplificar la clasificación. En los inicios de la clasificación, se hizo un esfuerzo considerable por utilizar la teoría de la representación, pero esto nunca tuvo mucho éxito en el caso de rangos superiores.

Esta sección enumera algunos resultados que se han demostrado utilizando la clasificación de grupos simples finitos.

• Un avance en el algoritmo teórico más conocido para el problema del isomorfismo de grafos en 1982 ^{[ 5 ]}
• La conjetura de Schreier
• El teorema del functor Signalizer
• La conjetura B
• El teorema de Schur-Zassenhaus para todos los grupos (aunque esto solo utiliza el teorema de Feit-Thompson ).
• Un grupo de permutaciones transitivo en un conjunto finito con más de 1 elemento tiene un elemento libre de puntos fijos de orden potencia de un número primo.
• La clasificación de grupos de permutaciones 2-transitivos .
• La clasificación de grupos de permutación de rango 3 .
• La conjetura de Sims ^{[ 6 ]}
• La conjetura de Frobenius sobre el número de soluciones de x ⁿ = 1 .
• Los grupos simples finitos no abelianos se caracterizan por sus grafos conmutativos . ^{[ 7 ]}

• Teorema de O'Nan-Scott

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