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Grupo de monstruos

En el área del álgebra abstracta conocida como teoría de grupos , el grupo monstruo M (también conocido como el monstruo de Fischer-Griess o el gigante amistoso ) es el grupo si...

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En el área del álgebra abstracta conocida como teoría de grupos , el grupo monstruo M (también conocido como el monstruo de Fischer-Griess o el gigante amistoso ) es el grupo simple esporádico más grande , con orden

   808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000
= 2 46  · 3 20  · 5 9  · 7 6  · 11 2  · 13 3  · 17  · 19  · 23  · 29  · 31  · 41  · 47  · 59  · 71
≈ 8 × 1053 .

Los grupos finitos simples han sido completamente clasificados . Cada uno de estos grupos pertenece a una de las 18 familias infinitas numerables o es uno de los 26 grupos esporádicos que no siguen un patrón sistemático de este tipo. El grupo monstruo contiene 20 grupos esporádicos (incluido él mismo) como subcocientes . Robert Griess , quien demostró la existencia del monstruo en 1982, ha llamado a esos 20 grupos la familia feliz y a las seis excepciones restantes parias .

Es difícil dar una buena definición constructiva del monstruo debido a su complejidad. Martin Gardner escribió un relato popular sobre el grupo de monstruos en su columna Mathematical Games de junio de 1980 en Scientific American . [1]

Historia

El monstruo fue predicho por Bernd Fischer (inédito, alrededor de 1973) y Robert Griess [2] como un grupo simple que contenía una doble cubierta del grupo del monstruo bebé de Fischer como centralizador de una involución . En pocos meses, Griess encontró el orden de M utilizando la fórmula de orden de Thompson , y Fischer, Conway , Norton y Thompson descubrieron otros grupos como subcocientes, incluidos muchos de los grupos esporádicos conocidos y dos nuevos: el grupo de Thompson y el grupo de Harada-Norton . La tabla de caracteres del monstruo, una matriz de 194 por 194, fue calculada en 1979 por Fischer y Donald Livingstone utilizando programas de computadora escritos por Michael Thorne. No estaba claro en la década de 1970 si el monstruo realmente existía. Griess [3] construyó M como el grupo de automorfismos del álgebra de Griess , un álgebra no asociativa conmutativa de 196.884 dimensiones sobre los números reales; anunció por primera vez su construcción en Ann Arbor el 14 de enero de 1980. En su artículo de 1982, se refirió al monstruo como el Gigante Amistoso, pero este nombre no ha sido adoptado generalmente. John Conway [4] y Jacques Tits [5] [6] posteriormente simplificaron esta construcción.

La construcción de Griess demostró que el monstruo existe. Thompson [7] demostró que su unicidad (como un grupo simple que satisface ciertas condiciones provenientes de la clasificación de grupos simples finitos) se seguiría de la existencia de una representación fiel de 196.883 dimensiones. Norton [8] anunció una prueba de la existencia de tal representación , aunque nunca publicó los detalles. Griess, Meierfrankenfeld y Segev dieron la primera prueba completa publicada de la unicidad del monstruo (más precisamente, demostraron que un grupo con los mismos centralizadores de involuciones que el monstruo es isomorfo al monstruo). [9]

El monstruo fue la culminación del desarrollo de grupos simples esporádicos y puede construirse a partir de dos de tres subcocientes: el grupo de Fischer Fi 24 , el monstruo bebé y el grupo de Conway Co 1 .

El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismos externos del monstruo son ambos triviales .

Representaciones

El grado mínimo de una representación compleja fiel es 47 × 59 × 71 = 196.883, por lo tanto es el producto de los tres divisores primos más grandes del orden de M. La representación lineal fiel más pequeña sobre cualquier cuerpo tiene dimensión 196.882 sobre el cuerpo con dos elementos, solo uno menos que la dimensión de la representación compleja fiel más pequeña.

La representación de permutación fiel más pequeña del monstruo está en

   97.239.461.142.009.186.000
= 2 4 ·3 7 ·5 3 ·7 4 ·11·13 2 ·29·41·59·71 ≈ 10 20

agujas.

El monstruo puede realizarse como un grupo de Galois sobre los números racionales , [10] y como un grupo de Hurwitz . [11]

El monstruo es inusual entre los grupos simples en el sentido de que no se conoce una forma sencilla de representar sus elementos. Esto no se debe tanto a su tamaño como a la ausencia de representaciones "pequeñas". Por ejemplo, los grupos simples A 100 y SL 20 (2) son mucho más grandes pero fáciles de calcular ya que tienen representaciones de permutación o lineales "pequeñas". Los grupos alternantes , como A 100 , tienen representaciones de permutación que son "pequeñas" en comparación con el tamaño del grupo, y todos los grupos simples finitos de tipo Lie , como SL 20 (2), tienen representaciones lineales que son "pequeñas" en comparación con el tamaño del grupo. Todos los grupos esporádicos distintos del monstruo también tienen representaciones lineales lo suficientemente pequeñas como para que sea fácil trabajar con ellos en una computadora (el siguiente caso más difícil después del monstruo es el monstruo bebé, con una representación de dimensión 4370).

Construcción de computadoras

Martin Seysen ha implementado un paquete rápido de Python llamado mmgroup, que afirma ser la primera implementación del grupo monstruo donde se pueden realizar operaciones arbitrarias de manera efectiva. La documentación indica que la multiplicación de elementos del grupo toma menos de 40 milisegundos en una PC moderna típica, lo que es cinco órdenes de magnitud más rápido que lo estimado por Robert A. Wilson en 2013. [12] [13] [14] [15] El paquete de software mmgroup se ha utilizado para encontrar dos nuevos subgrupos máximos del grupo monstruo. [16]

Anteriormente, Robert A. Wilson había encontrado explícitamente (con la ayuda de una computadora) dos matrices invertibles de 196.882 por 196.882 (con elementos en el campo de orden 2 ) que juntas generan el grupo monstruo por multiplicación de matrices; esto es una dimensión menor que la representación de 196.883 dimensiones en característica 0. Realizar cálculos con estas matrices era posible pero es demasiado costoso en términos de tiempo y espacio de almacenamiento para ser útil, ya que cada una de estas matrices ocupa más de cuatro gigabytes y medio. [17]

Wilson afirma que la mejor descripción del monstruo es decir: "Es el grupo de automorfismos del álgebra de vértices del monstruo ". Sin embargo, esto no es de mucha ayuda, porque nadie ha encontrado una "construcción realmente simple y natural del álgebra de vértices del monstruo". [18]

Wilson y sus colaboradores encontraron un método para realizar cálculos con el monstruo que era considerablemente más rápido, aunque ahora reemplazado por el trabajo de Seysen mencionado anteriormente. Sea V un espacio vectorial de 196.882 dimensiones sobre el campo con 2 elementos. Se selecciona un subgrupo grande H (preferiblemente un subgrupo máximo) del Monstruo en el que es fácil realizar cálculos. El subgrupo H elegido es 3 1+12 .2.Suz.2, donde Suz es el grupo de Suzuki . Los elementos del monstruo se almacenan como palabras en los elementos de H y un generador adicional T. Es razonablemente rápido calcular la acción de una de estas palabras sobre un vector en V. Usando esta acción, es posible realizar cálculos (como el orden de un elemento del monstruo). Wilson ha exhibido vectores u y v cuyo estabilizador conjunto es el grupo trivial. Así (por ejemplo) se puede calcular el orden de un elemento g del monstruo hallando el i > 0 más pequeño tal que g i u = u y g i v = v . Esta y otras construcciones similares (con características diferentes ) se utilizaron para hallar algunos de los subgrupos maximales no locales del grupo del monstruo.

Subcocientes

Diagrama de los 26 grupos simples esporádicos, mostrando relaciones de subcociente.

El monstruo contiene 20 de los 26 grupos esporádicos como subcocientes. Este diagrama, basado en uno del libro Symmetry and the Monster de Mark Ronan , muestra cómo encajan entre sí. [19] Las líneas significan la inclusión, como subcociente, del grupo inferior por el superior. Los símbolos en círculos denotan grupos que no están involucrados en grupos esporádicos más grandes. Para mayor claridad, no se muestran las inclusiones redundantes.

Subgrupos máximos

El monstruo tiene 46 clases de conjugación de subgrupos maximales . [16] Se encuentran grupos simples no abelianos de unos 60 tipos de isomorfismo como subgrupos o como cocientes de subgrupos. El grupo alternante más grande representado es A 12 .

Las 46 clases de subgrupos maximales del monstruo se dan en la siguiente tabla. Trabajos previos no publicados de Wilson et. al. habían pretendido descartar cualquier subgrupo casi simple con zócalos simples no abelianos de la forma U 3 (4), L 2 (8) y L 2 (16). [20] [21] [22] Sin embargo, Dietrich et al. contradijeron esto último, encontrando un nuevo subgrupo maximal de la forma U 3 (4). Los mismos autores habían encontrado previamente un nuevo subgrupo maximal de la forma L 2 (13) y confirmaron que no hay subgrupos maximales con zócalo L 2 (8) o L 2 (16), completando así la clasificación en la literatura. [16]

Téngase en cuenta que a menudo se ha descubierto que las tablas de subgrupos máximos contienen errores sutiles y, en particular, al menos dos de los subgrupos de esta tabla se omitieron incorrectamente de algunas listas anteriores.

E de McKay8observación

También hay conexiones entre el monstruo y los diagramas de Dynkin extendidos específicamente entre los nodos del diagrama y ciertas clases de conjugación en el monstruo, conocidas como la observación E 8 de McKay . [26] [27] [28] Esto luego se extiende a una relación entre los diagramas extendidos y los grupos 3.Fi 24 ′ , 2.B y M, donde estos son (extensiones centrales 3/2/1-fold) del grupo de Fischer , grupo del monstruo bebé y monstruo. Estos son los grupos esporádicos asociados con centralizadores de elementos de tipo 1A, 2A y 3A en el monstruo, y el orden de la extensión corresponde a las simetrías del diagrama. Véase la clasificación ADE: trinidades para otras conexiones (del tipo de correspondencia McKay ), incluyendo (para el monstruo) con el grupo simple bastante pequeño PSL (2,11) y con los 120 planos tritangentes de una curva séxtica canónica de género 4 conocida como curva de Bring . E ~ 8 {\displaystyle {\tilde {E}}_{8}} E ~ 6 , E ~ 7 , E ~ 8 {\displaystyle {\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}}

Luz de la luna

El grupo de los monstruos es uno de los dos componentes principales de la monstruosa conjetura de la luz de la luna de Conway y Norton, [29] que relaciona las matemáticas discretas y no discretas y que fue finalmente demostrada por Richard Borcherds en 1992.

En este contexto, el grupo de monstruos es visible como el grupo de automorfismos del módulo de monstruos , un álgebra de operadores de vértices , un álgebra de dimensión infinita que contiene el álgebra de Griess, y actúa sobre el álgebra de Lie de monstruos , un álgebra de Kac-Moody generalizada .

Muchos matemáticos, incluido Conway, han visto al monstruo como un objeto hermoso y misterioso. [30] Conway dijo sobre el grupo de monstruos: "Nunca ha habido ningún tipo de explicación de por qué está allí, y obviamente no está allí solo por coincidencia. Tiene demasiadas propiedades intrigantes para que todo sea solo un accidente". [31] Simon P. Norton , un experto en las propiedades del grupo de monstruos, es citado diciendo: "Puedo explicar lo que es Monstrous Moonshine en una frase, es la voz de Dios". [32]

Véase también

  • Primos supersingulares , los números primos que dividen el orden del monstruo
  • Grupo Bimonster , el cuadrado de la corona del grupo de monstruos, que tiene una presentación sorprendentemente sencilla

Citas

  1. ^ Gardner 1980, págs. 20–33.
  2. ^ Griess 1976, págs. 113-118.
  3. ^ Griess 1982, págs. 1–102.
  4. ^ Conway 1985, págs. 513–540.
  5. ^ Tetas 1983, págs. 105–122.
  6. ^ Tetas 1984, págs. 491–499.
  7. ^ Thompson 1979, págs. 340–346.
  8. ^ Norton 1985, págs. 271–285.
  9. ^ Griess, Meierfrankenfeld y Segev 1989, págs. 567–602.
  10. ^ Thompson 1984, pág. 443.
  11. ^ Wilson 2001, págs. 367–374.
  12. ^ Seysen, Martin. «La referencia de la API de mmgroup» . Consultado el 31 de julio de 2022 .
  13. ^ Seysen, Martin (8 de marzo de 2022). "Una implementación rápida del grupo Monster". arXiv : 2203.04223 [math.GR].
  14. ^ Seysen, Martin (13 de mayo de 2020). "Una construcción del monstruo adaptada a la computadora". arXiv : 2002.10921 [math.GR].
  15. ^ Wilson, Robert A. (18 de octubre de 2013). "Los grupos Monster y de caja negra". arXiv : 1310.5016 [math.GR].
  16. ^ abcde Dietrich, Lee y Popiel 2023.
  17. ^ Borcherds 2002, pág. 1076.
  18. ^ Borcherds 2002, pág. 1077.
  19. ^ Ronan 2006.
  20. ^ Wilson 2010, págs. 393–403.
  21. ^ desde Norton & Wilson 2013, págs. 943–962.
  22. ^ Wilson 2016, págs. 355–364.
  23. ^ desde Holmes y Wilson 2008, págs. 2653–2667.
  24. ^ Holmes y Wilson 2004, págs. 141-152.
  25. ^ Holmes y Wilson 2002, págs. 435–447.
  26. ^ Duncan 2008.
  27. ^ Le Bruyn 2009.
  28. ^ Él y McKay 2015.
  29. ^ Conway y Norton 1979, págs. 308–339.
  30. ^ Roberts 2013.
  31. ^ Harán 2014, 7:57.
  32. ^ Maestros 2019.

Fuentes

  • Borcherds, Richard E. (octubre de 2002). "¿Qué es... El Monstruo?" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Americana . 49 (9).
  • le Bruyn, Lieven (22 de abril de 2009). "El gráfico del monstruo y la observación de McKay". libros interminables .
  • Conway, John Horton (1985). "Una construcción simple para el grupo de monstruos de Fischer-Griess". Inventiones Mathematicae . 79 (3): 513–540. Bibcode :1985InMat..79..513C. doi :10.1007/BF01388521. MR  0782233. S2CID  123340529.
  • Conway, John Horton ; Norton, Simon P. (1979). "Monstrous Moonshine". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 11 (3): 308–339. doi :10.1112/blms/11.3.308.
  • Dietrich, Heiko; Lee, Melissa; Popiel, Tomasz (6 de diciembre de 2023). "Los subgrupos máximos del Monstruo". arXiv : 2304.14646 [GR math. GR]. Código Bibliográfico :2023arXiv230414646D.
  • Duncan, John F. (2008). "Grupos aritméticos y el diagrama de Dynkin E8 afín". arXiv : 0810.1465 [RT math. RT].
  • Gardner, Martin (1980). "Juegos matemáticos". Scientific American . Vol. 242, núm. 6. págs. 20–33. ISSN  0036-8733. JSTOR  24966339.
  • Griess, Robert L. (1976). "La estructura del grupo simple monstruo". En Scott, W. Richard; Gross, Fletcher (eds.). Actas de la Conferencia sobre Grupos Finitos (Universidad de Utah, 1975) . Boston, MA: Academic Press . pp. 113–118. ISBN 978-012633650-4.Sr .  0399248.
  • Griess, Robert L. (1982). «El gigante amigo» (PDF) . Invenciones Mathematicae . 69 (1): 1–102. Código Bib : 1982 InMat..69....1G. doi :10.1007/BF01389186. hdl : 2027.42/46608 . SEÑOR  0671653. S2CID  123597150.
  • Griess, Robert L.; Meierfrankenfeld, Ulrich; Segev, Yoav (1989). "Una prueba de unicidad para el Monstruo". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 130 (3): 567–602. doi :10.2307/1971455. JSTOR  1971455. MR  1025167.
  • Haran, Brady (2014). La vida, la muerte y el monstruo (John Conway). Numberphile – vía YouTube .
  • He, Yang-Hui ; McKay, John (25 de mayo de 2015). "Esporádico y excepcional". arXiv : 1505.06742 [AG math. AG].
  • Holmes, Petra E.; Wilson, Robert A. (2002). "Un nuevo subgrupo maximal del Monstruo". Journal of Algebra . 251 (1): 435–447. doi : 10.1006/jabr.2001.9037 . MR  1900293.
  • Holmes, Petra E.; Wilson, Robert A. (2004). "PSL 2 (59) es un subgrupo del Monstruo". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda serie. 69 (1): 141–152. doi :10.1112/S0024610703004915. MR  2025332. S2CID  122913546.
  • Holmes, Petra E.; Wilson, Robert A. (2008). "Sobre subgrupos del Monstruo que contienen A5". Journal of Algebra . 319 (7): 2653–2667. doi : 10.1016/j.jalgebra.2003.11.014 . MR  2397402.
  • Masters, Alexander (22 de febrero de 2019). «Obituario de Simon Norton». The Guardian .
  • Norton, Simon P. (1985). "La singularidad del monstruo de Fischer-Griess". Grupos finitos: la madurez (Montreal, Quebec, 1982) . Contemp. Math. Vol. 45. Providence RI: American Mathematical Society . págs. 271–285. doi :10.1090/conm/045/822242. ISBN . 978-082185047-3.Señor 0822242  .
  • Norton, Simon P.; Wilson, Robert A. (2013). "Una corrección a la estructura 41 del Monstruo, una construcción de un nuevo subgrupo maximal L2(41) y un nuevo fenómeno Moonshine" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda serie. 87 (3): 943–962. doi :10.1112/jlms/jds078. S2CID  7075719.
  • Roberts, Siobhan (2013). Curiosidades: en busca del monstruo. Instituto de Estudios Avanzados.
  • Ronan, M. (2006). La simetría y el monstruo . Oxford University Press. ISBN 019280722-6.
  • Thompson, John G. (1979). "Singularidad del monstruo de Fischer-Griess". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 11 (3): 340–346. doi :10.1112/blms/11.3.340. MR  0554400.
  • Thompson, John G. (1984). "Algunos grupos finitos que aparecen como Gal L/K, donde K ⊆ Q(μn)". Journal of Algebra . 89 (2): 437–499. doi : 10.1016/0021-8693(84)90228-X . MR  0751155.
  • Tetas, Jacques (1983). "Le Monstre (d'après R. Griess, B. Fischer et al.)". Astérisque (121): 105-122. SEÑOR  0768956. Zbl  0548.20010.
  • Tits, Jacques (1984). "Sobre el "gigante amistoso" de R. Griess"". Inventiones Mathematicae . 78 (3): 491–499. Bibcode :1984InMat..78..491T. doi :10.1007/BF01388446. SEÑOR  0768989. S2CID  122379975.
  • Wilson, Robert A. (2001). "El Monstruo es un grupo de Hurwitz". Journal of Group Theory . 4 (4): 367–374. doi :10.1515/jgth.2001.027. MR  1859175. Archivado desde el original el 5 de marzo de 2012.
  • Wilson, Robert A. (2010). "Nuevos cálculos en el Monster". Moonshine: el primer cuarto de siglo y más allá . London Math. Soc. Lecture Note Ser. Vol. 372. Cambridge University Press . págs. 393–403. ISBN 978-052110664-1.Sr. 2681789  .
  • Wilson, Robert A. (2016). "¿Es el grupo de Suzuki Sz(8) un subgrupo del Monstruo?" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 48 (2): 355–364. doi :10.1112/blms/bdw012. MR  3483073. S2CID  123219818.

Lectura adicional

  • Conway, JH ; Curtis, RT; Norton, SP ; Parker, RA ; Wilson, RA (1985). Atlas de grupos finitos: subgrupos máximos y caracteres ordinarios para grupos simples . Con asistencia computacional de JG Thackray. Oxford University Press. ISBN 978-019853199-9.
  • Harada, Koichiro (2001). "Matemáticas del monstruo". Sugaku Expositions . 14 (1): 55–71. MR  1690763.
  • Holmes, PE; Wilson, RA (2003). "Una construcción informática del Monstruo utilizando subgrupos 2-locales". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 67 (2): 346–364. doi :10.1112/S0024610702003976. S2CID  102338377.
  • Holmes, Petra E. (2008). "Una clasificación de subgrupos del Monstruo isomorfo a S4 y una aplicación". Journal of Algebra . 319 (8): 3089–3099. doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.01.031 . MR  2408306.
  • Ivanov, AA (2009). El grupo de los monstruos y las involuciones de Majorana. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 176. Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511576812. ISBN 978-052188994-0.
  • Norton, Simon P. (1998). "Anatomía del monstruo. I". El atlas de grupos finitos: diez años después (Birmingham, 1995) . London Math. Soc. Lecture Note Ser. Vol. 249. Cambridge University Press . págs. 198–214. doi :10.1017/CBO9780511565830.020. ISBN . 978-052157587-4.Señor 1647423  .
  • Norton, Simon P.; Wilson, Robert A. (2002). "Anatomía del monstruo. II". Actas de la London Mathematical Society . Tercera serie. 84 (3): 581–598. doi :10.1112/S0024611502013357. MR  1888424.
  • du Sautoy, Marcus (2008). En busca de la luz de la luna . Fourth Estate. ISBN 978-000721461-7.publicado en Estados Unidos por HarperCollins como Symmetry , ISBN 978-006078940-4 ). 
  • Wilson, RA; Walsh, PG; Parker, RA; Linton, SA (1998). "Construcción informática del Monstruo". Journal of Group Theory . 1 (4): 307–337. doi :10.1515/jgth.1998.023.
  • McKay, John; He, Yang-Hui (2022). "Conferencias de Kashiwa sobre 'Nuevos enfoques del monstruo'"". Avisos del ICCM . 10 : 71–88. arXiv : 2106.01162 . doi :10.4310/ICCM.2022.v10.n1.a4. S2CID  235293875.
  • ¿Qué es... El Monstruo? por Richard E. Borcherds , Notices of the American Mathematical Society , octubre de 2002 1077
  • MathWorld: Grupo de monstruos
  • Atlas de representaciones de grupos finitos: grupo monstruo
  • Número de junio de 1980 de Scientific American: La captura del monstruo: un grupo matemático con una cantidad ridícula de elementos
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