Subgrupo

En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , un subconjunto de un grupo G es un subgrupo de G si los miembros de ese subconjunto forman un grupo con respecto a la operación de grupo en G.

Formalmente, dado un grupo G bajo una operación binaria  ∗, un subconjunto H de G se denomina subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación ∗. Más precisamente, H es un subgrupo de G si la restricción de ∗ a H × H es una operación de grupo sobre H. Esto se suele denotar como H ≤ G , que se lee como " H es un subgrupo de G ".

El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo { e } que consta únicamente del elemento identidad. ^{[ 1 ]}

Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir, H ≠ G ). Esto se suele representar mediante la notación H < G , que se lee como " H es un subgrupo propio de G ". Algunos autores también excluyen al grupo trivial de ser propio (es decir, H ≠ { e } ). ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Si H es un subgrupo de G , entonces a veces se llama a G un sobregrupo de H.

Las mismas definiciones se aplican de forma más general cuando G es un semigrupo arbitrario , pero este artículo solo tratará sobre subgrupos de grupos.

Supongamos que G es un grupo y H es un subconjunto de G. Por ahora, supongamos que la operación de grupo de G se escribe multiplicativamente, denotada por yuxtaposición.

• Entonces H es un subgrupo de G si y solo si H es no vacío y cerrado bajo productos e inversos. Cerrado bajo productos significa que para todo a y b en H , el producto ab está en H. Cerrado bajo inversos significa que para todo a en H , el inverso a ⁻¹ está en H. Estas dos condiciones se pueden combinar en una sola, que para todo a y b en H , el elemento ab ⁻¹ está en H , pero es más natural y generalmente igual de fácil comprobar las dos condiciones de cierre por separado. ^{[ 4 ]}
• Cuando H es finito , la prueba se puede simplificar: H es un subgrupo si y solo si no es vacío y es cerrado bajo productos. Estas condiciones por sí solas implican que cada elemento a de H genera un subgrupo cíclico finito de H , digamos de orden n , y entonces el inverso de a es a ^{n −1} . ^{[ 4 ]}

Si la operación de grupo se denota en cambio por suma, entonces cerrado bajo productos debe reemplazarse por cerrado bajo suma , que es la condición de que para cada a y b en H , la suma a + b está en H , y cerrado bajo inversos debe editarse para decir que para cada a en H , el inverso − a está en H.

• La identidad de un subgrupo es la identidad del grupo: si G es un grupo con identidad e _G , y H es un subgrupo de G con identidad e _H , entonces e _H = e _G .
• El inverso de un elemento en un subgrupo es el inverso del elemento en el grupo: si H es un subgrupo de un grupo G , y a y b son elementos de H tales que ab = ba = e _H , entonces ab = ba = e _G.
• Si H es un subgrupo de G , entonces la aplicación de inclusión H → G que envía cada elemento a de H a sí mismo es un homomorfismo .
• La intersección de los subgrupos A y B de G es nuevamente un subgrupo de G. ^{[ 5 ]} Por ejemplo, la intersección del eje x y el eje y en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ bajo la suma es el subgrupo trivial. Más generalmente, la intersección de una colección arbitraria de subgrupos de G es un subgrupo de G.
• La unión de los subgrupos A y B es un subgrupo si y solo si A ⊆ B o B ⊆ A. Un contraejemplo: ⁠ ⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z} }$ no es un subgrupo de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ porque 2 y 3 son elementos de este subconjunto cuya suma, 5, no está en el subconjunto. De manera similar, la unión del eje x y el eje y en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ no es un subgrupo de ⁠ ⁠.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• Si S es un subconjunto de G , entonces existe un subgrupo mínimo que contiene a S , concretamente la intersección de todos los subgrupos que contienen a S ; se denota por ⟨S⟩ y se denomina subgrupo generado por S. Un elemento de G pertenece a ⟨S⟩ si y solo si es un producto finito de elementos de S y sus inversos, posiblemente repetidos. ^{[ 6 ]}
• Cada elemento a de un grupo G genera un subgrupo cíclico ⟨ a ⟩ . Si ⟨ a ⟩ es isomorfo a ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ( los enteros módulo n ) para algún entero positivo n , entonces n es el entero positivo más pequeño para el cual a ⁿ = e , y n se llama el orden de a . Si ⟨ a ⟩ es isomorfo a ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ entonces se dice que a tiene orden infinito .
• Los subgrupos de cualquier grupo dado forman un retículo completo bajo la inclusión, llamado retículo de subgrupos . (Si bien el ínfimo aquí es la intersección usual en teoría de conjuntos, el supremo de un conjunto de subgrupos es el subgrupo generado por la unión en teoría de conjuntos de los subgrupos, no la unión en sí misma). Si e es la identidad de G , entonces el grupo trivial { e } es el subgrupo mínimo de G , mientras que el subgrupo máximo es el grupo G mismo.

Dado un subgrupo H y algún a en G , definimos la clase lateral izquierda aH = { ah  : h en H }. Como a es invertible, la aplicación φ : H → aH dada por φ( h ) = ah es una biyección . Además, cada elemento de G está contenido en una única clase lateral izquierda de H ; las clases laterales izquierdas son las clases de equivalencia correspondientes a la relación de equivalencia a ₁ ~ a ₂ si y solo si ⁠ ⁠${\displaystyle a_{1}^{-1}a_{2}}$ está en H. El número de clases laterales izquierdas de H se llama índice de H en G y se denota por [ G  : H ] .

El teorema de Lagrange establece que para un grupo finito G y un subgrupo H ,

${\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}$

donde | G | y | H | denotan los órdenes de G y H , respectivamente. En particular, el orden de cada subgrupo de G (y el orden de cada elemento de G ) debe ser un divisor de | G | . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Las clases laterales derechas se definen de forma análoga: Ha = { ha  : h en H }. También son las clases de equivalencia para una relación de equivalencia adecuada y su número es igual a [ G  : H ] .

Si aH = Ha para todo a en G , entonces H se denomina subgrupo normal . Todo subgrupo de índice 2 es normal: las clases laterales izquierdas, y también las derechas, son simplemente el subgrupo y su complemento. De forma más general, si p es el primo más pequeño que divide el orden de un grupo finito G , entonces cualquier subgrupo de índice p (si existe) es normal.

Sea G el grupo cíclico finito

${\displaystyle \mathrm {Z} _{8}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}$

bajo la suma módulo 8. El subconjunto formado por múltiplos de 2 es un subgrupo de . De forma más general, para cada divisor d de 8, los múltiplos de d forman un subgrupo. Explícitamente, para , estos subgrupos son . ${\displaystyle \{0,2,4,6\}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _ {8}}$${\displaystyle d=1,2,4,8}$${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7\},\{0,2,4,6\},\{0,4\},\{0\}}$

En general, para cualquier entero positivo n , se pueden describir todos los subgrupos del grupo cíclico finito de manera similar: para cada divisor d de n , los múltiplos de d forman un subgrupo de orden , y cada subgrupo surge de esta manera. ${\displaystyle \mathrm {Z} _ {n}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _ {n}}$${\displaystyle n/d}$

Los subgrupos de grupos cíclicos son cíclicos. ^{[ 9 ]}

El grupo simétrico S ₄ es el grupo cuyos elementos son las permutaciones de . A continuación se muestran todos sus subgrupos, ordenados por cardinalidad.${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$

Al igual que cada grupo, S ₄ es un subgrupo de sí mismo.

El grupo alternante A ₄ consta de todas las permutaciones pares en S ₄ . Como tiene índice 2, es un subgrupo normal .

Hay tres subgrupos de orden 8, cada uno isomorfo al grupo diedral D ₄ , el grupo de simetrías de un cuadrado.

Al etiquetar los vértices de un cuadrado en el sentido de las agujas del reloj, se puede ver D ₄ como un subgrupo de S ₄ . Este subgrupo se genera mediante la rotación de 90 grados en el sentido de las agujas del reloj y mediante la reflexión en el eje diagonal que une los vértices 1 y 3; estas son las permutaciones y . ${\displaystyle 1,2,3,4}$${\displaystyle (1234)}$${\displaystyle (24)}$

Salvo simetrías del cuadrado, existen tres formas distintas de etiquetar los vértices de un cuadrado, que se distinguen por los pares de números que aparecen en esquinas opuestas. En la etiqueta anterior, 1 y 3 eran opuestos, y 2 y 4 también; otra opción tiene 1 y 4 opuestos, y 2 y 3 opuestos; la tercera opción tiene 1 y 2 opuestos, y 3 y 4 opuestos. Las tres etiquetas dan lugar a tres subgrupos distintos de orden 8 en S ₄ , conjugados entre sí, cada uno isomorfo a D ₄ .

Hay cuatro subgrupos de orden 6, cada uno isomorfo a S ₃ . Cada uno es el estabilizador de uno de los elementos de . Por ejemplo, el estabilizador de 4 es el grupo de permutaciones en S ₄ que mapean 4 a 4, permutando de forma arbitraria; se genera mediante las permutaciones y , por ejemplo. Los cuatro subgrupos de orden 6 son conjugados entre sí. ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle (12)}$${\displaystyle (123)}$

Hay siete subgrupos de orden 4, que se dividen en tres clases de conjugación de subgrupos:

• El subconjunto es un subgrupo normal isomorfo al grupo de Klein de cuatro dimensiones V ₄ .${\displaystyle \{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$

• El grupo generado por y es otro subgrupo isomorfo a V ₄ , pero no es normal. En cambio, tiene conjugados, a saber, el grupo generado por y y el grupo generado por y .${\displaystyle (12)}$${\displaystyle (34)}$${\displaystyle (13)}$${\displaystyle (24)}$${\displaystyle (14)}$${\displaystyle (23)}$

• Cada uno de los seis ciclos de orden 4 en S ₄ genera un subgrupo cíclico de orden 4, pero cada ciclo de orden 4 genera el mismo subgrupo que su inverso, por lo que solo existen tres subgrupos distintos de este tipo. Estos tres subgrupos son conjugados entre sí porque todos los ciclos de orden 4 en S ₄ son conjugados entre sí.

Existen cuatro subgrupos de orden 3, cada uno generado por un ciclo de orden 3. En S₄ hay ocho ciclos de orden 3 _, pero cada uno genera el mismo subgrupo que su inverso. Los cuatro subgrupos resultantes son conjugados entre sí.

Existen nueve subgrupos de orden 2, que se dividen en dos clases de conjugación de subgrupos:

• Cada una de las transposiciones (ciclos de orden 2) genera un subgrupo de orden 2. Estos seis subgrupos son conjugados.${\displaystyle {\binom {4}{2}}=6}$

• Cada una de las transposiciones dobles , , genera un subgrupo de orden 2. Estos tres subgrupos son conjugados.${\displaystyle (12)(34)}$${\displaystyle (13)(24)}$${\displaystyle (14)(23)}$

El subgrupo trivial es el único subgrupo de orden 1.

• Los enteros pares forman un subgrupo del anillo ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$de enteros ; la${\displaystyle \mathbb {Z} :}$ suma de dos enteros pares es par, y el negativo de un entero par es par .
• Todo ideal en un anillo R es un subgrupo del grupo aditivo de R.
• Todo subespacio lineal de un espacio vectorial es un subgrupo del grupo aditivo de vectores.
• En un grupo abeliano , los elementos de orden finito forman un subgrupo llamado subgrupo de torsión .

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