Anillo de números enteros

En matemáticas , el anillo de enteros de un cuerpo de números algebraicos${\displaystyle K}$(también llamado a veces anillo numérico correspondiente al campo numérico)${\displaystyle K}$) ^{[ 1 ]} es el anillo de todos los enteros algebraicos contenidos en${\displaystyle K}$. ^{[ 2 ]} Un entero algebraico es una raíz de un polinomio mónico con coeficientes enteros :${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}}$. ^{[ 3 ]} Este anillo se suele denotar por${\displaystyle O_{K}}$o${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. Dado que cualquier número entero pertenece a${\displaystyle K}$y es un elemento integral de${\displaystyle K}$, el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} }$siempre es un subanillo de${\displaystyle O_{K}}$.

El anillo de los números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$es el anillo de enteros más simple posible. ^{[ a ]} ​​Es decir,${\displaystyle \mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} }}$dónde${\displaystyle \mathbb {Q} }$es el campo de los números racionales . ^{[ 4 ]} Y, en efecto, en la teoría algebraica de números los elementos de${\displaystyle \mathbb {Z} }$Por este motivo, a menudo se les denomina "números enteros racionales".

El siguiente ejemplo más sencillo es el anillo de enteros gaussianos.${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, que consiste en números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros. Es el anillo de números enteros en el campo numérico.${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$de racionales gaussianos , que consisten en números complejos cuyas partes real e imaginaria son números racionales. Al igual que los enteros racionales,${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$es un dominio euclidiano .

El anillo de enteros de un cuerpo numérico algebraico es el orden máximo único en dicho cuerpo. Siempre es un dominio de Dedekind . ^{[ 5 ]}

El anillo de enteros O _K es un anillo finitamente generado${\displaystyle \mathbb {Z} }$- módulo . De hecho, es gratuito.${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo, y por lo tanto tiene una base integral , que es una base b ₁ , ..., b _n ∈ O _K del${\displaystyle \mathbb {Q} }$- espacio vectorial K tal que cada elemento x en O _K puede representarse de forma única como  

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}$

con${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$. ^{[ 6 ]} El rango n de O _K como un libre ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo es igual al grado de K sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

En un anillo de enteros, cada elemento tiene una factorización en elementos irreducibles , pero el anillo no necesita tener la propiedad de factorización única : por ejemplo, en el anillo de enteros${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$, el elemento 6 tiene dos factorizaciones esencialmente diferentes en irreducibles: ^{[ 5 ] [ 10 ]}

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).}$

Un anillo de enteros es siempre un dominio de Dedekind y, por lo tanto, tiene una factorización única de ideales en ideales primos . ^{[ 11 ]}

Las unidades de un anillo de enteros O _K es un grupo abeliano finitamente generado según el teorema de unidades de Dirichlet . El subgrupo de torsión consta de las raíces de la unidad de K. Un conjunto de generadores sin torsión se denomina conjunto de unidades fundamentales . ^{[ 12 ]}

Se define el anillo de enteros de un cuerpo local no arquimediano F como el conjunto de todos los elementos de F con valor absoluto ≤ 1 ; este es un anillo debido a la fuerte desigualdad triangular. ^{[ 13 ]} Si F es la completación de un cuerpo numérico algebraico, su anillo de enteros es la completación del anillo de enteros de este último. El anillo de enteros de un cuerpo numérico algebraico puede caracterizarse como los elementos que son enteros en toda completación no arquimediana. ^{[ 4 ]}

Por ejemplo, los enteros p -ádicos${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$son el anillo de enteros de los números p -ádicos${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.

• Polinomio mínimo (teoría de campos)
• Cierre integral : proporciona una técnica para calcular cierres integrales.