Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Gustav Lejeune Dirichlet nació el 13 de febrero de 1805 en Düren , una ciudad en la margen izquierda del Rin que en aquel entonces formaba parte del Primer Imperio Francés , y que volvió a formar parte de Prusia tras el Congreso de Viena de 1815. Su padre, Johann Arnold Lejeune Dirichlet, era jefe de correos, comerciante y concejal. Su abuelo paterno había llegado a Düren desde Richelette (o, más probablemente, Richelle ), una pequeña comunidad situada a 5 km (3 millas) al noreste de Lieja , en Bélgica , de donde deriva su apellido «Lejeune Dirichlet» (« le jeune de Richelette », que en francés significa «el joven de Richelette»). ^{[ 3 ]} 

Aunque su familia no era adinerada y él era el menor de siete hermanos, sus padres apoyaron su educación. Lo matricularon en una escuela primaria y luego en una escuela privada con la esperanza de que más adelante se convirtiera en comerciante. El joven Dirichlet, que mostró un gran interés por las matemáticas antes de los 12 años, convenció a sus padres para que le permitieran continuar sus estudios. En 1817 lo enviaron al Gymnasium Bonn bajo la tutela de Peter Joseph Elvenich , un estudiante conocido por su familia. En 1820, Dirichlet se trasladó al Gymnasium jesuita de Colonia , donde sus clases con Georg Ohm le ayudaron a ampliar sus conocimientos matemáticos. Abandonó el gimnasio un año después con solo un certificado, ya que su incapacidad para hablar latín con fluidez le impidió obtener el Abitur . ^{[ 3 ]}

Dirichlet volvió a convencer a sus padres para que le brindaran apoyo financiero para sus estudios de matemáticas, en contra del deseo de estos de que se dedicara al derecho. Dado que Alemania ofrecía pocas oportunidades para estudiar matemáticas superiores en aquella época, con la única excepción de Gauss en la Universidad de Gotinga, quien nominalmente era profesor de astronomía y, además, no le gustaba la docencia, Dirichlet decidió ir a París en mayo de 1822. Allí asistió a clases en el Collège de France y en la Universidad de París , aprendiendo matemáticas con Hachette , entre otros, mientras realizaba un estudio autodidacta de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss , un libro que conservó durante toda su vida. En 1823 fue recomendado al general Maximilien Foy , quien lo contrató como tutor privado para enseñar alemán a sus hijos , un salario que finalmente le permitió a Dirichlet independizarse económicamente de sus padres. ^{[ 4 ]}

Su primera investigación original, que comprendía parte de una demostración del Último Teorema de Fermat para el caso n = 5 , le trajo fama inmediata, siendo el primer avance en el teorema desde la propia demostración de Fermat para el caso n = 4 y la demostración de Euler para n = 3. Adrien-Marie Legendre , uno de los revisores, pronto completó la demostración para este caso; Dirichlet completó su propia demostración poco tiempo después de Legendre, y unos años más tarde produjo una demostración completa para el caso n = 14. ^{[ 5 ]} En junio de 1825 fue aceptado para dar una conferencia sobre su demostración parcial para el caso n = 5 en la Academia Francesa de Ciencias , una hazaña excepcional para un estudiante de 20 años sin título. ^{[ 3 ]} Su conferencia en la Academia también puso a Dirichlet en estrecho contacto con Fourier y Poisson , quienes despertaron su interés en la física teórica , especialmente en la teoría analítica del calor de Fourier .

Como el general Foy murió en noviembre de 1825 y no pudo encontrar ningún puesto remunerado en Francia, Dirichlet tuvo que regresar a Prusia. Fourier y Poisson lo presentaron a Alexander von Humboldt , quien había sido llamado a unirse a la corte del rey Federico Guillermo III . Humboldt, planeando convertir a Berlín en un centro de ciencia e investigación, ofreció inmediatamente su ayuda a Dirichlet, enviando cartas a su favor al gobierno prusiano y a la Academia Prusiana de Ciencias . Humboldt también obtuvo una carta de recomendación de Gauss, quien, tras leer su memoria sobre el teorema de Fermat, escribió con una cantidad inusual de elogios que "Dirichlet demostró un talento excelente". ^{[ 6 ]} Con el apoyo de Humboldt y Gauss, a Dirichlet se le ofreció un puesto de profesor en la Universidad de Breslau . Sin embargo, como no había aprobado una disertación doctoral, presentó su memoria sobre el teorema de Fermat como tesis a la Universidad de Bonn . Nuevamente, su falta de fluidez en latín le impidió realizar la defensa pública de su tesis; tras un largo debate, la universidad decidió sortear el problema otorgándole un doctorado honoris causa en febrero de 1827. Asimismo, el Ministro de Educación le concedió una dispensa para la defensa en latín requerida para la habilitación . Dirichlet obtuvo la habilitación y dio clases en el año 1827-28 como profesor adjunto en Breslau . ^{[ 3 ]}

Durante su estancia en Breslau, Dirichlet prosiguió con su investigación en teoría de números, publicando importantes contribuciones a la ley de reciprocidad bicuadrática, que en aquel entonces era un tema central en la investigación de Gauss. Alexander von Humboldt aprovechó estos nuevos resultados, que también habían recibido elogios entusiastas de Friedrich Bessel , para gestionar su traslado a Berlín. Dada la corta edad de Dirichlet (tenía 23 años), Humboldt solo pudo conseguirle un puesto de prueba en la Academia Militar Prusiana de Berlín, mientras seguía nominalmente empleado por la Universidad de Breslau. El período de prueba se prorrogó durante tres años hasta que el puesto se hizo definitivo en 1831.

Tras el traslado de Dirichlet a Berlín, Humboldt le presentó los selectos salones que organizaban el banquero Abraham Mendelssohn Bartholdy y su familia. Su casa era punto de encuentro semanal para artistas y científicos berlineses, entre ellos los hijos de Abraham, Felix y Fanny Mendelssohn , ambos músicos destacados, y el pintor Wilhelm Hensel (esposo de Fanny). Dirichlet mostró gran interés por Rebecka, la otra hija de Abraham, con quien se casó en 1832.

Rebecka Henriette Lejeune Dirichlet (de soltera Rebecka Mendelssohn; 11 de abril de 1811  – 1 de diciembre de 1858) fue nieta de Moses Mendelssohn y hermana menor de Felix Mendelssohn y Fanny Mendelssohn . ^{[ 7 ] [ 8 ]} Rebecka nació en Hamburgo . ^{[ 9 ]} En 1816, sus padres dispusieron que la bautizaran , momento en el que adoptó los nombres de Rebecka Henriette Mendelssohn Bartholdy. ^{[ 10 ]} Formó parte del notable salón de sus padres, Abraham Mendelssohn y su esposa Lea, manteniendo contactos sociales con importantes músicos, artistas y científicos en un período de gran creatividad en la vida intelectual alemana. En 1829, interpretó un pequeño papel en el estreno, celebrado en la casa de los Mendelssohn, del Singspiel de Felix , Die Heimkehr aus der Fremde . Más tarde escribió:

Mis hermanos mayores me robaron mi reputación como artista. En cualquier otra familia, habría sido muy respetado como músico y tal vez incluso líder de un grupo. Al lado de Félix y Fanny, no podía aspirar a ningún reconocimiento. ^{[ 11 ]}

En 1832 se casó con Dirichlet, quien fue presentado a la familia Mendelssohn por Alexander von Humboldt . ^{[ 12 ]} En 1833 nació su primer hijo, Walter. Murió en Gotinga en 1858.

Tan pronto como llegó a Berlín, Dirichlet solicitó dar clases en la Universidad de Berlín , y el Ministro de Educación aprobó el traslado y en 1831 lo asignó a la facultad de filosofía . La facultad le exigió que realizara una habilitación renovada , y aunque Dirichlet escribió una Habilitationsschrift como se requería, pospuso la impartición de la clase obligatoria en latín durante otros 20 años, hasta 1851. Como no había cumplido con este requisito formal, permaneció vinculado a la facultad con derechos limitados, incluyendo emolumentos restringidos, lo que lo obligó a mantener en paralelo su puesto de profesor en la Escuela Militar. En 1832, Dirichlet se convirtió en miembro de la Academia Prusiana de Ciencias , el miembro más joven con tan solo 27 años. ^{[ 3 ]}

Dirichlet gozaba de buena reputación entre los estudiantes por la claridad de sus explicaciones y disfrutaba enseñando, especialmente porque sus clases universitarias solían versar sobre los temas más avanzados en los que investigaba: teoría de números (fue el primer profesor alemán en impartir clases sobre teoría de números), análisis y física matemática . Dirigió las tesis doctorales de varios matemáticos alemanes importantes, como Gotthold Eisenstein , Leopold Kronecker , Rudolf Lipschitz y Carl Wilhelm Borchardt , e influyó en la formación matemática de muchos otros científicos, entre ellos Elwin Bruno Christoffel , Wilhelm Weber , Eduard Heine , Ludwig von Seidel y Julius Weingarten . En la Academia Militar, Dirichlet logró introducir el cálculo diferencial e integral en el plan de estudios, elevando el nivel de la enseñanza científica. Sin embargo, poco a poco empezó a sentir que su doble carga docente, en la Academia Militar y en la universidad, limitaba el tiempo disponible para su investigación. ^{[ 3 ]}

Durante su estancia en Berlín, Dirichlet mantuvo contacto con otros matemáticos. En 1829, durante un viaje, conoció a Carl Jacobi , por entonces profesor de matemáticas en la Universidad de Königsberg . A lo largo de los años, siguieron reuniéndose y carteándose sobre temas de investigación, llegando a ser amigos íntimos. En 1839, durante una visita a París, Dirichlet conoció a Joseph Liouville ; ambos matemáticos entablaron amistad, mantuvieron el contacto e incluso se visitaron mutuamente con sus familias unos años después. En 1839, Jacobi envió a Dirichlet un artículo de Ernst Kummer , por entonces maestro de escuela. Reconociendo el potencial de Kummer, lo ayudaron a ser elegido miembro de la Academia de Berlín y, en 1842, le consiguieron una cátedra en la Universidad de Breslau. En 1840, Kummer se casó con Ottilie Mendelssohn, prima de Rebecka.

En 1843, cuando Jacobi enfermó, Dirichlet viajó a Königsberg para ayudarlo y luego obtuvo para él la asistencia del médico personal del rey Federico Guillermo IV . Cuando el médico recomendó que Jacobi pasara algún tiempo en Italia, Dirichlet se unió a él en el viaje junto con su familia. Fueron acompañados a Italia por Ludwig Schläfli , quien llegó como traductor; como estaba muy interesado en las matemáticas, tanto Dirichlet como Jacobi le dieron conferencias durante el viaje, y más tarde se convirtió él mismo en un importante matemático. ^{[ 3 ]} La familia Dirichlet extendió su estadía en Italia hasta 1845, y allí nació su hija Flora. En 1844, Jacobi se mudó a Berlín como pensionista real, y su amistad se estrechó aún más. En 1846, cuando la Universidad de Heidelberg intentó reclutar a Dirichlet, Jacobi proporcionó a von Humboldt el apoyo necesario para obtener una duplicación del salario de Dirichlet en la universidad para que se quedara en Berlín; Sin embargo, incluso entonces no se le pagaba un salario completo de profesor y no podía abandonar la Academia Militar. ^{[ 13 ]}

De ideas liberales, Dirichlet y su familia apoyaron la revolución de 1848 ; incluso llegó a custodiar con un rifle el palacio del príncipe de Prusia. Tras el fracaso de la revolución, la Academia Militar cerró temporalmente, lo que le supuso una importante pérdida de ingresos. Al reabrir, el ambiente se volvió más hostil hacia él, ya que se esperaba que los oficiales a los que formaba fueran leales al gobierno constituido. Parte de la prensa que no se había alineado con la revolución lo señaló, junto con Jacobi y otros profesores liberales, como «el contingente rojo del personal». ^{[ 3 ]}

En 1849, Dirichlet participó, junto con su amigo Jacobi, en el jubileo del doctorado de Gauss.

A pesar de la pericia de Dirichlet y los honores que recibió, e incluso aunque, para 1851, finalmente había cumplido con todos los requisitos formales para ser catedrático, el tema del aumento de su salario en la universidad seguía sin resolverse y aún no podía abandonar la Academia Militar. En 1855, tras la muerte de Gauss, la Universidad de Gotinga decidió nombrar a Dirichlet como su sucesor. Dadas las dificultades que enfrentaba en Berlín, decidió aceptar la oferta y se mudó inmediatamente a Gotinga con su familia. Kummer fue llamado para asumir su puesto como profesor de matemáticas en Berlín. ^{[ 4 ]}

Dirichlet disfrutó de su tiempo en Gotinga, ya que la menor carga docente le permitió dedicar más tiempo a la investigación y entabló un estrecho contacto con la nueva generación de investigadores, especialmente con Richard Dedekind y Bernhard Riemann . Tras mudarse a Gotinga, consiguió una pequeña beca anual para Riemann con el fin de retenerlo en la plantilla docente. Dedekind, Riemann, Moritz Cantor y Alfred Enneper , aunque ya se habían doctorado, asistieron a las clases de Dirichlet para estudiar con él. Dedekind, que sentía que su formación matemática tenía lagunas, consideraba que la oportunidad de estudiar con Dirichlet lo había transformado en una persona nueva. ^{[ 3 ]} Posteriormente, editó y publicó las conferencias de Dirichlet y otros resultados sobre teoría de números bajo el título Vorlesungen über Zahlentheorie ( Conferencias sobre teoría de números ).

En el verano de 1858, durante un viaje a Montreux , Dirichlet sufrió un infarto. El 5 de mayo de 1859, murió en Gotinga, varios meses después de la muerte de su esposa Rebecka. ^{[ 4 ]} El cerebro de Dirichlet se conserva en el departamento de fisiología de la Universidad de Gotinga, junto con el cerebro de Gauss. La Academia de Berlín lo honró con un discurso conmemorativo formal pronunciado por Kummer en 1860, y posteriormente ordenó la publicación de sus obras completas editadas por Kronecker y Lazarus Fuchs .

La teoría de números fue el principal interés de investigación de Dirichlet, ^{[ 14 ]} un campo en el que encontró varios resultados profundos y, al demostrarlos, introdujo algunas herramientas fundamentales, muchas de las cuales posteriormente recibieron su nombre. En 1837, Dirichlet demostró su teorema sobre progresiones aritméticas utilizando conceptos del análisis matemático para abordar un problema algebraico, creando así la rama de la teoría analítica de números ^. Al demostrar el teorema, introdujo los caracteres de Dirichlet y las funciones L. ^{[ 14 ] [ 15} ] En ese artículo, también señaló la diferencia entre la convergencia absoluta y condicional de series y su impacto en lo que más tarde se denominó el teorema de la serie de Riemann . En 1841, generalizó su teorema de progresiones aritméticas de los enteros al anillo de enteros gaussianos.${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$. ^{[ 3 ]}

En un par de artículos de 1838 y 1839, demostró la fórmula del número de primera clase para formas cuadráticas (posteriormente refinada por su alumno Kronecker). La fórmula, que Jacobi calificó como un resultado que «alcanzaba la máxima perspicacia humana», abrió el camino a resultados similares con respecto a cuerpos numéricos más generales . ^{[ 3 ]} Basándose en su investigación sobre la estructura del grupo unitario de cuerpos cuadráticos , demostró el teorema de la unidad de Dirichlet , un resultado fundamental en la teoría algebraica de números . ^{[ 15 ]}

Primero utilizó el principio del palomar , un argumento básico de conteo, en la demostración de un teorema en aproximación diofántica , posteriormente denominado teorema de aproximación de Dirichlet en su honor . Publicó importantes contribuciones al Último Teorema de Fermat , para el cual demostró los casos n = 5 y n = 14 , y a la ley de reciprocidad bicuadrática . ^{[ 3 ]} El problema del divisor de Dirichlet , para el cual halló los primeros resultados mediante la introducción del método de la hipérbola de Dirichlet , ^{[ 16 ]} sigue siendo un problema sin resolver en teoría de números a pesar de las contribuciones posteriores de otros matemáticos.

Inspirado por el trabajo de su mentor en París, Dirichlet publicó en 1829 una famosa memoria que establecía las condiciones para las cuales se cumplía la convergencia de la serie de Fourier . ^{[ 17 ]} Antes de la solución de Dirichlet, no solo Fourier, sino también Poisson y Cauchy habían intentado sin éxito encontrar una demostración rigurosa de la convergencia. La memoria señaló el error de Cauchy e introdujo el criterio de Dirichlet para la convergencia de series. También introdujo la función de Dirichlet como ejemplo de una función no integrable (la integral definida aún era un tema en desarrollo en ese momento) y, en la demostración del teorema para la serie de Fourier, introdujo el núcleo de Dirichlet y la integral de Dirichlet . ^{[ 18 ]}

Dirichlet también estudió el primer problema de contorno para la ecuación de Laplace , demostrando la unicidad de la solución; este tipo de problema en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales recibió posteriormente el nombre de problema de Dirichlet en su honor. Una función que satisface una ecuación diferencial parcial sujeta a las condiciones de contorno de Dirichlet debe tener valores fijos en la frontera. ^{[ 14 ]} En la demostración, utilizó notablemente el principio de que la solución es la función que minimiza la llamada energía de Dirichlet . Riemann posteriormente denominó a este enfoque principio de Dirichlet , aunque sabía que también lo habían utilizado Gauss y Lord Kelvin . ^{[ 3 ]}

Al intentar determinar el rango de funciones para las cuales se puede demostrar la convergencia de la serie de Fourier, Dirichlet define una función mediante la propiedad de que "a cualquier x le corresponde una única y finita ", pero luego restringe su atención a las funciones continuas a trozos . Con base en esto, se le atribuye la introducción del concepto moderno de función, en contraposición a la antigua comprensión vaga de una función como una fórmula analítica. ^{[ 3 ]} Imre Lakatos cita a Hermann Hankel como el origen temprano de esta atribución, pero refuta la afirmación diciendo que "hay amplia evidencia de que no tenía idea de este concepto [...] por ejemplo, cuando habla de funciones continuas a trozos, dice que en los puntos de discontinuidad, la función tiene dos valores". ^{[ 19 ]}

Dirichlet también trabajó en física matemática , impartiendo clases y publicando investigaciones sobre teoría del potencial (incluidos el problema de Dirichlet y el principio de Dirichlet mencionados anteriormente), la teoría del calor y la hidrodinámica . ^{[ 14 ]} Mejoró el trabajo de Lagrange sobre sistemas conservativos al demostrar que la condición de equilibrio es que la energía potencial sea mínima. ^{[ 20 ]}

Dirichlet también impartió clases sobre teoría de la probabilidad y mínimos cuadrados , introduciendo algunos métodos y resultados originales, en particular para teoremas límite y una mejora del método de aproximación de Laplace relacionado con el teorema del límite central . ^{[ 21 ]} La distribución de Dirichlet y el proceso de Dirichlet , basados ​​en la integral de Dirichlet , llevan su nombre.