Disquisitiones Arithmeticae

Disquisitiones Arithmeticae (enlatín , Investigaciones Aritméticas ) es un libro de texto sobreteoría de númerosescrito en latín porCarl Friedrich Gaussen 1798, cuando Gauss tenía 21 años, y publicado en 1801, cuando tenía 24. Tuvo un impacto revolucionario en la teoría de números al dotarla derigory sistematicidad, y allanó el camino para la teoría de números moderna. En este libro, Gauss reunió y concilió resultados de la teoría de números obtenidos por matemáticos tan eminentes comoFermat,Euler,LagrangeyLegendre, a la vez que añadió resultados propios, profundos y originales.

Las Disquisiciones abarcan tanto la teoría elemental de números como partes del área de las matemáticas que ahora se denomina teoría algebraica de números . Gauss no reconoció explícitamente el concepto de grupo , fundamental para el álgebra moderna , por lo que no utilizó este término. El título que él mismo le dio a su obra fue Aritmética Superior. En el prefacio de las Disquisiciones , Gauss describe el alcance del libro de la siguiente manera:

Las cuestiones que se abordarán en este volumen pertenecen a la parte de las matemáticas que se ocupa de los números enteros.

Gauss también escribe: "Al enfrentar muchos problemas difíciles, se han suprimido las derivaciones en aras de la brevedad cuando los lectores hacen referencia a este trabajo". ("Quod, in pluribus quaestionibus difficilibus, demostrationibus Syntheticis usus sum, analysinque per quam erutae sunt sunt suprisi, imprimis brevitatis studio tribuendum est, cui quantum fieri poterat consulere oportebat")

El libro está dividido en siete secciones:

1. Números congruentes en general
2. Congruencias de primer grado
3. Residuos de poderes
4. Congruencias de segundo grado
5. Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado
6. Diversas aplicaciones de las discusiones anteriores
7. Ecuaciones que definen secciones de un círculo

Estas secciones se subdividen en 366 elementos numerados, que enuncian un teorema con su demostración o desarrollan de otro modo una observación o idea.

Las secciones I a III constituyen esencialmente una revisión de resultados previos, incluyendo el pequeño teorema de Fermat , el teorema de Wilson y la existencia de raíces primitivas . Si bien pocos de los resultados en estas secciones son originales, Gauss fue el primer matemático en reunir este material de manera sistemática. También comprendió la importancia de la propiedad de factorización única (garantizada por el teorema fundamental de la aritmética , estudiado por primera vez por Euclides ), la cual reformula y demuestra utilizando herramientas modernas.

A partir de la Sección IV, gran parte del trabajo es original. La Sección IV desarrolla una demostración de la reciprocidad cuadrática ; la Sección V, que ocupa más de la mitad del libro, es un análisis exhaustivo de las formas cuadráticas binarias y ternarias . La Sección VI incluye dos pruebas de primalidad diferentes . Finalmente, la Sección VII es un análisis de los polinomios ciclotómicos , que concluye con los criterios que determinan qué polígonos regulares son construibles , es decir, pueden construirse únicamente con un compás y una regla sin marcar.

Gauss comenzó a escribir una octava sección sobre congruencias de orden superior, pero no la completó y se publicó por separado después de su muerte con el título Disquisitiones generales de congruentiis (en latín: «Investigaciones generales sobre congruencias»). ^{[ 1 ]} En ella, Gauss discutió congruencias de grado arbitrario, abordando el problema de las congruencias generales desde un punto de vista muy relacionado con el que adoptaron posteriormente Dedekind , Galois y Emil Artin . El tratado allanó el camino para la teoría de cuerpos de funciones sobre un cuerpo finito de constantes. Ideas únicas de ese tratado son el claro reconocimiento de la importancia del morfismo de Frobenius y una versión del lema de Hensel .

Las Disquisitiones fue una de las últimas obras matemáticas escritas en latín erudito . No se publicó una traducción al inglés hasta 1965, realizada por el erudito jesuita Arthur A. Clarke. Clarke fue el primer decano del campus Lincoln Center del Fordham College. ^{[ 2 ]}

Antes de la publicación de las Disquisitiones , la teoría de números consistía en una colección de teoremas y conjeturas aisladas. Gauss reunió el trabajo de sus predecesores junto con su propio trabajo original en un marco sistemático, completó lagunas, corrigió demostraciones erróneas y amplió la materia de numerosas maneras.

La estructura lógica de las Disquisitiones ( enunciado del teorema seguido de su demostración , y luego de sus corolarios ) sentó un precedente para textos posteriores. Si bien Gauss reconoce la importancia fundamental de la demostración lógica, también ilustra muchos teoremas con ejemplos numéricos.

Las Disquisitiones fueron el punto de partida para otros matemáticos europeos del siglo XIX, como Ernst Kummer , Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Richard Dedekind . Muchas de las anotaciones de Gauss son, en efecto, anuncios de investigaciones posteriores suyas, algunas de las cuales permanecieron inéditas. Debieron de resultar particularmente crípticas para sus contemporáneos; ahora pueden interpretarse como el germen de las teorías de las funciones L y la multiplicación compleja , en particular. ^{[ 3 ]}

Las Disquisitiones continuaron ejerciendo influencia en el siglo XX. Por ejemplo, en la sección V, artículo 303, Gauss resumió sus cálculos de números de clase de formas cuadráticas binarias primitivas propias y conjeturó que las había encontrado todas con números de clase 1, 2 y 3. Esto se interpretó posteriormente como la determinación de cuerpos de números cuadráticos imaginarios con discriminante par y número de clase 1, 2 y 3, y se extendió al caso de discriminante impar. Esta cuestión más general, a veces denominada problema del número de clase , fue finalmente confirmada en 1986 ^{[ 4 ]} (la pregunta específica que Gauss planteó fue confirmada por Landau en 1902 ^{[ 5 ]} para el número de clase uno). En la sección VII, artículo 358, Gauss demostró lo que puede interpretarse como el primer caso no trivial de la hipótesis de Riemann para curvas sobre cuerpos finitos (el teorema de Hasse-Weil ). ^{[ 6 ]}

• Gauss, Carl Friedrich (1801), Disquisitiones Arithmeticae (en latín), Leipzig: Gerh. Fleischer
• Gauss, Carl Friedrich (1807) [1801], Recherches Arithmétiques (en francés), traducido por Poullet-Delisle, A.-C.-M., París: Courcier
• Gauss, Carl Friedrich (1889) [1801], Untersuchungen über höhere Arithmetik de Carl Friedrich Gauss (en alemán), traducido por Maser, H., Berlín: Springer; Reimpreso en 1965, Nueva York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
• Gauss, Carl Friedrich (1966) [1801], Groth, Paul; Bressi, Todd W. (eds.), Disquisitiones Arithmeticae (PDF) , traducido por Clarke, Arthur A., ​​New Haven: Yale, doi : 10.12987/9780300194258 , ISBN 978-0-300-09473-2; Edición corregida 1986, Nueva York: Springer, doi : 10.1007/978-1-4939-7560-0 , ISBN 978-0-387-96254-2
• Dunnington, G. Waldo (1935), "Gauss, sus Disquisitiones Arithmeticae y sus contemporáneos en el Institut de France", National Mathematics Magazine , 9 (7): 187–192 , doi : 10.2307/3028190 , JSTOR 3028190 
• Goldstein, Catalina ; Schappacher, Norberto ; Schwermer, Joachim (2010), La configuración de la aritmética después de las Disquisitiones Arithmeticae de CF Gauss , Springer, ISBN 978-3-642-05802-8

• Medios relacionados con Disquisitiones Arithmeticae en Wikimedia Commons
•  Latin Wikisource tiene el texto original relacionado con este artículo: Disquisitiones arithmeticae (original en latín) (primera ed. 1801) (ed. 1870)
•  La Wikisource francesa contiene el texto original relacionado con este artículo: Recherches arithmétiques (traducción al francés) (ed. 1807).