Problema del número de clases

En matemáticas , el problema del número de clases de Gauss ( para campos cuadráticos imaginarios ), como se entiende habitualmente, consiste en proporcionar para cada n  ≥  1 una lista completa de campos cuadráticos imaginarios.${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$(para enteros negativos d ) con número de clase n . Recibe su nombre de Carl Friedrich Gauss . También puede expresarse en términos de discriminantes . Existen cuestiones relacionadas para campos cuadráticos reales y para el comportamiento como${\displaystyle d\to -\infty }$.

La dificultad reside en el cálculo efectivo de los límites: para un discriminante dado, es fácil calcular el número de clases, y existen varios límites inferiores ineficaces para el número de clases (lo que significa que implican una constante que no se calcula), pero los límites efectivos (y las pruebas explícitas de completitud de las listas) son más difíciles.

Los problemas se plantean en las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss de 1801 (Sección V, Artículos 303 y 304). ^{[ 1 ]}

Gauss analiza los campos cuadráticos imaginarios en el artículo 303, donde enuncia las dos primeras conjeturas, y analiza los campos cuadráticos reales en el artículo 304, donde enuncia la tercera conjetura.

Conjetura de Gauss (el número de clases tiende a infinito)

${\displaystyle h(d)\to \infty {\text{ cuando }}d\to -\infty .}$

Problema del número de clases de Gauss (listas de números de clases bajas)

Para un número de clase bajo dado (como 1, 2 y 3), Gauss proporciona listas de campos cuadráticos imaginarios con el número de clase dado y cree que están completas.

Infinitos campos cuadráticos reales con clase número uno

Gauss conjetura que existen infinitos campos cuadráticos reales con número de clase uno.

El problema original del número de clases de Gauss para campos cuadráticos imaginarios es significativamente diferente y más sencillo que la formulación moderna: se restringió a discriminantes pares y permitió discriminantes no fundamentales.

Conjetura de Gauss

Resuelto, Heilbronn, 1934. ^{[ 2 ]}

Listas de números de clase bajos

Clase número 1: resuelta, Baker (1966), Stark (1967), Heegner (1952).

Clase número 2: resuelta, Baker (1971), Stark (1971) ^{[ 3 ]}

Clase número 3: resuelta, Oesterlé (1985) ^{[ 3 ]}

Números de clase h hasta 100: resuelto, Watkins 2004 ^{[ 4 ]}

Infinitos campos cuadráticos reales con clase número uno

Abierto.

Para campos de números cuadráticos imaginarios, los discriminantes (fundamentales) de clase número 1 son:

${\displaystyle d=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163.}$

Los discriminantes no fundamentales de la clase número 1 son:

${\displaystyle d=-12,-16,-27,-28.}$

Así, los discriminantes pares de la clase número 1, fundamentales y no fundamentales (la pregunta original de Gauss) son:

${\displaystyle d=-4,-8,-12,-16,-28.}$

En 1934, Hans Heilbronn demostró la conjetura de Gauss. ^{[ 2 ]} De manera equivalente, para cualquier número de clase dado, solo hay un número finito de cuerpos de números cuadráticos imaginarios con ese número de clase.

También en 1934, Heilbronn y Edward Linfoot demostraron que había como máximo 10 ^{[ 5 ]} cuerpos de números cuadráticos imaginarios con número de clase 1 (los 9 conocidos, y como máximo uno más). El resultado fue ineficaz (véase resultados eficaces en teoría de números ): no proporcionó límites al tamaño del cuerpo restante.

En desarrollos posteriores, Kurt Heegner analizó por primera vez el caso n = 1 , utilizando formas modulares y ecuaciones modulares para demostrar que no podía existir ningún otro campo de este tipo. Este trabajo no fue aceptado inicialmente; solo con trabajos posteriores de Harold Stark y Bryan Birch (por ejemplo, sobre el teorema de Stark-Heegner y el número de Heegner ) se aclaró la postura y se comprendió el trabajo de Heegner. Casi simultáneamente, Alan Baker demostró lo que hoy conocemos como el teorema de Baker sobre formas lineales en logaritmos de números algebraicos , que resolvió el problema mediante un método completamente diferente. El caso n = 2 se abordó poco después, al menos en principio, como una aplicación del trabajo de Baker. ^{[ 6 ]}

La lista completa de campos cuadráticos imaginarios con número de clase 1 es${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$donde d es uno de

${\displaystyle -1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.}$

El caso general esperó el descubrimiento de Dorian Goldfeld en 1976 de que el problema del número de clases podía conectarse con las funciones L de curvas elípticas . ^{[ 7 ]} Esto redujo efectivamente la cuestión de la determinación efectiva a una sobre establecer la existencia de un cero múltiple de dicha función L. ^{[ 7 ]} Con la demostración del teorema de Gross-Zagier en 1986, una lista completa de campos cuadráticos imaginarios con un número de clases dado podía especificarse mediante un cálculo finito. Todos los casos hasta n = 100 fueron calculados por Watkins en 2004. ^{[ 4 ]} El número de clases de${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-d}})}$para d = 1, 2, 3, ... es

${\displaystyle 1,1,1,1,2,2,1,1,1,2,1,1,2,4,2,1,4,1,1,2,4,2,3,2,1,6,1,1,6,4,3,1,...}$(secuencia A202084 en el OEIS ) .

El caso contrastante de los campos cuadráticos reales es muy diferente, y se sabe mucho menos al respecto. Esto se debe a que lo que aparece en la fórmula analítica para el número de clase no es h , el número de clase en sí mismo, sino h  log ε , donde ε es una unidad fundamental . Este factor adicional es difícil de controlar. Es muy posible que el número de clase 1 para campos cuadráticos reales se presente infinitas veces. 

Las heurísticas de Cohen-Lenstra ^{[ 8 ]} son ​​un conjunto de conjeturas más precisas sobre la estructura de los grupos de clases de los cuerpos cuadráticos. Para cuerpos reales, predicen que aproximadamente el 75,45% de los cuerpos obtenidos al adjuntar la raíz cuadrada de un número primo tendrán clase número 1, un resultado que concuerda con los cálculos. ^{[ 9 ]}

• Lista de campos numéricos con clase número uno

• Baker, Alan (1990), Teoría de números trascendental , Cambridge Mathematical Library (2.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39791-9, MR 0422171 
• Cohen, Henri (1993), Un curso de teoría algebraica computacional de números , Berlín: Springer , ISBN 978-3-540-55640-4
• Goldfeld, Dorian (julio de 1985), "El problema del número de clases de Gauss para campos cuadráticos imaginarios" (PDF) , Bulletin of the American Mathematical Society , 13 (1): 23–37 , doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15352-2
• Heegner, Kurt (1952), "Diophantische Analysis und Modulfunktionen", Mathematische Zeitschrift , 56 (3): 227– 253, doi : 10.1007/BF01174749 , MR 0053135 , S2CID 120109035  

• Weisstein, Eric W. "El problema de los números de clase de Gauss" . MathWorld .