entero gaussiano

En teoría de números , un entero gaussiano es un número complejo cuyas partes real e imaginaria son ambas enteras . Los enteros gaussianos, con la suma y multiplicación ordinarias de números complejos , forman un dominio integral , que generalmente se escribe como${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$o${\displaystyle \mathbb {Z} [i].}$^{[ 1 ]}

Los enteros gaussianos comparten muchas propiedades con los enteros: forman un dominio euclidiano y, por lo tanto, poseen una división euclidiana y un algoritmo euclidiano ; esto implica una factorización única y muchas propiedades relacionadas. Sin embargo, los enteros gaussianos no tienen un orden total que respete la aritmética.

Los enteros gaussianos son enteros algebraicos y forman el anillo más simple de enteros cuadráticos .

Los números enteros gaussianos reciben su nombre del matemático alemán Carl Friedrich Gauss .

Los enteros gaussianos son el conjunto ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {\text{ donde }}i^{2}=-1.}$

En otras palabras, un entero gaussiano es un número complejo tal que tanto su parte real como su parte imaginaria son enteras . Dado que los enteros gaussianos son cerrados bajo la suma y la multiplicación, forman un anillo conmutativo , que es un subanillo del cuerpo de los números complejos. Por lo tanto, es un dominio de integridad . Cuando se consideran dentro del plano complejo , los enteros gaussianos constituyen la red cuadrada bidimensional .

El conjugado de un número complejo a + bi es el número complejo a − bi . La norma${\displaystyle N(a+bi)}$de un entero gaussiano a + bi es su producto con su conjugado:

${\displaystyle N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.}$

La norma de un entero gaussiano es, por lo tanto, el cuadrado de su valor absoluto como número complejo. La norma de un entero gaussiano es un entero no negativo, que es la suma de dos cuadrados . Según el teorema de la suma de dos cuadrados , una norma no puede tener un factor.${\displaystyle p^{k}}$en su descomposición primaria donde${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$y${\displaystyle k}$es extraño (en particular, una norma no es en sí misma congruente con 3 módulo 4).

La norma es multiplicativa , es decir, se tiene ^{[ 3 ]}

${\displaystyle N(zw)=N(z)N(w),}$

para cada par de enteros gaussianos z , w . Esto se puede demostrar directamente o utilizando la propiedad multiplicativa del módulo de los números complejos.

Las unidades del anillo de enteros gaussianos (es decir, los enteros gaussianos cuyo inverso multiplicativo también es un entero gaussiano) son precisamente los enteros gaussianos con norma 1, es decir, 1, −1, i y − i . ^{[ 4 ]}

Los enteros gaussianos poseen una división euclidiana (división con resto) similar a la de los enteros y polinomios . Esto convierte a los enteros gaussianos en un dominio euclidiano e implica que comparten con los enteros y polinomios muchas propiedades importantes, como la existencia de un algoritmo euclidiano para calcular el máximo común divisor , la identidad de Bézout , la propiedad del ideal principal , el lema de Euclides , el teorema de factorización única y el teorema chino del resto , todos los cuales pueden demostrarse utilizando únicamente la división euclidiana.

Un algoritmo de división euclidiana toma, en el anillo de enteros gaussianos, un dividendo a y un divisor b ≠ 0 , y produce un cociente q y un resto r tales que

${\displaystyle a=bq+r\quad {\text{y}}\quad N(r)<N(b).}$

De hecho, se puede hacer que el resto sea más pequeño:

${\displaystyle a=bq+r\quad {\text{y}}\quad N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.}$

Aun con esta mejor desigualdad, el cociente y el resto no son necesariamente únicos, pero se puede refinar la elección para garantizar la unicidad.

Para demostrar esto, se puede considerar el cociente de números complejos x + iy = a / b . Existen enteros únicos m y n tales que − 1 / 2 < x − m ≤ 1 / 2 y − 1 / 2 < y − n ≤ 1 / 2 , y por lo tanto N ( x − m + i ( y − n ) ) ≤ 1 / 2. Tomando q = m + in , se tiene

${\displaystyle a=bq+r,}$

con

${\displaystyle r=b{\bigl (}x-m+i(yn){\bigr )},}$

y

${\displaystyle N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.}$

La elección de x − m e y − n en un intervalo semiabierto es necesaria para la unicidad. Esta definición de división euclidiana puede interpretarse geométricamente en el plano complejo (véase la figura), observando que la distancia de un número complejo ξ al entero gaussiano más cercano es como máximo ⁠ √ 2 / 2 ⁠ . ^{[ 5 ]}

Dado que el anillo G de enteros gaussianos es un dominio euclidiano, G es un dominio de ideales principales , lo que significa que todo ideal de G es principal . Explícitamente, un ideal I es un subconjunto de un anillo R tal que toda suma de elementos de I y todo producto de un elemento de I por un elemento de R pertenecen a I. Un ideal es principal si consta de todos los múltiplos de un único elemento g , es decir, tiene la forma

${\displaystyle \{gx\mid x\in G\}.}$

En este caso, se dice que el ideal es generado por g o que g es un generador del ideal.

Todo ideal I en el anillo de los enteros gaussianos es principal, porque, si se elige en I un elemento no nulo g de norma mínima, para cada elemento x de I , el resto de la división euclidiana de x entre g también pertenece a I y tiene una norma menor que la de g ; debido a la elección de g , esta norma es cero, y por lo tanto el resto también es cero. Es decir, se tiene x = qg , donde q es el cociente.

Para cualquier g , el ideal generado por g también es generado por cualquier asociado de g , es decir, g , gi , −g , −gi ; ningún otro elemento genera el mismo ideal. Como todos los generadores de un ideal tienen la misma norma, la norma de un ideal es la norma de cualquiera de sus generadores.

En ciertas circunstancias, es útil elegir, de una vez por todas, un generador para cada ideal. Hay dos maneras clásicas de hacerlo, ambas considerando primero los ideales de norma impar. Si g = a + bi tiene una norma impar a² + b² , entonces uno de a y b es impar, y el otro es par. Por lo tanto, ^g tiene exactamente un asociado con una parte real a que es impar y positiva ^. En su artículo original, Gauss hizo otra elección, al elegir el único asociado tal que el resto de su división por 2 + 2i es uno. De hecho, como N (2 + 2i ) = 8 , la norma del resto no es mayor que 4. Como esta norma es impar, y 3 no es la norma de un entero gaussiano, la norma del resto es uno, es decir, el resto es una unidad. Multiplicando g por el inverso de esta unidad, se encuentra un asociado que tiene uno como resto, cuando se divide por 2 + 2i .

Si la norma de g es par, entonces se cumple que g = 2 ^k h o g = 2 ^k h (1 + i ) , donde k es un entero positivo y N ( h ) es impar. Por lo tanto, se elige el asociado de g para obtener un h que se ajuste a la elección de los asociados para elementos de norma impar.

Como los enteros gaussianos forman un dominio de ideales principales , también forman un dominio de factorización única . Esto implica que un entero gaussiano es irreducible (es decir, no es el producto de dos números que no son unidades ) si y solo si es primo (es decir, genera un ideal primo ).

Los elementos primos de Z [ i ] también se conocen como primos gaussianos . Un asociado de un primo gaussiano también es un primo gaussiano. El conjugado de un primo gaussiano también es un primo gaussiano (esto implica que los primos gaussianos son simétricos respecto a los ejes real e imaginario).

Un entero positivo es un primo gaussiano si y solo si es un número primo congruente con 3 módulo 4 (es decir, se puede escribir 4n + 3 , donde n es un entero no negativo) (secuencia A002145 en la OEIS ) . Los demás números primos no son primos gaussianos, sino que cada uno es el producto de dos primos gaussianos conjugados .

Un entero gaussiano a + bi es un primo gaussiano si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• uno de a , b es cero y el valor absoluto del otro es un número primo de la forma 4 n + 3 (donde n es un entero no negativo), o
• ambos son distintos de cero y a² + b² es un número primo (que nunca tendrá la forma 4ⁿ + ^{3 )} .

En otras palabras, un entero gaussiano m es un primo gaussiano si y solo si su norma es un número primo, o m es el producto de una unidad ( ±1, ± i ) y un número primo de la forma 4 n + 3 .

De ello se deduce que existen tres casos para la factorización de un número natural primo p en los enteros gaussianos:

• Si p es congruente con 3 módulo 4, entonces es un primo gaussiano; en el lenguaje de la teoría algebraica de números , se dice que p es inerte en los enteros gaussianos.
• Si p es congruente con 1 módulo 4, entonces es el producto de un primo gaussiano por su conjugado, ambos primos gaussianos no asociados (ninguno es el producto del otro por una unidad); se dice que p es un primo descompuesto en los enteros gaussianos. Por ejemplo, 5 = (2 + i )(2 − i ) y 13 = (3 + 2 i )(3 − 2 i ) .
• Si p = 2 , tenemos 2 = (1 + i )(1 − i ) = i (1 − i ) ² ; es decir, 2 es el producto del cuadrado de un primo gaussiano por una unidad; es el único primo ramificado en los enteros gaussianos.

En cuanto a cada dominio de factorización único , cada entero gaussiano puede factorizarse como producto de una unidad y primos gaussianos, y esta factorización es única hasta el orden de los factores y la sustitución de cualquier primo por cualquiera de sus asociados (junto con un cambio correspondiente del factor unidad).

Si se elige, de una vez por todas, un primo gaussiano fijo para cada clase de equivalencia de primos asociados, y si se toman solo estos primos seleccionados en la factorización, entonces se obtiene una factorización prima que es única salvo el orden de los factores. Con las elecciones descritas anteriormente , la factorización única resultante tiene la forma

${\displaystyle u(1+i)^{e_{0}}{p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},}$

donde u es una unidad (es decir, u ∈ {1, −1, i , − i } ), e ₀ y k son enteros no negativos, e ₁ , …, e _k son enteros positivos, y p ₁ , …, p _k son primos gaussianos distintos tales que, dependiendo de la elección de asociados seleccionados,

• ya sea p _k = a _k + ib _k con a impar y positivo, y b par,
• o el resto de la división euclidiana de p _k por 2 + 2 i es igual a 1 (esta es la elección original de Gauss ^{[ 6 ]} ).

Una ventaja de la segunda opción es que los asociados seleccionados se comportan bien bajo productos para enteros gaussianos de norma impar. Por otro lado, los asociados seleccionados para los primos gaussianos reales son enteros negativos. Por ejemplo, la factorización de 231 en los enteros, con la primera opción de asociados es 3 × 7 × 11 , mientras que con la segunda opción es (−1) × (−3) × (−7) × (−11) .

El cuerpo de los racionales gaussianos es el cuerpo de las fracciones del anillo de los enteros gaussianos. Consiste en los números complejos cuya parte real e imaginaria son ambas racionales .

El anillo de enteros gaussianos es la clausura integral de los enteros en los racionales gaussianos.

Esto implica que los enteros gaussianos son enteros cuadráticos y que un racional gaussiano es un entero gaussiano si y solo si es una solución de una ecuación.

${\displaystyle x^{2}+cx+d=0,}$

con c y d enteros. De hecho, a + bi es la solución de la ecuación.

${\displaystyle x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2},}$

y esta ecuación tiene coeficientes enteros si y solo si a y b son ambos enteros.

En cuanto a cualquier dominio de factorización única , el máximo común divisor (mcd) de dos enteros gaussianos a y b es un entero gaussiano d que es un divisor común de a y b , que tiene como divisor a todos los divisores comunes de a y b . Es decir (donde | denota la relación de divisibilidad ),

• d | a y d | b , y
• c | a y c | b implica c | d .

Por lo tanto, "mayor" se refiere a la relación de divisibilidad, y no a un ordenamiento del anillo (para los números enteros, ambos significados de "mayor" coinciden).

En términos más técnicos, el máximo común divisor de a y b es un generador del ideal generado por a y b (esta caracterización es válida para dominios de ideales principales , pero no, en general, para dominios de factorización única).

El máximo común divisor de dos enteros gaussianos no es único, pero está definido salvo la multiplicación por una unidad . Es decir, dado un máximo común divisor d de a y b , los máximos comunes divisores de a y b son d , −d , id y −id .

Hay varias formas de calcular el máximo común divisor de dos enteros gaussianos a y b . Cuando se conocen las factorizaciones primas de a y b ,

${\displaystyle a=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}},\quad b=i^{n}\prod _{m}{p_{m}}^{\mu _{m}},}$

donde los números primos p _m no están asociados entre sí, y los exponentes μ _m no están asociados, un máximo común divisor es

${\displaystyle \prod _{m}{p_{m}}^{\lambda _{m}},}$

con

${\displaystyle \lambda _ {m}=\min(\nu _ {m},\mu _ {m}).}$

Desafortunadamente, salvo en casos sencillos, la factorización prima es difícil de calcular, y el algoritmo euclidiano conduce a un cálculo mucho más fácil (y rápido). Este algoritmo consiste en reemplazar la entrada ( a , b ) por ( b , r ) , donde r es el resto de la división euclidiana de a entre b , y repetir esta operación hasta obtener un resto cero, es decir, un par ( d , 0) . Este proceso termina porque, en cada paso, la norma del segundo entero gaussiano disminuye. El d resultante es el máximo común divisor, porque (en cada paso) b y r = a − bq tienen los mismos divisores que a y b , y por lo tanto el mismo máximo común divisor.

Este método de cálculo siempre funciona, pero no es tan sencillo como para los enteros porque la división euclidiana es más compleja. Por lo tanto, para los cálculos manuales se suele preferir un tercer método. Consiste en observar que la norma N ( d ) del máximo común divisor de a y b es un divisor común de N ( a ) , N ( b ) y N ( a + b ) . Cuando el máximo común divisor D de estos tres enteros tiene pocos factores, entonces es fácil comprobar, para encontrar un divisor común, todos los enteros gaussianos cuya norma divida a D.

Por ejemplo, si a = 5 + 3 i , y b = 2 − 8 i , se tiene N ( a ) = 34 , N ( b ) = 68 , y N ( a + b ) = 74 . Como el máximo común divisor de las tres normas es 2, el máximo común divisor de a y b tiene 1 o 2 como norma. Como un entero gaussiano de norma 2 está necesariamente asociado a 1 + i , y como 1 + i divide a a y b , entonces el máximo común divisor es 1 + i .

Si se reemplaza b por su conjugado b = 2 + 8 i , entonces el máximo común divisor de las tres normas es 34, la norma de a , por lo que se puede suponer que el máximo común divisor es a , es decir, que a | b . De hecho, se tiene 2 + 8 i = (5 + 3 i )(1 + i ) .

Dado un entero gaussiano z₀ , llamado módulo , _dos enteros gaussianos _z₁ y _z₂ son congruentes módulo z₀ si su diferencia es un múltiplo de z₀ _{, es decir ,} si existe un entero gaussiano q tal que _z₁ − z₂ = qz₀ . _{En otras palabras ,} dos enteros gaussianos son congruentes módulo z₀ si su diferencia pertenece al ideal generado por _z₀ . _Esto se denota como z₁ ≡ z₂ ( _{mod z₀ )} .

La congruencia módulo z ₀ es una relación de equivalencia (también llamada relación de congruencia ), que define una partición de los enteros gaussianos en clases de equivalencia , llamadas aquí clases de congruencia o clases de residuo . El conjunto de las clases de residuo se suele denotar Z [ i ]/ z ₀ Z [ i ] , o Z [ i ]/ ⟨ z ₀ ⟩ , o simplemente Z [ i ]/ z ₀ .

La clase de residuo de un entero gaussiano a es el conjunto

${\displaystyle {\bar {a}}:=\left\{z\in \mathbf {Z} [i]\mid z\equiv a{\pmod {z_{0}}}\right\}}$

de todos los enteros gaussianos que son congruentes con a . De ello se deduce que a = b si y solo si a ≡ b (mod z ₀ ) .

La suma y la multiplicación son compatibles con las congruencias. Esto significa que a ₁ ≡ b ₁ (mod z ₀ ) y a ₂ ≡ b ₂ (mod z ₀ ) implican a ₁ + a ₂ ≡ b ₁ + b ₂ (mod z ₀ ) y a ₁ a ₂ ≡ b ₁ b ₂ (mod z ₀ ) . Esto define operaciones bien definidas (es decir, independientes de la elección de representantes) sobre las clases de residuos:

${\displaystyle {\bar {a}}+{\bar {b}}:={\overline {a+b}}\quad {\text{y}}\quad {\bar {a}}\cdot {\bar {b}}:={\overline {ab}}.}$

Con estas operaciones, las clases de residuos forman un anillo conmutativo , el anillo cociente de los enteros gaussianos por el ideal generado por z ₀ , que también se denomina tradicionalmente anillo de clases de residuos módulo z ₀ (para más detalles, véase Anillo cociente ). 

Descripción de las clases de residuos

Dado un módulo z ₀ , todos los elementos de una clase de residuo tienen el mismo resto para la división euclidiana por z ₀ , siempre que se utilice la división con cociente y resto únicos, que se describe anteriormente . Por lo tanto, enumerar las clases de residuo es equivalente a enumerar los posibles restos. Esto se puede hacer geométricamente de la siguiente manera.

En el plano complejo , se puede considerar una cuadrícula cuadrada , cuyos cuadrados están delimitados por las dos líneas.

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{s}&=\left\{\left.z_{0}\left(s-{\tfrac {1}{2}}+ix\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\}\quad {\text{y}}\\H_{t}&=\left\{\left.z_{0}\left(x+i\left(t-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\},\end{aligned}}}$

con s y t enteros (líneas azules en la figura). Estas dividen el plano en cuadrados semiabiertos (donde m y n son enteros).

${\displaystyle Q_{mn}=\left\{(s+it)z_{0}\left\vert s\in \left[m-{\tfrac {1}{2}},m+{\tfrac {1}{2}}\right),t\in \left[n-{\tfrac {1}{2}},n+{\tfrac {1}{2}}\right)\right.\right\}.}$

Los intervalos semiabiertos que aparecen en la definición de Q _mn se han elegido de manera que cada número complejo pertenezca exactamente a un cuadrado; es decir, los cuadrados Q _mn forman una partición del plano complejo. Uno tiene

${\displaystyle Q_{mn}=(m+in)z_{0}+Q_{00}=\left\{(m+in)z_{0}+z\mid z\in Q_{00}\right\}.}$

Esto implica que cada entero gaussiano es congruente módulo z ₀ con un único entero gaussiano en Q ₀₀ (el cuadrado verde en la figura), que es su resto de la división por z ₀ . En otras palabras, cada clase de residuo contiene exactamente un elemento en Q ₀₀ .

Los enteros gaussianos en Q ₀₀ (o en su frontera ) a veces se denominan residuos mínimos porque su norma no es mayor que la norma de cualquier otro entero gaussiano en la misma clase de residuos (Gauss los llamó residuos absolutamente más pequeños ).

De esto se puede deducir, mediante consideraciones geométricas, que el número de clases de residuos módulo un entero gaussiano z ₀ = a + bi es igual a su norma N ( z ₀ ) = a ² + b ² (véase más abajo la demostración; de forma similar, para los enteros, el número de clases de residuos módulo n es su valor absoluto | n | ).

Prueba

La relación Q _mn = ( m + in ) z ₀ + Q ₀₀ significa que todos los Q _mn se obtienen a partir de Q ₀₀ trasladándolo por un entero gaussiano. Esto implica que todos los Q _mn tienen la misma área N = N ( z ₀ ) y contienen el mismo número n _g de enteros gaussianos.

Generalmente, el número de puntos de la cuadrícula (aquí los enteros gaussianos) en un cuadrado arbitrario con área A es A + Θ ( √ A ) (ver Big theta para la notación). Si se considera un cuadrado grande que consta de k × k cuadrados Q _mn , entonces contiene k ² N + O ( k √ N ) puntos de la cuadrícula. Se sigue k ² n _g = k ² N + Θ ( k √ N ) , y por lo tanto n _g = N + Θ ( ⁠ √ N / k ⁠ ) , después de una división por k ² . Tomando el límite cuando k tiende al infinito se obtiene n _g = N = N ( z ₀ ) .

Muchos teoremas (y sus demostraciones) para módulos de enteros pueden transferirse directamente a módulos de enteros gaussianos, si se reemplaza el valor absoluto del módulo por la norma. Esto se cumple especialmente para el grupo de clases de residuos primitivos (también llamado grupo multiplicativo de enteros módulo n ) y la función totiente de Euler . El grupo de clases de residuos primitivos de un módulo z se define como el subconjunto de sus clases de residuos que contiene todas las clases de residuos a que son coprimas con z , es decir, ( a , z ) = 1. Obviamente, este sistema construye un grupo multiplicativo . El número de sus elementos se denotará por ϕ ( z ) (de forma análoga a la función totiente de Euler φ ( n ) para enteros n ).

Para los primos gaussianos se sigue inmediatamente que ϕ ( p ) = | p | ² − 1 y para enteros gaussianos compuestos arbitrarios

${\displaystyle z=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}}}$

La fórmula del producto de Euler se puede derivar como

${\displaystyle \phi (z)=\prod _{m\,(\nu _{m}>0)}{\bigl |}{p_{m}}^{\nu _{m}}{\bigr |}^{2}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)=|z|^{2}\prod _{p_{m}|z}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)}$

donde el producto consiste en construir sobre todos los divisores primos p _m de z (con ν _m > 0 ). Además, el importante teorema de Euler se puede transferir directamente:

Para todo a con ( a , z ) = 1 , se cumple que a ^{ϕ ( z )} ≡ 1 (mod z ) .

El anillo de enteros gaussianos fue introducido por Carl Friedrich Gauss en su segunda monografía sobre reciprocidad cuártica (1832). ^{[ 7 ]} El teorema de reciprocidad cuadrática (que había logrado demostrar por primera vez en 1796) relaciona la resolubilidad de la congruencia x ² ≡ q (mod p ) con la de x ² ≡ p (mod q ) . De manera similar, la reciprocidad cúbica relaciona la resolubilidad de x ³ ≡ q (mod p ) con la de x ³ ≡ p (mod q ) , y la reciprocidad bicuadrática (o cuártica) es una relación entre x ⁴ ≡ q (mod p ) y x ⁴ ≡ p (mod q ) . Gauss descubrió que la ley de reciprocidad bicuadrática y sus complementos se enunciaban y demostraban más fácilmente como afirmaciones sobre "números complejos enteros" (es decir, los enteros gaussianos) que como afirmaciones sobre números enteros ordinarios (es decir, los enteros simples).

En una nota a pie de página, señala que los números enteros de Eisenstein son el dominio natural para enunciar y demostrar resultados sobre la reciprocidad cúbica , e indica que extensiones similares de los números enteros son los dominios apropiados para estudiar leyes de reciprocidad de orden superior.

Este artículo no solo introdujo los enteros gaussianos y demostró que constituyen un dominio de factorización único, sino que también introdujo los términos norma, unidad, primario y asociado, que ahora son estándar en la teoría algebraica de números.

La mayoría de los problemas sin resolver están relacionados con la distribución de números primos gaussianos en el plano.

• El problema del círculo de Gauss no trata sobre los enteros gaussianos en sí, sino que busca el número de puntos de una red entera dentro de un círculo de radio dado centrado en el origen. Esto equivale a determinar el número de enteros gaussianos con norma menor que un valor dado.

También existen conjeturas y problemas sin resolver sobre los primos gaussianos. Dos de ellos son:

• Los ejes real e imaginario contienen el conjunto infinito de primos gaussianos 3, 7, 11, 19, ... y sus asociados. ¿Existen otras rectas que contengan infinitos primos gaussianos? En particular, ¿existen infinitos primos gaussianos de la forma 1 + ki ? ^{[ 8 ]}
• ¿Es posible caminar hasta el infinito usando los números primos gaussianos como escalones y dando pasos de longitud uniformemente limitada? Esto se conoce como el problema del foso gaussiano ; fue planteado en 1962 por Basil Gordon y aún no se ha resuelto. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

• Entero algebraico
• Campo ciclotómico
• Entero de Eisenstein
• Eisenstein primo
• cuaternión de Hurwitz
• Demostraciones del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados
• Demostraciones de reciprocidad cuadrática
• Entero cuadrático
• La descomposición de ideales primos en extensiones de Galois describe la estructura de los ideales primos en los enteros gaussianos.
• Tabla de factorizaciones enteras gaussianas

• Gauss, CF (1831), "Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda". , Com. Soc. Reg. Ciencia. Gotinga , 7 : 89-148​; reimpreso en Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, págs.  93-148. Una traducción al alemán de este artículo está disponible en línea en ″H. Maser (ed.): Arithmetische Untersuchungen über höhere Arithmetik de Carl Friedrich Gauss. Springer, Berlín 1889, págs.  534″.
• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2.ª  ed.), Reading: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Kleiner, Israel (1998). "De los números a los anillos: la historia temprana de la teoría de anillos" . Elem. Math. 53 (1): 18– 35. doi : 10.1007/s000170050029 . Zbl 0908.16001 . 
• Ribenboim, Paulo (1996). El nuevo libro de registros de números primos (3.ª  ed.). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94457-5. Zbl 0856.11001 . 
• Henry G. Baker (1993). "Enteros gaussianos complejos para "gráficos gaussianos""". ACM SIGPLAN Notices . 28 (11): 22– 27. doi : 10.1145/165564.165571 . S2CID 8083226 . 

• Texto del Compendio de la OMI sobre extensiones cuadráticas y enteros gaussianos en la resolución de problemas.
• Keith Conrad, Los enteros gaussianos .