Entero cuadrático

En teoría de números , los enteros cuadráticos son una generalización de los enteros usuales a campos cuadráticos . Un número complejo se denomina entero cuadrático si es raíz de algún polinomio mónico (un polinomio cuyo coeficiente principal es 1) de grado dos cuyos coeficientes son enteros; es decir, los enteros cuadráticos son enteros algebraicos de grado dos. Por lo tanto, los enteros cuadráticos son aquellos números complejos que son soluciones de ecuaciones de la forma

x² + bx + c = 0

con $b$ y $c$ enteros (usuales). Cuando se consideran enteros algebraicos, los enteros usuales a menudo se denominan enteros racionales .

Ejemplos comunes de enteros cuadráticos son las raíces cuadradas de enteros racionales, como ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ y el número complejo ${\textstyle i={\sqrt {-1}}}$ , que genera los enteros gaussianos . Otro ejemplo común es la raíz cúbica no real de la unidad. ${\textstyle {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}$ , que genera los enteros de Eisenstein .

Los números cuadráticos enteros aparecen en las soluciones de muchas ecuaciones diofánticas , como las ecuaciones de Pell , y en otros problemas relacionados con formas cuadráticas enteras . El estudio de anillos de números cuadráticos enteros es fundamental para muchos problemas de la teoría algebraica de números .

Historia

Los matemáticos indios medievales ya habían descubierto una multiplicación de enteros cuadráticos del mismo discriminante $D$ , lo que les permitió resolver algunos casos de la ecuación de Pell .

La caracterización dada en § Representación explícita de los enteros cuadráticos fue dada por primera vez por Richard Dedekind en 1871. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Definición

Un entero cuadrático es un entero algebraico de grado dos. Más explícitamente, es un número complejo. $x=(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}})/2$ , que resuelve una ecuación de la forma $x² + bx +$ $c = 0, con b$ y $c$ enteros $.$ Cada entero cuadrático que no es un entero no es racional —es decir, es un número irracional real si $b² - 4c > 0$ y no real si $b² - 4c < 0—$ y se encuentra en un campo cuadrático determinado $de forma única$ $.$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ , la extensión de $\mathbb {Q}$ generado por la raíz cuadrada del único entero libre $de$ cuadrados $D$ que satisface $b² - 4c = De²$ para algún entero $e$ . Si $D$ es positivo, el entero cuadrático es real. Si $D$ $< 0$ , es imaginario (es decir, complejo y no real).

Los enteros cuadráticos (incluidos los enteros ordinarios) que pertenecen a un campo cuadrático. $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ forman un dominio integral llamado anillo de enteros de $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).$

Aunque los enteros cuadráticos pertenecientes a un cuerpo cuadrático dado forman un anillo , el conjunto de todos los enteros cuadráticos no es un anillo porque no es cerrado bajo la suma o la multiplicación. Por ejemplo, $1+{\sqrt {2}}$ y ${\sqrt {3}}$ son enteros cuadráticos, pero $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ y $(1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}$ No lo son, ya que sus polinomios mínimos tienen grado cuatro.

Representación explícita

Aquí y en lo sucesivo, los enteros cuadráticos que se consideran pertenecen a un campo cuadrático. $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,),$ donde $D$ es un entero libre de cuadrados. Esto no restringe la generalidad, ya que la igualdad ${\textstyle {\sqrt {a^{2}D}}=a{\sqrt {D}}}$ (para cualquier entero positivo $a$ ) implica ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}\,).}$

Un elemento $x$ de ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ es un entero cuadrático si y solo si hay dos enteros $a$ y $b$ tales que o bien

x=a+b{\sqrt {D}},

o, si $D - 1$ es un múltiplo de $4$

x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},

donde

a

y

b son

ambos impares .

En otras palabras, todo entero cuadrático puede escribirse como $a + ωb$ , donde $a$ y $b$ son enteros, y donde $ω$ se define por

\omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}

(como se ha supuesto que $D$ es libre de cuadrados el caso ${\textstyle D\equiv 0{\pmod {4}}}$ es imposible, puesto que implicaría que $D$ es divisible por el cuadrado 4). ^{[ 3 ]}

Norma y conjugación

Un entero cuadrático en $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ puede estar escrito

{\textstyle a+b{\sqrt {D}}}

,

donde $a$ y $b$ son ambos enteros, o, solo si $D \equiv 1 (mod 4)$ , ambas mitades de enteros impares . La norma de dicho entero cuadrático es

{\textstyle N(a+b{\sqrt {D}})=a^{2}-Db^{2}.}

La norma de un entero cuadrático siempre es un entero. Si $D < 0$ , la norma de un entero cuadrático es el cuadrado de su valor absoluto como número complejo (esto es falso si ${\textstyle D>0}$ ). La norma es una función completamente multiplicativa , lo que significa que la norma de un producto de enteros cuadráticos es siempre el producto de sus normas.

Cada entero cuadrático ${\textstyle a+b{\sqrt {D}}}$ tiene un conjugado

{\textstyle {\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=a-b{\sqrt {D}}.}

Un entero cuadrático tiene la misma norma que su conjugado, y esta norma es el producto del entero cuadrático y su conjugado. El conjugado de una suma o un producto de enteros cuadráticos es la suma o el producto (respectivamente) de los conjugados. Esto significa que la conjugación es un automorfismo del anillo de los enteros de $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ – véase § Anillos enteros cuadráticos , más abajo.

Anillos enteros cuadráticos

Cada entero libre de cuadrados (distinto de 0 y 1) $D$ define un anillo entero cuadrático , que es el dominio integral que consta de los enteros algebraicos contenidos en $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).$ Es el conjunto $\mathbb {Z} [\omega ]=\{a+\omega b:a,b\in \mathbb {Z} \}$ dónde $\omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ si $D = 4 k + 1$ , y $ω = \sqrt D$ en caso contrario. A menudo se denota ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ , porque es el anillo de enteros de $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ , que es el cierre integral de $\mathbb {Z}$ en $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).$ El anillo $\mathbb {Z} [\omega ]$ consiste en todas las raíces de todas las ecuaciones $x²$ $+ Bx + C = 0$ cuyo discriminante $B² - 4C es$ el producto de $D$ por el cuadrado de un entero. En particular , $\sqrtD$ pertenece a $\mathbb {Z} [\omega ]$ , siendo una raíz de la ecuación $x 2 - D = 0$ , que tiene $4 D$ como su discriminante.

La raíz cuadrada de cualquier entero es un entero cuadrático, ya que todo entero se puede escribir $como$ $n = m² D$ , donde $D es un entero libre$ $de$ cuadrados, y su raíz cuadrada es una raíz de $x²$ $- m² D = 0$ .

El teorema fundamental de la aritmética no es cierto en muchos anillos de enteros cuadráticos. Sin embargo, existe una factorización única para ideales , que se expresa mediante el hecho de que todo anillo de enteros algebraicos es un dominio de Dedekind . Siendo los ejemplos más simples de enteros algebraicos, los enteros cuadráticos suelen ser los ejemplos iniciales de la mayoría de los estudios de teoría algebraica de números . ^{[ 4 ]}

Los anillos enteros cuadráticos se dividen en dos clases dependiendo del signo de $D.$ Si $D > 0$ , todos los elementos de ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ son reales, y el anillo es un anillo entero cuadrático real . Si $D < 0$ , los únicos elementos reales de ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ son los enteros ordinarios, y el anillo es un anillo de enteros cuadráticos complejos .

Para anillos enteros cuadráticos reales, el número de clase , que mide el fallo de la factorización única, se da en OEIS A003649 ; para el caso imaginario, se dan en OEIS A000924 .

Unidades

Un entero cuadrático es una unidad en el anillo de los enteros de $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ si y solo si su norma es $1$ o $-1$ . En el primer caso, su inverso multiplicativo es su conjugado. En el segundo caso, es la negación de su conjugado.

Si $D < 0$ , el anillo de los enteros de $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ tiene como máximo seis unidades. En el caso de los enteros gaussianos ( $D = -1$ ), las cuatro unidades son ${\textstyle 1,-1,{\sqrt {-1}},-{\sqrt {-1}}}$ . En el caso de los enteros de Eisenstein ( $D = -3$ ), las seis unidades son ${\textstyle \pm 1,{\frac {\pm 1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}}$ . Para todos los demás $D$ negativos , solo hay dos unidades, que son $1$ y $-1$ .

Si $D > 0$ , el anillo de los enteros de $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ tiene infinitas unidades que son iguales a $\pm u i$ , donde $i$ es un entero arbitrario y $u$ es una unidad particular llamada unidad fundamental . Dada una unidad fundamental $u$ , hay otras tres unidades fundamentales, su conjugada ${\overline {u}},$ y también $-u$ y $-{\overline {u}}.$ Generalmente, se denomina " unidad fundamental" a aquella que tiene un valor absoluto mayor que 1 (como número real). Esta unidad fundamental única se puede escribir como $a + b \sqrt D$ , donde $a$ y $b$ son números positivos (enteros o mitades de enteros).

$Las unidades fundamentales para los 10 D$ libres de cuadrados positivos más pequeños son ${\textstyle 1+{\sqrt {2}}}$ (la proporción de plata ), ${\textstyle 2+{\sqrt {3}}}$ , ${\textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ (la proporción áurea ), ${\textstyle 5+2{\sqrt {6}}}$ , ${\textstyle 8+3{\sqrt {7}}}$ , ${\textstyle 3+{\sqrt {10}}}$ , ${\textstyle 10+3{\sqrt {11}}}$ , ${\textstyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$ , ${\textstyle 15+4{\sqrt {14}}}$ , ${\textstyle 4+{\sqrt {15}}}$ Para valores mayores de $D$ , los coeficientes de la unidad fundamental pueden ser muy grandes. Por ejemplo, para $D = 19, 31, 43$ , las unidades fundamentales son respectivamente ${\textstyle 170+39{\sqrt {19}}}$ , ${\textstyle 1520+273{\sqrt {31}}}$ y ${\textstyle 3482+531{\sqrt {43}}}$ .

Ejemplos de anillos enteros cuadráticos complejos

Números primos de Eisenstein en el plano complejo

Para $D$ < 0, $ω$ es un número complejo ( imaginario o no real). Por lo tanto, es natural tratar un anillo de enteros cuadráticos como un conjunto de números complejos algebraicos .

Un ejemplo clásico es $\mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}\,]$ , los enteros gaussianos , que fueron introducidos por Carl Gauss alrededor de 1800 para enunciar su ley de reciprocidad bicuadrática. ^{[ 5 ]}
Los elementos en ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-3}}~\!{\bigr )}\right]$ se denominan enteros de Eisenstein .
Los elementos en ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-7}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-7}}~\!{\bigr )}\right]$ se denominan enteros kleinianos

Los dos primeros anillos mencionados anteriormente son anillos de enteros de campos ciclotómicos Q ( ζ ₄ ) y Q ( ζ ₃ ) respectivamente. En contraste, $\mathbf {Z} {\bigl [}{\sqrt {-3}}~\!{\bigr ]}$ Ni siquiera es un dominio de Dedekind .

Todos los ejemplos anteriores son anillos ideales principales y también dominios euclidianos para la norma. Este no es el caso para

{\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\,\right],

que ni siquiera es un dominio de factorización único . Esto se puede demostrar de la siguiente manera.

En ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)},$ tenemos

9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).

Los factores 3, $2+{\sqrt {-5}}$ y $2-{\sqrt {-5}}$ son irreducibles , ya que todos tienen una norma de 9, y si no lo fueran, tendrían un factor de norma 3, lo cual es imposible, pues la norma de un elemento distinto de $\pm1$ es al menos 4. Por lo tanto, la factorización de 9 en factores irreducibles no es única.

Los ideales $\langle 3,1+{\sqrt {-5}}\,\rangle$ y $\langle 3,1-{\sqrt {-5}}\,\rangle$ no son principales , ya que un cálculo simple muestra que su producto es el ideal generado por 3, y, si fueran principales, esto implicaría que 3 no sería irreducible.

Ejemplos de anillos enteros cuadráticos reales

Primos dorados $π = a + bω$ en el plano real, usando el mapa $x, y = (π, π)$ y dejando fuera los múltiplos $\pmω n π$ con $n \neq 0.$

Para $D > 0$ , $ω$ es un número real irracional positivo , y el anillo entero cuadrático correspondiente es un conjunto de números reales algebraicos. Las soluciones de la ecuación de Pell $X 2 - DY 2 = 1$ , una ecuación diofántica que ha sido ampliamente estudiada, son las unidades de estos anillos, para $D \equiv 2, 3 (mod 4)$ .

Para $D = 5$ , $ω = 1 / 2 (1 + \sqrt 5) es la proporción$ áurea . Este anillo de enteros áureos fue estudiado por $Peter$ Gustav Lejeune Dirichlet . Sus unidades tienen la forma $\pm ω n$ , donde $n es un entero arbitrario. Este anillo también surge del estudio de$ la simetría rotacional quíntuple en el plano euclidiano , por ejemplo, los teselados de Penrose . ^{[ 6 ]}
El matemático indio Brahmagupta trató la ecuación de Pell $X 2 - 61 Y 2 = 1$ , correspondiente al anillo $Z [\sqrt 61] .$ Pierre Fermat presentó algunos resultados a la comunidad europea en 1657.

Anillos principales de enteros cuadráticos

La propiedad de factorización única no siempre se verifica para anillos de enteros cuadráticos, como se vio anteriormente para el caso de $Z [\sqrt -5]$ . Sin embargo, como para todo dominio de Dedekind , un anillo de enteros cuadráticos es un dominio de factorización única si y solo si es un dominio de ideales principales . Esto ocurre si y solo si el número de clases del cuerpo cuadrático correspondiente es uno.

Se han determinado completamente los anillos imaginarios de enteros cuadráticos que son anillos ideales principales. Estos son: ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ para

D = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163

.

Este resultado fue conjeturado por primera vez por Gauss y demostrado por Kurt Heegner , aunque la demostración de Heegner no fue aceptada hasta que Harold Stark presentó una demostración posterior en 1967 (véase el teorema de Stark-Heegner ). Este es un caso particular del famoso problema del número de clases .

Existen muchos enteros positivos conocidos $D > 0$ para los cuales el anillo de enteros cuadráticos es un anillo de ideales principales. Sin embargo, no se conoce la lista completa; ni siquiera se sabe si el número de estos anillos de ideales principales es finito o no.

Anillos euclidianos de enteros cuadráticos

Cuando un anillo de enteros cuadráticos es un dominio de ideales principales, es interesante saber si es un dominio euclidiano . Este problema se ha resuelto completamente de la siguiente manera.

Equipado con la norma $N(a+b{\sqrt {D}}\,)=|a^{2}-Db^{2}|$ como una función euclidiana , ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ es un dominio euclidiano para $D$ negativo cuando

D = -1, -2, -3, -7, -11

,^{[ 7 ]}

y, para $D$ positivo , cuando

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73

(secuencia A048981 en el OEIS ) .

No existe otro anillo de enteros cuadráticos que sea euclidiano con la norma como función euclidiana. ^{[ 8 ]} Para $D$ negativo , un anillo de enteros cuadráticos es euclidiano si y solo si la norma es una función euclidiana para él. De ello se deduce que, para

D = -19, -43, -67, -163

,

Los cuatro anillos correspondientes de números enteros cuadráticos se encuentran entre los raros ejemplos conocidos de dominios ideales principales que no son dominios euclidianos.

Por otro lado, la hipótesis generalizada de Riemann implica que un anillo de enteros cuadráticos reales que es un dominio ideal principal es también un dominio euclidiano para alguna función euclidiana, que de hecho puede diferir de la norma usual. ^{[ 9 ]} Los valores D = 14, 69 fueron los primeros para los que se demostró que el anillo de enteros cuadráticos era euclidiano, pero no euclidiano en el sentido de la norma. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

Notas

↑ Dedekind 1871 , Suplemento X, p. 447
↑ Bourbaki 1994 , pág. 99
↑ "¿Por qué se define de esa manera el anillo de enteros cuadráticos?" . math.stackexchange.com . Consultado el 31 de diciembre de 2016 .
↑ Artin , Cap. 13
↑ Dummit y Foote 2004 , pág. 229
↑ de Bruijn 1981
↑ Dummit y Foote 2004 , pág. 272
^ LeVeque 2002 , págs.II :57, 81
↑ P. Weinberger, Sobre anillos euclidianos de enteros algebraicos . En: Teoría analítica de números (St. Louis, 1972), Proc. Sympos. Pure Math. 24(1973), 321–332.
↑ Harper 2004
↑ Clark 1994

Referencias

Artin, M., Álgebra (2ª ed.)
Bourbaki, Nicolas (1994). Elementos de la historia de las matemáticas . Traducido por Meldrum, John . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. MR 1290116 .
Clark, David A. (1994), "Un campo cuadrático que es euclidiano pero no norma-euclidiano" (PDF) , Manuscripta Mathematica , 83 : 327–330 , doi : 10.1007/BF02567617 , archivado del original (PDF) el 29 de enero de 2015.
de Bruijn, NG (1981), "Teoría algebraica de los mosaicos no periódicos del plano de Penrose, I, II" (PDF) , Indagationes Mathematicae , 43 (1): 39– 66
Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2ª ed.), Vieweg , consultado el 5 de agosto de 2009
Dummit, DS; Foote, RM (2004), Álgebra abstracta (3.ª ed.)
Harper, M. (2004), " $\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$ es euclidiana ", Can. J. Math. 56 , 56 : 55– 70, doi : 10.4153/CJM-2004-003-9
LeVeque, William J. (2002) [1956]. Temas de teoría de números, volúmenes I y II . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001 .

Lecturas adicionales

JS Milne. Teoría algebraica de números , versión 3.01, 28 de septiembre de 2008. Apuntes de clase en línea.

[FOOTNOTEDedekind1871Supplement_X,_p._447-1] Dedekind 1871 , Suplemento X, p. 447

[FOOTNOTEBourbaki199499-2] Bourbaki 1994 , pág. 99

[3] "¿Por qué se define de esa manera el anillo de enteros cuadráticos?" . math.stackexchange.com . Consultado el 31 de diciembre de 2016 .

[FOOTNOTEArtinCh_13-4] Artin , Cap. 13

[FOOTNOTEDummitFoote2004229-5] Dummit y Foote 2004 , pág. 229

[FOOTNOTEde_Bruijn1981-6] Bruijn 1981

[FOOTNOTEDummitFoote2004272-7] Dummit y Foote 2004 , pág. 272

[FOOTNOTELeVeque2002II:57,_81-8] LeVeque 2002 , págs.II :57, 81

[9] P. Weinberger, Sobre anillos euclidianos de enteros algebraicos . En: Teoría analítica de números (St. Louis, 1972), Proc. Sympos. Pure Math. 24(1973), 321–332.

[FOOTNOTEHarper2004-10] Harper 2004

[FOOTNOTEClark1994-11] Clark 1994

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