dominio de factorización única

En matemáticas , un dominio de factorización única ( DFU ) (también llamado a veces anillo factorial, siguiendo la terminología de Bourbaki ) es un anillo en el que se cumple una afirmación análoga al teorema fundamental de la aritmética . Específicamente, un DFU es un dominio integral (un anillo conmutativo no trivial en el que el producto de dos elementos cualesquiera distintos de cero es distinto de cero) en el que todo elemento distinto de cero y distinto de la unidad puede escribirse como un producto de elementos irreducibles , de forma única salvo orden y unidades.

Ejemplos importantes de UFD son los anillos de números enteros y polinomiales en una o más variables con coeficientes que provienen de los números enteros o de un campo .

Los dominios de factorización únicos aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios de ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ cuerpos ⊃ cuerpos algebraicamente cerrados

Formalmente, un dominio de factorización única se define como un dominio de integridad R en el cual cada elemento no nulo x de R que no es una unidad puede escribirse como un producto finito de elementos irreducibles p _i de R :

x = p ₁ p ₂ ⋅⋅⋅ p _n con n ≥ 1

y esta representación es única en el siguiente sentido: Si q ₁ , ..., q _m son elementos irreducibles de R tales que

x = q ₁ q ₂ ⋅⋅⋅ q _m con m ≥ 1 ,

entonces m = n , y existe una aplicación biyectiva φ  : {1, ..., n } → {1, ..., m } tal que p _i está asociada a q _{φ ( i )} para i ∈ {1, ..., n } .

La mayoría de los anillos que nos resultan familiares en matemáticas elementales son UFD:

• Todos los dominios ideales principales , y por ende todos los dominios euclidianos , son dominios universales de estados (DUE). En particular, los números enteros (véase también el Teorema fundamental de la aritmética ), los enteros gaussianos y los enteros de Eisenstein son DUE.
• Si R es un dominio ideal universal (DUU), también lo es R [ X ], el anillo de polinomios con coeficientes en R. A menos que R sea un cuerpo, R [ X ] no es un dominio ideal principal. Por inducción, un anillo de polinomios con cualquier número de variables sobre cualquier DIU (y en particular sobre un cuerpo o sobre los enteros) es un DIU.
• El anillo formal de series de potencias K [[ X ₁ , ..., X _n ]] sobre un cuerpo K (o más generalmente sobre un UFD regular como un PID) es un UFD. Por otro lado, el anillo formal de series de potencias sobre un UFD no tiene por qué ser un UFD, incluso si el UFD es local . Por ejemplo, si R es la localización de k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁷ ) en el ideal primo ( x , y , z ) entonces R es un anillo local que es un UFD, pero el anillo formal de series de potencias R [[incógnita]] sobre R no es un UFD.
• El teorema de Auslander-Buchsbaum establece que todo anillo local regular es un dominio universalmente definido (DUD).
• ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} {\bigl [}e^{2\pi i/n}{\bigr ]}}$es un UFD para todos los enteros 1 ≤ n ≤ 22 , pero no para n = 23. Este es el anillo de enteros del campo ciclotómico.${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{2\pi i/n})}$. Para anillos de enteros de otros campos numéricos , consulte Lista de campos numéricos con clase número uno .
• Mori demostró que si la completación de un anillo de Zariski , como un anillo local noetheriano , es un UFD, entonces el anillo es un UFD. ^{[ 1 ]} Lo contrario no es cierto: hay anillos locales noetherianos que son UFD pero cuyas completaciones no lo son. La cuestión de cuándo ocurre esto es bastante sutil: por ejemplo, para la localización de k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁵ ) en el ideal primo ( x , y , z ) , tanto el anillo local como su completación son UFD ^{[ 2 ] [ 3 ]} , pero en el ejemplo aparentemente similar de la localización de k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁷ ) en el ideal primo ( x , y , z ) el anillo local es un UFD ^{[ 4 ]} pero su completación no lo es .
• Dejar${\displaystyle R}$sea ​​un campo de cualquier característica distinta de 2. Klein y Nagata demostraron que el anillo R [ X ₁ , ..., X _n ]/ Q es un UFD siempre que Q sea una forma cuadrática no singular en los X s y n sea al menos 5. Cuando n = 4 , el anillo no tiene por qué ser un UFD. Por ejemplo, R [ X , Y , Z , W ]/( XY − ZW ) no es un UFD, porque el elemento XY es igual al elemento ZW de modo que XY y ZW son dos factorizaciones diferentes del mismo elemento en irreducibles.
• El anillo Q [ x , y ]/( x ² + 2 y ² + 1) es un UFD, pero el anillo Q ( i )[ x , y ]/( x ² + 2 y ² + 1) no lo es. Por otro lado, el anillo Q [ x , y ]/( x ² + y ² − 1) no es un UFD, pero el anillo Q ( i )[ x , y ]/( x ² + y ² − 1) sí lo es. ^{[ 5 ]} De manera similar, el anillo de coordenadas R [ X , Y , Z ]/( X ² + Y ² + Z ² − 1) de la esfera real bidimensional es un UFD, pero el anillo de coordenadas C [ X , Y , Z ]/( X ² + Y ² + Z ² − 1) de la esfera compleja no lo es.
• Supongamos que las variables X _i tienen pesos w _i , y F ( X ₁ , ..., X _n ) es un polinomio homogéneo de peso w . Entonces, si c es coprimo con w y R es un UFD y o bien todo módulo proyectivo finitamente generado sobre R es libre o bien c es 1 mod w , el anillo R [ X ₁ , ..., X _n , Z ]/( Z ^c − F ( X ₁ , ..., X _n )) es un UFD. ^{[ 6 ]}

Algunos conceptos definidos para números enteros pueden generalizarse a UFD:

• En los UFD, todo elemento irreducible es primo . (En cualquier dominio de integridad, todo elemento primo es irreducible, pero lo contrario no siempre se cumple. Por ejemplo, el elemento z ∈ K [ x , y , z ]/( z ² − xy ) es irreducible, pero no primo). Cabe destacar que esto tiene un recíproco parcial: un dominio que satisface el ACCP es un UFD si y solo si todo elemento irreducible es primo.
• Cualquier par de elementos de un UFD tienen un máximo común divisor y un mínimo común múltiplo . Aquí, un máximo común divisor de a y b es un elemento d que divide tanto a a como a b , y tal que cualquier otro divisor común de a y b divide a d . Todos los máximos comunes divisores de a y b están asociados .
• Cualquier UFD es integralmente cerrado . En otras palabras, si R es un UFD con cuerpo cociente K , y si un elemento k en K es una raíz de un polinomio mónico con coeficientes en R , entonces k es un elemento de R.
• Sea S un subconjunto multiplicativamente cerrado de un UFD A. Entonces, la localización S ⁻¹ A es un UFD. También se cumple una recíproca parcial; véase más adelante.

Un dominio integral noetheriano es un dominio de dominio universal (DDU) si y solo si todo ideal primo de altura 1 es principal (la demostración se presenta al final). Asimismo, un dominio de Dedekind es un DDU si y solo si su grupo de clases de ideales es trivial. En este caso, se trata de un dominio de ideales principales .

En general, para un dominio de integridad A , las siguientes condiciones son equivalentes:

1. A es un UFD.
2. Todo ideal primo no nulo de A contiene un elemento primo . ^{[ 8 ]}
3. A satisface la condición de cadena ascendente sobre ideales principales (ACCP), y la localización S ^{− 1} A es un UFD, donde S es un subconjunto multiplicativamente cerrado de A generado por elementos primos. (Criterio de Nagata)
4. A satisface ACCP y todo irreducible es primo .
5. A es atómico y todo irreducible es primo .
6. A es un dominio de MCD que satisface ACCP .
7. A es un dominio de Schreier , ^{[ 9 ]} y atómico .
8. A es un dominio pre-Schreier y atómico .
9. A tiene una teoría de divisores en la que cada divisor es principal.
10. A es un dominio de Krull en el que todo ideal divisorial es principal (de hecho, esta es la definición de UFD en Bourbaki).
11. A es un dominio de Krull y todo ideal primo de altura 1 es principal. ^{[ 10 ]}

En la práctica, (2) y (3) son las condiciones más útiles para verificar. Por ejemplo, de (2) se deduce inmediatamente que un PID es un UFD, ya que todo ideal primo es generado por un elemento primo en un PID.

Como otro ejemplo, consideremos un dominio integral noetheriano en el que cada ideal primo de altura uno es principal. Dado que cada ideal primo tiene altura finita, contiene un ideal primo de altura uno (inducción sobre la altura) que es principal. Por (2), el anillo es un dominio universalmente definido (DUD).

• anillo local parafactorial
• Dominio de factorización única no conmutativa