Elemento primo

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un elemento primo de un anillo conmutativo es un objeto que satisface ciertas propiedades similares a las de los números primos en los enteros y a las de los polinomios irreducibles . Se debe tener cuidado de distinguir los elementos primos de los elementos irreducibles , un concepto que es el mismo en los UFD pero no el mismo en general.

Definición

Un elemento $p$ de un anillo conmutativo $R$ se dice que es primo si no es el elemento cero o una unidad y siempre que $p$ divide $a ab$ para algunos $a$ y $b$ en $R$ , entonces $p$ divide $a a$ o $p$ divide $a b$ . Con esta definición, el lema de Euclides es la afirmación de que los números primos son elementos primos en el anillo de los números enteros . Equivalentemente, un elemento $p$ es primo si, y solo si, el ideal principal $(p)$ generado por $p$ es un ideal primo distinto de cero . ^[1] (Nótese que en un dominio integral , el ideal $(0)$ es un ideal primo , pero $0$ es una excepción en la definición de 'elemento primo').

El interés por los elementos primos proviene del teorema fundamental de la aritmética , que afirma que cada número entero distinto de cero se puede escribir esencialmente de una sola manera, como 1 o −1 multiplicado por un producto de números primos positivos. Esto condujo al estudio de los dominios de factorización únicos , que generalizan lo que se acaba de ilustrar en los números enteros.

Ser primo es relativo a en qué anillo se considera que está un elemento; por ejemplo, 2 es un elemento primo en $Z$ pero no lo es en $Z [i]$ , el anillo de los enteros gaussianos , ya que $2 = (1 + i)(1 - i)$ y 2 no divide a ningún factor de la derecha.

Conexión con ideales primordiales

Un ideal $I$ en el anillo $R$ (con unidad) es primo si el factor anillo $R / I$ es un dominio integral .

En un dominio integral, un ideal principal distinto de cero es primo si y sólo si es generado por un elemento primo.

Elementos irreducibles

Los elementos primos no deben confundirse con los elementos irreducibles . En un dominio integral , todo primo es irreducible ^[2] pero lo inverso no es cierto en general. Sin embargo, en dominios de factorización única ^[3] o, de manera más general, en dominios de MCD , los primos y los irreducibles son lo mismo.

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de elementos primos en anillos:

Los números enteros $\pm2$ , $\pm3$ , $\pm5$ , $\pm7$ , $\pm11$ , ... en el anillo de números enteros $Z$
los números complejos $(1 + i)$ , $19$ y $(2 + 3 i)$ en el anillo de números enteros gaussianos $Z [i]$
los polinomios $x 2 - 2$ y $x 2 + 1$ en $Z [x]$ , el anillo de polinomios sobre $Z$ .
2 en el anillo cociente $Z /6 Z$
$x 2 + (x 2 + x)$ es primo pero no irreducible en el anillo $Q [x]/(x 2 + x)$
En el anillo $Z 2$ de pares de números enteros, $(1, 0)$ es primo pero no irreducible (se tiene $(1, 0) 2 = (1, 0)$ ).
En el anillo de los números enteros algebraicos, el elemento $3$ es irreducible pero no primo (ya que 3 divide y 3 no divide a ningún factor de la derecha). $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],$ $9=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}})$

Referencias

Notas

^ Hungerford 1980, Teorema III.3.4(i), como se indica en la observación debajo del teorema y la prueba, el resultado se cumple en plena generalidad.
^ Hungerford 1980, Teorema III.3.4(iii)
^ Hungerford 1980, Observación después de la Definición III.3.5

Fuentes

Sección III.3 de Hungerford, Thomas W. (1980), Álgebra , Graduate Texts in Mathematics , vol. 73 (reimpresión de la edición de 1974), Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90518-1, Sr. 0600654
Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica. II (2.ª ed.), Nueva York: WH Freeman and Company, págs. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9, Sr. 1009787
Kaplansky, Irving (1970), Anillos conmutativos , Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., págs. x+180, MR 0254021

[1] Hungerford 1980, Teorema III.3.4(i), como se indica en la observación debajo del teorema y la prueba, el resultado se cumple en plena generalidad.

[2] Hungerford 1980, Teorema III.3.4(iii)

[3] Hungerford 1980, Observación después de la Definición III.3.5