dominio euclidiano

En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , un dominio euclidiano (también llamado anillo euclidiano ) es un dominio de integridad al que se le puede dotar de una función euclidiana que permite una generalización adecuada de la división euclidiana de enteros . Este algoritmo euclidiano generalizado puede utilizarse para muchos de los mismos fines que el algoritmo original de Euclides en el anillo de enteros: en cualquier dominio euclidiano, se puede aplicar el algoritmo euclidiano para calcular el máximo común divisor de dos elementos cualesquiera. En particular, el máximo común divisor de dos elementos cualesquiera existe y puede expresarse como una combinación lineal de ellos ( identidad de Bézout ). En particular, la existencia de algoritmos eficientes para la división euclidiana de enteros y de polinomios en una variable sobre un cuerpo es de vital importancia en álgebra computacional .

Es importante comparar la clase de dominios euclidianos con la clase más amplia de dominios de ideales principales (DIP). Un DIP arbitrario posee propiedades estructurales muy similares a las de un dominio euclidiano (o incluso al anillo de los enteros), pero carece de un análogo del algoritmo euclidiano y del algoritmo euclidiano extendido para calcular el máximo común divisor. Por lo tanto, dado un dominio de integridad R , suele ser muy útil saber que R tiene una función euclidiana: en particular, esto implica que R es un DIP. Sin embargo, si no existe una función euclidiana "obvia", determinar si R es un DIP suele ser un problema mucho más sencillo que determinar si es un dominio euclidiano.

Todo ideal en un dominio euclidiano es principal , lo que implica una generalización adecuada del teorema fundamental de la aritmética : todo dominio euclidiano es también un dominio de factorización única . Los dominios euclidianos aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios de ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ cuerpos ⊃ cuerpos algebraicamente cerrados

Sea R un dominio de integridad. Una función euclidiana en R es una función f de R \ {0} a los enteros no negativos que satisface la siguiente propiedad fundamental de división con resto:

• (EF1) Si a y b están en R y b es distinto de cero, entonces existen q y r en R tales que a = bq + r y o bien r = 0 o bien f ( r ) < f ( b ) .

Un dominio euclidiano es un dominio de integridad que puede dotarse de al menos una función euclidiana. Una función euclidiana particular f no forma parte de la definición de un dominio euclidiano, ya que, en general, un dominio euclidiano puede admitir muchas funciones euclidianas diferentes.

En este contexto, q y r se denominan respectivamente cociente y resto de la división (o división euclidiana ) de a entre b . A diferencia del caso de los números enteros y los polinomios , el cociente generalmente no está definido de forma única, pero cuando se ha elegido un cociente, el resto sí lo está.

La mayoría de los textos de álgebra requieren que una función euclidiana tenga la siguiente propiedad adicional:

• (EF2) Para todo a y b distinto de cero en R , f ( a ) ≤ f ( ab ) .

Sin embargo, se puede demostrar que (EF1) por sí solo basta para definir un dominio euclidiano; si un dominio de integridad R está dotado de una función g que satisface (EF1), entonces R también puede estar dotado de una función que satisfaga simultáneamente (EF1) y (EF2). En efecto, para a en R \ {0} , se puede definir f ( a ) de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(a)=\min _{x\in R\setminus \{0\}}g(xa)}$

En otras palabras, se puede definir f ( a ) como el valor mínimo alcanzado por g en el conjunto de todos los elementos no nulos del ideal principal generado por a .

Una función euclidiana f es multiplicativa si f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) y f ( a ) nunca es cero. De ello se deduce que f (1) = 1 . De forma más general, f ( a ) = 1 si y solo si a es una unidad .

Algunos ejemplos de dominios euclidianos son:

• Cualquier campo. Definimos f ( x ) = 1 para todo x distinto de cero .
• Z , el anillo de los enteros. Definimos f ( n ) = | n | , el valor absoluto de n . ^{[ 3 ]}
• Z [ i ] , el anillo de enteros gaussianos . Definimos f ( a + bi ) = a² ⁺ b² , la norma del entero gaussiano a ⁺ bi .
• Z [ ω ] (donde ⁠${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}}$⁠ es una raíz cúbica primitiva de la unidad ), el anillo de enteros de Eisenstein . Definimos f ( a + bω ) = a ² − ab + b ² , la norma del entero de Eisenstein a + bω .
• Z [ φ ] , el anillo de enteros dorados , donde ⁠${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$⁠ es la proporción áurea . Definimos f ( a + bφ ) = | a ² + ab − b ² | , el valor absoluto de la norma del cuerpo de a + bφ .
• K [ X ] , el anillo de polinomios sobre un cuerpo K . Para cada polinomio no nulo P , definimos f ( P ) como el grado de P . ^{[ 4 ]}
• K [[ X ]] , el anillo de series de potencias formales sobre el cuerpo K . Para cada serie de potencias no nula P , definimos f ( P ) como el orden de P , es decir, el grado de la potencia más pequeña de X que aparece en P . En particular, para dos series de potencias no nulas P y Q , f ( P ) ≤ f ( Q ​​) si y solo si P divide a Q .
• Cualquier anillo de valuación discreta . Definimos f ( x ) como la potencia más alta del ideal maximal M que contiene a x . De forma equivalente, sea g un generador de M , y v el único entero tal que g ^v es un asociado de x , entonces definimos f ( x ) = v . El ejemplo anterior K [[ X ]] es un caso especial de esto.
• Un dominio de Dedekind con un número finito de ideales primos no nulos P ₁ , ..., P _n . Definir${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)}$, donde v _i es la valoración discreta correspondiente al ideal P _i . ^{[ 5 ]}

Algunos ejemplos de dominios que no son dominios euclidianos son:

• Todo dominio que no sea un dominio ideal principal , como el anillo de polinomios en al menos dos indeterminadas sobre un cuerpo, o el anillo de polinomios univariados con coeficientes enteros , o el anillo de números Z [ √ − 5 ] .
• El anillo de enteros de Q ( √ −19 ) , que consta de los números ⁠ a + b √ − 19 / 2 ⁠ donde a y b son enteros y ambos pares o ambos impares, es un dominio ideal principal que no es euclidiano. Esto fue demostrado por Theodore Motzkin y fue el primer caso conocido ^{[ 6 ]} y posteriormente demostrado para Q ( √ D ) para D = −19, −43, −67, −163.
• El anillo A = R [ X , Y ]/( X ² + Y ² + 1) es también un dominio ideal principal ^{[ 7 ]} que no es euclidiano. Para ver que no es un dominio euclidiano, basta con demostrar que para todo primo distinto de cero${\displaystyle p\in A}$, el mapa${\displaystyle A^{\times }\to (A/p)^{\times }}$inducido por el mapa cociente${\displaystyle A\to A/p}$no es sobreyectiva . ^{[ 8 ]}

Sea R un dominio y f una función euclidiana definida en R. Entonces:

• R es un dominio de ideales principales (PID). De hecho, si I es un ideal no nulo de R , entonces cualquier elemento a de I  \ {0} con valor mínimo (en ese conjunto) de f ( a ) es un generador de I . ^{[ 9 ]} Como consecuencia, R es también un dominio de factorización única y un anillo noetheriano . Con respecto a los dominios de ideales principales generales, la existencia de factorizaciones (es decir, que R es un dominio atómico ) es particularmente fácil de demostrar en dominios euclidianos: eligiendo una función euclidiana f que satisface (EF2), x no puede tener ninguna descomposición en más de f ( x ) factores no unitarios, por lo que comenzando con x y descomponiendo repetidamente factores reducibles está obligado a producir una factorización en elementos irreducibles .
• Cualquier elemento de R en el que f toma su valor mínimo global es invertible en R. Si se elige un f que satisface (EF2), entonces también se cumple lo contrario , y f toma su valor mínimo exactamente en los elementos invertibles de R.
• Si la división euclidiana es algorítmica, es decir, si existe un algoritmo para calcular el cociente y el resto, entonces se puede definir un algoritmo euclidiano extendido exactamente igual que en el caso de los números enteros. ^{[ 10 ]}
• Si un dominio euclidiano no es un cuerpo, entonces tiene un elemento no inelástico a llamado divisor lateral universal ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} con la siguiente propiedad: cualquier elemento x no divisible por a puede escribirse como x = ay + u para algún elemento inelástico u y algún elemento y . Esto se deduce tomando a como un elemento no inelástico con f ( a ) lo más pequeño posible. Esta extraña propiedad puede usarse para demostrar que algunos dominios de ideales principales no son dominios euclidianos, ya que no todos los PID tienen esta propiedad. Por ejemplo, para d = −19, −43, −67, −163, el anillo de enteros de${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$es un PID que no es euclidiano (porque no tiene esta propiedad), pero los casos d = −1, −2, −3, −7, −11 son euclidianos. ^{[ 11 ]}

Sin embargo, en muchas extensiones finitas de Q con grupo de clases trivial , el anillo de enteros es euclidiano (no necesariamente con respecto al valor absoluto de la norma del cuerpo; véase más adelante). Suponiendo la hipótesis de Riemann extendida , si K es una extensión finita de Q y el anillo de enteros de K es un PID con un número infinito de unidades, entonces el anillo de enteros es euclidiano. ^{[ 15 ]} En particular, esto se aplica al caso de cuerpos numéricos cuadráticos totalmente reales con grupo de clases trivial. Además (y sin asumir ERH), si el cuerpo K es una extensión de Galois de Q , tiene grupo de clases trivial y rango de unidad estrictamente mayor que tres, entonces el anillo de enteros es euclidiano. ^{[ 16 ]} Un corolario inmediato de esto es que si el cuerpo numérico es de Galois sobre Q , su grupo de clases es trivial y la extensión tiene grado mayor que 8, entonces el anillo de enteros es necesariamente euclidiano.

Los cuerpos numéricos algebraicos K vienen con una función de norma canónica sobre ellos: el valor absoluto de la norma de cuerpo N que toma un elemento algebraico α como el producto de todos los conjugados de α . Esta norma mapea el anillo de enteros de un cuerpo numérico K , digamos O _K , a los enteros racionales no negativos , por lo que es una candidata a ser una norma euclidiana en este anillo. Si esta norma satisface los axiomas de una función euclidiana, entonces el cuerpo numérico K se llama norma-euclidiano o simplemente euclidiano . ^{[ 17 ] [ 18 ]} Estrictamente hablando, es el anillo de enteros el que es euclidiano ya que los cuerpos son trivialmente dominios euclidianos, pero la terminología es estándar.

Si un cuerpo no es norma-euclidiano, eso no significa que el anillo de enteros no sea euclidiano, sino simplemente que la norma del cuerpo no satisface los axiomas de una función euclidiana. De hecho, los anillos de enteros de cuerpos numéricos se pueden dividir en varias clases:

• Aquellos que no son principales y por lo tanto no son euclidianos, como los enteros de${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}$
• Aquellos que son principales y no euclidianos, como los enteros de${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-19}}\,)}$
• Aquellos que son euclidianos y no norma-euclidianos, como los enteros de${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {69}}\,)}$^{[ 19 ]}
• Aquellos que son norma euclidianos, como los enteros gaussianos (enteros de${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-1}}\,)}$)

Los campos cuadráticos norma-euclidianos han sido clasificados completamente; son${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$dónde${\displaystyle d}$toma los valores

−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (secuencia A048981 en el OEIS ) . ^{[ 20 ]}

Todo cuerpo cuadrático imaginario euclidiano es norma euclidiano y es uno de los cinco primeros cuerpos de la lista anterior.

• Valoración (álgebra)

• Fraleigh, John B.; Katz, Víctor J. (1967). Un primer curso de álgebra abstracta (5ª  ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-53467-3.
• Samuel, Pierre (1971). "Sobre los anillos euclidianos" . Journal of Algebra . 19 (2): 282– 301. doi : 10.1016/0021-8693(71)90110-4 .