Dominio integral

En matemáticas , un dominio integral es un anillo conmutativo no nulo en el que el producto de cualesquiera dos elementos no nulos es no nulo . ^{[ 1 ] [ 2 ]} En un dominio integral, todo elemento no nulo a tiene la propiedad de cancelación , es decir, si a ≠ 0 , ab = ac implica b = c . Los dominios integrales son generalizaciones del anillo de los enteros y proporcionan un entorno útil para estudiar la divisibilidad .

El término «dominio integral» se define casi universalmente como se indicó anteriormente, pero existen algunas variaciones. Este artículo sigue la convención de que los anillos tienen un elemento neutro multiplicativo , generalmente denotado por 1, pero algunos autores no la siguen, al no exigir que los dominios integrales tengan un elemento neutro multiplicativo. ^{[ 3 ] [ 4 ]} En ocasiones se admiten dominios integrales no conmutativos. ^{[ 5 ]} Sin embargo, este artículo sigue la convención mucho más común de reservar el término «dominio integral» para el caso conmutativo y usar « dominio » para el caso general, incluidos los anillos no conmutativos.

Algunas fuentes, en particular Lang , utilizan el término anillo completo para referirse al dominio integral. ^{[ 6 ]}

Algunos tipos específicos de dominios integrales se dan con la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios de ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ cuerpos ⊃ cuerpos algebraicamente cerrados

Un dominio de integridad es un anillo conmutativo no nulo en el que el producto de cualesquiera dos elementos no nulos es no nulo. Equivalentemente:

• Un dominio de integridad es un anillo conmutativo no nulo sin divisores de cero no nulos .
• Un dominio integral es un anillo conmutativo en el que el ideal cero {0} es un ideal primo .
• Un dominio de integridad es un anillo conmutativo no nulo para el cual cada elemento no nulo es cancelable bajo la multiplicación.
• Un dominio de integridad es un anillo cuyo conjunto de elementos no nulos es un monoide conmutativo bajo la multiplicación (porque un monoide debe ser cerrado bajo la multiplicación).
• Un dominio de integridad es un anillo conmutativo no nulo en el que, para cada elemento no nulo r , la función que asigna a cada elemento x del anillo el producto xr es inyectiva . Los elementos r con esta propiedad se denominan regulares , por lo que es equivalente a exigir que cada elemento no nulo del anillo sea regular.
• Un dominio de integridad es un anillo isomorfo a un subanillo de un cuerpo . (Dado un dominio de integridad, se puede incrustar en su cuerpo de fracciones ).

• El ejemplo arquetípico es el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} }$de todos los números enteros .
• Cada campo es un dominio integral. Por ejemplo, el campo${\displaystyle \mathbb {R} }$de todos los números reales es un dominio de integridad. Recíprocamente, todo dominio de integridad artiniano es un cuerpo. En particular, todos los dominios de integridad finitos son cuerpos finitos (más generalmente, por el pequeño teorema de Wedderburn , los dominios finitos son cuerpos finitos ). El anillo de los enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$proporciona un ejemplo de un dominio integral infinito no artiniano que no es un cuerpo, que posee secuencias descendentes infinitas de ideales tales como:

  ${\displaystyle \mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots }$

• Los anillos de polinomios son dominios de integridad si los coeficientes provienen de un dominio de integridad. Por ejemplo, el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$El conjunto de todos los polinomios en una variable con coeficientes enteros es un dominio de integridad; también lo es el anillo.${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$de todos los polinomios en n variables con coeficientes complejos .
• El ejemplo anterior puede explotarse aún más tomando cocientes de ideales primos. Por ejemplo, el anillo${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$La integralidad correspondiente a una curva elíptica plana es un dominio integral. La integralidad se puede comprobar demostrando${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)}$es un polinomio irreducible .
• El anillo${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$es un dominio de integridad para cualquier entero no cuadrado${\displaystyle n}$. Si${\displaystyle n>0}$, entonces este anillo es siempre un subanillo de${\displaystyle \mathbb {R} }$, de lo contrario, es un subanillo de${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• El anillo de enteros p -ádicos${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$es un dominio integral.
• El anillo de series de potencias formales de un dominio integral es un dominio integral.
• Si${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto conexo del plano complejo${\displaystyle \mathbb {C} }$, luego el anillo${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$Un conjunto formado por todas las funciones holomorfas constituye un dominio de integridad. Lo mismo ocurre con los anillos de funciones analíticas sobre subconjuntos abiertos conexos de variedades analíticas .
• Un anillo local regular es un dominio integral. De hecho, un anillo local regular es un UFD . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Los siguientes anillos no son dominios de integridad.

• El anillo cero (el anillo en el que${\displaystyle 0=1}$), por definición.
• El anillo cociente${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$cuando m es un número compuesto . Para demostrar esto, elija una factorización adecuada.${\displaystyle m=xy}$(lo que significa que${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$no son iguales a${\displaystyle 1}$o${\displaystyle m}$). Entonces${\displaystyle x\not \equiv 0{\bmod {m}}}$y${\displaystyle y\not \equiv 0{\bmod {m}}}$, pero${\displaystyle xy\equiv 0{\bmod {m}}}$.
• Un producto de dos anillos conmutativos no nulos. En tal producto${\displaystyle R\times S}$, uno tiene${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$.
• El anillo cociente${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})}$para cualquier${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$Las imágenes de${\displaystyle x+n}$y${\displaystyle xn}$son distintos de cero, mientras que su producto es 0 en este anillo.
• El anillo de matrices n × n sobre cualquier anillo no nulo cuando n ≥ 2. Si${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son matrices tales que la imagen de${\displaystyle N}$está contenido en el núcleo de${\displaystyle M}$, entonces${\displaystyle MN=0}$Por ejemplo, esto sucede para${\displaystyle M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})}$.
• El anillo cociente${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)}$para cualquier campo${\displaystyle k}$y cualquier polinomio no constante${\displaystyle f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$. Las imágenes de f y g en este anillo cociente son elementos no nulos cuyo producto es 0. Este argumento muestra, equivalentemente, que${\displaystyle (fg)}$no es un ideal primo . La interpretación geométrica de este resultado es que los ceros de fg forman un conjunto algebraico afín que no es irreducible (es decir, no es una variedad algebraica ) en general. El único caso en que este conjunto algebraico puede ser irreducible es cuando fg es una potencia de un polinomio irreducible , que define el mismo conjunto algebraico.
• El anillo de funciones continuas en el intervalo unitario . Consideremos las funciones

  ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

Ni${\displaystyle f}$ni${\displaystyle g}$es cero en todas partes, pero${\displaystyle fg}$es.

• El producto tensorial${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$. Este anillo tiene dos idempotentes no triviales ,${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$y${\displaystyle e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$Son ortogonales, lo que significa que${\displaystyle e_{1}e_{2}=0}$y por lo tanto${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$no es un dominio. De hecho, existe un isomorfismo.${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$definido por${\displaystyle (z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}}$Su inversa se define por${\displaystyle z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})}$Este ejemplo demuestra que un producto fibrado de esquemas afines irreducibles no tiene por qué ser irreducible.

En esta sección, R es un dominio de integridad.

Dados los elementos a y b de R , se dice que a divide a b , o que a es un divisor de b , o que b es un múltiplo de a , si existe un elemento x en R tal que ax = b .

Las unidades de R son los elementos que dividen a 1; estos son precisamente los elementos invertibles en R. Las unidades dividen a todos los demás elementos.

Si a divide a b y b divide a a , entonces a y b son elementos asociados o asociados . ^{[ 9 ]} De manera equivalente, a y b son asociados si a = ub para alguna unidad u .

Un elemento irreducible es un número no unitario distinto de cero que no puede escribirse como producto de dos números no unitarios.

Un elemento no nulo y distinto de cero p es un elemento primo si, siempre que p divida un producto ab , entonces p divide a o p divide b . De forma equivalente, un elemento p es primo si y solo si el ideal principal ( p ) es un ideal primo distinto de cero .

Tanto la noción de elementos irreducibles como la de elementos primos generalizan la definición ordinaria de números primos en el anillo.${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$si se consideran como primos los primos negativos.

Todo elemento primo es irreducible. Lo contrario no es cierto en general: por ejemplo, en el anillo entero cuadrático.${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$el elemento 3 es irreducible (si se factorizara de forma no trivial, cada uno de los factores tendría que tener norma 3, pero no hay elementos de norma 3 ya que${\displaystyle a^{2}+5b^{2}=3}$no tiene soluciones enteras), pero no es primo (ya que 3 divide a${\displaystyle \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)}$sin dividir ninguno de los factores). En un dominio de factorización única (o más generalmente, un dominio MCD ), un elemento irreducible es un elemento primo.

Si bien la factorización única no se cumple en${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$, existe una factorización única de ideales . Véase el teorema de Lasker-Noether .

• Un anillo conmutativo R es un dominio de integridad si y solo si el ideal (0) de R es un ideal primo.
• Si R es un anillo conmutativo y P es un ideal en R , entonces el anillo cociente R/P es un dominio de integridad si y solo si P es un ideal primo .
• Sea R un dominio de integridad. Entonces, los anillos de polinomios sobre R (en cualquier número de indeterminadas) son dominios de integridad. Esto es particularmente cierto si R es un cuerpo .
• La propiedad de cancelación se cumple en cualquier dominio de integridad: para cualesquiera a , b y c en un dominio de integridad, si a ≠ 0 y ab = ac , entonces b = c . Otra forma de expresarlo es que la función x ↦ ax es inyectiva para cualquier a distinto de cero en el dominio.
• La propiedad de cancelación se cumple para ideales en cualquier dominio integral: si xI = xJ , entonces o x es cero o I = J.
• Un dominio integral es igual a la intersección de sus localizaciones en los ideales máximos.
• Un límite inductivo de dominios de integridad es un dominio de integridad.
• Si A y B son dominios de integridad sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k , entonces A ⊗ _k B es un dominio de integridad. Esto es consecuencia del teorema de Hilbert sobre los ceros , ^{[ a ]} y, en geometría algebraica, implica que el anillo de coordenadas del producto de dos variedades algebraicas afines sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es también un dominio de integridad.

El cuerpo de fracciones K de un dominio de integridad R es el conjunto de fracciones a / b con a y b en R y b ≠ 0 módulo una relación de equivalencia apropiada, dotado de las operaciones usuales de suma y multiplicación. Es "el cuerpo más pequeño que contiene a R " en el sentido de que existe un homomorfismo de anillos inyectivo R → K tal que cualquier homomorfismo de anillos inyectivo de R a un cuerpo se factoriza a través de K. El cuerpo de fracciones del anillo de los enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$es el campo de los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} .}$El cuerpo de fracciones de un cuerpo es isomorfo al cuerpo mismo.

Los dominios de integridad se caracterizan por ser reducidos (es decir, ^x² = 0 implica x = 0 ) e irreducibles (es decir, tienen un único ideal primo mínimo ). La primera condición garantiza que el nilradical del anillo sea cero, de modo que la intersección de todos los ideales primos mínimos del anillo sea cero. La segunda condición es que el anillo tenga un único ideal primo mínimo. De ello se deduce que el único ideal primo mínimo de un anillo reducido e irreducible es el ideal cero, por lo que dichos anillos son dominios de integridad. Lo contrario es evidente: un dominio de integridad no tiene elementos nilpotentes distintos de cero, y el ideal cero es el único ideal primo mínimo.

En geometría algebraica , esto se traduce en el hecho de que el anillo de coordenadas de un conjunto algebraico afín es un dominio de integridad si y solo si el conjunto algebraico es una variedad algebraica .

En términos más generales, un anillo conmutativo es un dominio integral si y solo si su espectro es un esquema afín integral .

La característica de un dominio de integridad es ser 0 o un número primo .

Si R es un dominio integral de característica prima p , entonces el endomorfismo de Frobenius x ↦ x ^p es inyectivo .

• Norma de Dedekind-Hasse : la estructura adicional necesaria para que un dominio integral sea principal.
• Propiedad de producto cero

• "¿De dónde proviene el término "dominio integral"? "