Valoración discreta

En matemáticas , una valoración discreta es una valoración entera en un campo K ; es decir, una función : ^[1]

${\displaystyle \nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$

satisfaciendo las condiciones:

${\displaystyle \nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)}$

${\displaystyle \nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}}$

${\displaystyle \nu(x)=\infty \iff x=0}$

Para todos . ${\displaystyle x,y\en K}$

Téngase en cuenta que a menudo se excluye explícitamente la valoración trivial que solo tiene en cuenta los valores . ${\displaystyle 0,\infty}$

Un campo con una valoración discreta no trivial se denomina campo de valoración discreta .

A cada campo con valoración discreta podemos asociar el subanillo ${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización \nu}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}}$

de , que es un anillo de valoración discreto . Por el contrario, la valoración en un anillo de valoración discreto se puede extender de manera única a una valoración discreta en el campo cociente ; el anillo de valoración discreto asociado es simplemente . ${\estilo de visualización K}$${\displaystyle \nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$${\estilo de visualización A}$ ${\displaystyle K={\text{Quot}}(A)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\estilo de visualización A}$

• Para un primo fijo y para cualquier elemento distinto de cero, escriba con tal que no divida a . Entonces, se obtiene una valoración discreta en , llamada valoración p-ádica .${\estilo de visualización p}$${\displaystyle x\in \mathbb {Q}}$${\displaystyle x=p^{j}{\frac {a}{b}}}$${\displaystyle j,a,b\in \mathbb {Z} }$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización a,b}$${\displaystyle \nu(x)=j}$${\displaystyle \mathbb {Q}}$
• Dada una superficie de Riemann , podemos considerar el campo de funciones meromórficas . Para un punto fijo , definimos una valoración discreta en de la siguiente manera: si y solo si es el entero más grande tal que la función puede extenderse a una función holomorfa en . Esto significa: si entonces tiene una raíz de orden en el punto ; si entonces tiene un polo de orden en . De manera similar, también se define una valoración discreta en el campo de funciones de una curva algebraica para cada punto regular en la curva.${\estilo de visualización X}$${\displaystyle K=M(X)}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle p\en X}$${\estilo de visualización K}$${\displaystyle \nu(f)=j}$${\estilo de visualización j}$${\displaystyle f(z)/(zp)^{j}}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle \nu(f)=j>0}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización j}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle \nu(f)=j<0}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización -j}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización p}$

Se pueden encontrar más ejemplos en el artículo sobre anillos de valoración discreta .